第六章立体几何初步第五节直线与平面垂直课后习题含解析2020-2021学年高一数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)　　　　　　
A.平行
B.垂直
C.相交
D.不确定
2.给出下列三个命题:
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;
③一条直线在平面内的投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β的关系是(　　)
A.a⊥β
B.a∥β
C.a?β
D.a?β或a∥β
4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为　　　　　.?
5.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a?α,b?α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　　.?
6.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
能力提升练
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
2.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上或其内部运动,且使MN⊥AC.下列命题中为正确命题的是(　　)
A.点M可以与点H重合
B.点M可以与点F重合
C.点M可以在线段FH上
D.点M可以与点E重合
3.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的是　　　　　.?
4.如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.
素养培优练
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?证明你的结论.
§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.平行
B.垂直
C.相交
D.不确定
解析由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.
答案B
2.给出下列三个命题:
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;
③一条直线在平面内的投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析①错,②③对.
答案C
3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β的关系是(　　)
A.a⊥β
B.a∥β
C.a?β
D.a?β或a∥β
解析若a?β,b⊥平面β,可证得a⊥b;
若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥平面β,c?β,
则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故选D.
答案D
4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为　　　　　.?
解析由题意知,△PAC,△PAB,△ACB是直角三角形.
因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,得BC⊥平面PAC,即BC⊥PC.
所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形.
答案4
5.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a?α,b?α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　　.?
答案a与b相交
6.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.
在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
能力提升练
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
解析如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.
因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC.
又PA∩PD=P,
所以BC⊥平面PAD,
所以AD⊥BC.
在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD==4.
答案D
2.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上或其内部运动,且使MN⊥AC.下列命题中为正确命题的是(　　)
A.点M可以与点H重合
B.点M可以与点F重合
C.点M可以在线段FH上
D.点M可以与点E重合
解析由题意知HN⊥AC,FN⊥AC,猜想:M在FH上时,均能满足要求.事实上,若M为FH上异于F,H的任意一点,
因为FH⊥底面ABCD,所以HN是斜线MN在底面ABCD上的射影,而HN⊥AC,所以MN⊥AC.
由题意知,当M为H或F时,MN⊥AC,
所以点M可以与点H重合,A正确;
点M可以与点F重合,B正确;
点M可以在线段FH上,C正确.
因为NE∥BC1,且BC1与AC不垂直,
所以点M不能与点E重合,故D错误.
答案ABC
3.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的是　　　　　.?
解析由PA,PB,PC两两垂直,可得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,所以PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,故①②③正确.
若AB⊥BC,则由PA⊥平面PBC,得PA⊥BC,
又PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又PC⊥平面PAB,
这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾,故④错误.
答案①②③
4.如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.
证明(1)取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE.
因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,
所以CD∥AE,且CD=AE,
所以FG∥CD,FG=CD.
所以FG⊥平面ABC,
即四边形CDFG是矩形,所以DF∥CG.
又因为CG?平面ABC,DF?平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
(2)在Rt△ABE中,因为AE=AB,F为BE的中点,
所以AF⊥BE.
因为△ABC是正三角形,所以CG⊥AB,
所以DF⊥AB.
因为AE⊥平面ABC,CG?平面ABC,
所以AE⊥CG,所以AE⊥DF,
且AE∩AB=A,所以DF⊥平面ABE,
因为AF?平面ABE,所以AF⊥DF.
因为BE∩DF=F,BE?平面BDE,DF?平面BDE,
所以AF⊥平面BDE,所以AF⊥BD.
素养培优练
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?证明你的结论.
证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,
所以C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.
因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
所以AB1⊥平面C1DF.
因为AA1=A1B1=,
所以四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点,
即当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.