第3课时用余弦定理正弦定理解三角形课后习题含解析2020-2021学年高一数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量的应用（Word含答案解析）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)　　　　　　　
A.10海里
B.10海里
C.20海里
D.20海里
2.在△ABC中,若sin
2A+sin
2B2C,则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
3.若点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,则点A在点B的(　　)
A.北偏东15°方向上
B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上
D.北偏西10°方向上
4.(多选)某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的值为(　　)
A.
B.2
C.3
D.3
5.(多选)在△ABC中,以下结论正确的是(　　)
A.若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形
B.若a2=b2+c2+bc,则A为120°
C.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形
D.若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3
能力提升练
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(　　)
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(　　)
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
3.已知一船以每小时15
km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4
h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为　　　　
km.?
4.已知在四边形ABCD中,BC⊥CD,AC=BC,∠ABC=.
(1)求∠ACB的值;
(2)若BC=,AD=,求BD的长.
素养培优练
　如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?求出所需时间.(注:≈2.5,结果精确到0.1)
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10海里
B.10海里
C.20海里
D.20海里
解析根据已知条件画出示意图.如图所示,
可知在△ABC中,AB=20海里,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,由正弦定理,有,所以BC==10(海里).故选B.
答案B
2.在△ABC中,若sin
2A+sin
2B2C,则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
解析因为在△ABC中,满足sin2A+sin2B又由余弦定理可得cosC=<0,因为C是三角形的内角,所以C∈,π,
所以△ABC为钝角三角形.故选A.
答案A
3.若点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,则点A在点B的(　　)
A.北偏东15°方向上
B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上
D.北偏西10°方向上
解析由
题意,点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,可得几何位置关系如图所示:
过点B作平行于y轴的直线BE,
则∠CBE=30°,∠ABC=45°,所以∠ABE=15°,故点A在点B的北偏东15°方向上.故选A.
答案A
4.(多选)某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的值为(　　)
A.
B.2
C.3
D.3
解析由题意得∠ABC=30°,由余弦定理的推论得cos30°=,整理得x2-3x+6=0,解得x=2或x=.故选AB.
答案AB
5.(多选)在△ABC中,以下结论正确的是(　　)
A.若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形
B.若a2=b2+c2+bc,则A为120°
C.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形
D.若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3
解析由cosA=<0,可知角A为钝角,则△ABC为钝角三角形,故A正确;
由a2=b2+c2+bc,结合余弦定理可知cosA=-,所以A=120°,故B正确;
由a2+b2>c2,结合余弦定理可知cosC=>0,只能判断角C为锐角,不能判断角A,B的情况,所以△ABC不一定为锐角三角形,故C错误;
由A∶B∶C=1∶2∶3可得A=30°,B=60°,C=90°,则a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=∶1≠1∶2∶3,故D错误.故选AB.
答案AB
能力提升练
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(　　)
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析①测量A,C,b,因为知道A,C,可求出B,由正弦定理可求出c;②测量a,b,C,已知两边及夹角,可利用余弦定理求出c;③测量A,B,a,因为知道A,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三种方法都可以.
答案D
2.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(　　)
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
解析因为cos∠CDB=-,所以sin∠CDB=,故A错误;
设CD=a(a>0),则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3×=3,所以S△ABC=S△DBC=8,故B正确;
因为∠ADC=π-∠CDB,
所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=,
在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,
解得AC=2,
所以C△ABC=AB+AC+BC=(3+5)+2+2=8+4,故C正确;
因为AB=8为最大边,
所以cosC==-<0,即∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.
故选BCD.
答案BCD
3.已知一船以每小时15
km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4
h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为　　　　
km.?
解析依题意,作图如图,
由题意可知AC=15×4=60(km),在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=105°,
所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,
所以由正弦定理知,
所以BC==30(km).
答案30
4.已知在四边形ABCD中,BC⊥CD,AC=BC,∠ABC=.
(1)求∠ACB的值;
(2)若BC=,AD=,求BD的长.
解(1)在△ABC中,由正弦定理可得,
又由AC=BC,解得sin∠BAC=,
因为∠BAC为锐角,所以∠BAC=,
因此∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=.
(2)因为BC⊥CD,所以∠BCD=,
所以∠ACD=.
设CD=x(x>0),在△ACD中,AC=BC=3,
由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos,
即=32+x2-2×3×x×,
整理得x2-3x-4=0,解得x=4.
因此,BD=.
素养培优练
如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?求出所需时间.(注:≈2.5,结果精确到0.1)
解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),
则CD=10t海里,BD=10t海里,
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA
=+22-2·(-1)·2·cos120°=6,
解得BC=.
又因为,
所以sin∠ABC=,
所以∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得,
所以sin∠BCD=.所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,
解得t=小时≈15.0分钟.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15.0分钟.