方法技巧专题(二) 数形结合思想训练
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.
1.为了证明数轴上的点可以表示无理数,老师给学生设计了如下材料:如图F2-1,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点(记为点O)到达点A,点A对应的数是多少?从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π,所以点A对应的数是π,这样,无理数π可以用数轴上的点表示出来,上述材料体现的数学思想是
( )
图F2-1
A.方程思想
B.从特殊到一般
C.数形结合思想
D.分类思想
2.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图F2-2①),把余下的部分拼成一个长方形(如图②),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证
( )
图F2-2
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
3.甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80
km/h的速度行驶1
h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1
h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F2-3所示.下列说法:①乙车的速度是120
km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有
( )
图F2-3
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为
( )
A.1或-5
B.-1或5
C.1或-3
D.1或3
5.方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2的图象与函数y=的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x-1=0的实数根有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0
0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1( )
A.2
B.3
C.4
D.5
7.已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1( )
A.x1<-1<2B.-1C.-1D.x1<-18.已知实数a,b在数轴上的位置如图F2-4所示,化简:-|a+b|的结果为 .?
图F2-4
9.已知关于x的不等式组的整数解共有2个,则a的取值范围为 .?
10.如图F2-5,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为 .?
图F2-5
11.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F2-6.
图F2-6
由图易得:+…+= .?
12.当x=m和x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为 .?
13.如图F2-7,在平面直角坐标系中,点P(-1,a)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间,则a的取值范围是 .?
图F2-7
14.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为 .?
15.已知☉O的直径AB=2,过点A有两条弦,AC=,AD=,则∠CAD的度数为 .?
16.如图F2-8,矩形纸片ABCD的长AD=9
cm,宽AB=3
cm,将其折叠,使点D与点B重合,则折叠后DE的长为
cm,折痕EF的长为 cm.?
图F2-8
17.在平面直角坐标系中,☉A的半径为2,点A的坐标为(5,12),P(m,n)是☉A上的一个动点,则m2+n2的最大值为 .?
18.如图F2-9,四边形ABCD是一个正方形,已知A(1,2),B(5,2).
(1)求点C,D的坐标;
(2)若一次函数y=kx-2的图象过C点,求k的值;
(3)若直线y=kx-2与正方形ABCD有交点,求k的取值范围.
图F2-9
19.已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
【参考答案】
1.C 2.D
3.B [解析]
甲、乙两车最开始相距80
km,0到2
h是乙在追甲,并在2
h时追上,设乙的速度为x
km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;
在2
h时甲、乙两车相距0
km,在6
h时乙到达B地,此时甲、乙之间的距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;
H点是乙在B地停留1
h后开始原路返回,6
h时甲、乙之间的距离是160
km,后面1
h中只有甲在行驶,所以1
h后甲、乙相距80
km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;
最后一段是乙原路返回,直到在n
h时与甲相遇,初始距离80
km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4(h),所以n=7.4,故④错误.
综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.
4.B [解析]
由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.
(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);
(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.
5.B [解析]
把方程x3+x-1=0变形为x2+1=,
方程x3+x-1=0的实数根可看成函数y=x2+1图象与函数y=图象交点的横坐标,
函数y=x2+1的图象与函数y=的图象如图所示:
∵两个函数图象的交点只有1个,∴方程x3+x-1=0的实数根有1个.故选B.
6.B [解析]
根据表中数据画出大致图象如下,
观察图象易知①②④正确,③错误.⑤中,A,B点的位置各有两种情况,由于其位置关系不能确定,∴x1,x2的大小关系无法确定.故选B.
7.A [解析]
关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解x1,x2可以看作二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴交点的横坐标.如图,二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴交点的坐标为(-1,0),(2,0),
当m>0时,抛物线位于x轴上方,此时x<-1或x>2.
又∵x1∴x1<-1<28.2a [解析]
由实数a,b在数轴上的位置可知:b<0,a>0,|b|>|a|,∴a-b>0,a+b<0,
∴-|a+b|=a-b+a+b=2a.
9.0≤a<1 [解析]
不等式组整理得解得a由整数解共有2个,得到整数解为1,2,则a的取值范围是0≤a<1.
10.x>1 [解析]
由图知:当直线y=x+b在直线y=ax+3的上方时,不等式x+b>ax+3成立;由于两直线的交点横坐标为x=1,观察图象可知,当x>1时,x+b>ax+3.
11.1- 12.3
13.0当P在直线y=2x+2上时,a=2×(-1)+2=-2+2=0;当P在直线y=2x+4上时,a=2×(-1)+4=-2+4=2,所以014.1或2 [解析]
画出函数的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与直线y=k有3个交点.函数y=的图象如图.
