6.5.2 平面与平面垂直的判定课时练习2020-2021年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

平面与平面垂直的判定
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m
　　　
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
3．下列命题中正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
5．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
6．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m?α，n?β，且α∥β，则m∥n；
④若n?β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC．其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
9．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD．
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是(　　)
A．1　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
12．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
13.
(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．
在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
15．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
答案
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m
　　　
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ
A　[B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．]
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.]
3．下列命题中正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．]
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
D　[由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC．
又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．]
5．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
D　[如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]
6．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m?α，n?β，且α∥β，则m∥n；
④若n?β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
①④　[①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确．]
7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC．其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
①③④　[因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因为BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④.]
8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
①③④②　[m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故答案为①③④②.]
9．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD．
[证明]　连接AC与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC．
∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又∵EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
[证明]　∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG.
又∵BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD．
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
又∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是(　　)
A．1　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
D　[∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
∴△ABC为直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．]
12．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
C　[因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC．同理，DE⊥AC．又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
13.
(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．
在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
BC　[对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选BC．]
14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]
15．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
[解]　
(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥平面BB1C1C．
又CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
(2)证明：如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C．又面NB1C1⊥侧面BB1C1B，平面NB1C1∩平面BB1C1C＝B1C1，
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE，
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C．
又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.
∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.
∵BD＝CD，∴DE＝CC1，∴AM＝CC1＝AA1.
∴AM＝MA1.