根据图象知道,当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2.
15.75°或15° [解析]
①当弦AC,AD在圆心两侧时,如图①,作OE⊥AC于点E,OF⊥AD于点F,
则cos∠CAO=,cos∠DAO=,
所以∠CAO=45°,∠DAO=30°,从而得∠CAD=∠CAO+∠DAO=75°;
②当弦AC,AD在圆心同侧时,如图②,同理可得:
∠CAD=∠CAO-∠DAO=15°.
所以∠CAD的度数为75°或15°.
16.5 [解析]
设DE长为x
cm,则AE=(9-x)(cm),BE=x
cm.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.
根据勾股定理得:AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5,即DE长为5
cm.
作EG⊥BC于G,如图所示,则四边形ABGE是矩形,∠EGF=90°,
∴EG=AB=3,BG=AE=4,∵∠DEF=∠BEF,∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,即BE=BF,∴GF=1,
∴EF2=EG2+GF2=32+12=10,∴EF=.
17.225 [解析]
∵P(m,n),∴OP=,
∴m2+n2的最大值即OP的最大值的平方.
连结OA并延长与圆交于点P,此时OP最大,
∵点A的坐标为(5,12),∴OA=13,
又☉A的半径为2,
∴OP=15,m2+n2的最大值为225.
18.解:(1)∵A(1,2),B(5,2),∴AB=5-1=4,AB∥x轴,
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=AB=4,AD∥BC∥y轴,∴C(5,6),D(1,6).
(2)把C(5,6)的坐标代入y=kx-2,得5k-2=6,解得k=.
(3)把D(1,6)的坐标代入y=kx-2得k-2=6,解得k=8;把B(5,2)的坐标代入y=kx-2得5k-2=2,解得k=,∴k的取值范围为≤k≤8.
19.解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c,
得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b,
∴b,c满足的关系式是c=2b.
(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,
得y=x2+bx+2b,
∵顶点坐标是(m,n),∴n=m2+bm+2b,
且m=-,即b=-2m,∴n=-m2-4m.
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.
(3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.
∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,
∴-4≤-≤0.
①当-4≤-≤-2,即4≤b≤8时,如图①所示,
当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-时,函数取到最小值y=,
∴(1+3b)-=16,
即b2+4b-60=0,
∴b1=6,b2=-10(舍去);
②当-2<-≤0,即0≤b<4时,如图②所示,
当x=-5时,函数取到最大值y=25-3b,当x=-时,函数取到最小值y=,
∴(25-3b)-=16,
即b2-20b+36=0,∴b1=2,b2=18(舍去).
综上所述,b的值为2或6.中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1【问题分析】
，记，
即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．
问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．
当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．
3.如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为，D点坐标为，故抛物线解析式为，化简为：．另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问．
点M运动的时间为，即求的最小值．
接下来问题便是如何构造，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=．
当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果．
4.抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
【分析】根据抛物线解析式得A、B、C，直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．
根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=，问题转化为PE+CH何时取到最小值．
考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，则，，，，
当P点坐标为时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．中考数学复习微专题：最值（阿氏圆问题）
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
下给出证明
法一：首先了解两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．
证明：，，即
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
法二：建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：
解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．
那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形
注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．
【问题剖析】
（1）这里为什么是？
答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是，也只能构造．
（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？
答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为．
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型
对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM==1，即可确定M点位置．
如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置，虽不够严谨，却很实用．
【练习1】如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 ．
【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可．
考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显．
当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在．
问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．
【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．方法技巧专题(四) 转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.
1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是
( )
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
2.如图F4-1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=的图象上,顶点B在反比例函数y=的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是
( )
图F4-1
A.
B.
C.4
D.6
3.如图F4-2,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F两点,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是( )
图F4-2
A.
B.
C.
D.
4.如图F4-3,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=-(x<0)的图象上,则tan∠BAO= .?
图F4-3
5.如图F4-4,A,B,C,D是圆周上的四点,且,如果弦AB=8,CD=4,那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是 .?
图F4-4
6.如图F4-5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值是 .?
图F4-5
7.如图F4-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG.
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.
①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.
图F4-6
【参考答案】
1.A
2.C [解析]
法一:延长BA交y轴于D,连接OB,如图,
∵四边形ABCO为平行四边形,∴AB∥x轴,即AB⊥y轴,
∵S△AOD=×1=,S△BOD=×5=,∴S△AOB==2,∴S?OABC=2×S△AOB=4.
法二:如图,作BE⊥x轴于E,延长BA交y轴于D,
∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,OA=BC,
∴BD⊥y轴,∴OD=BE,∴Rt△AOD≌Rt△CBE(HL),
根据系数k的几何意义,得S矩形BDOE=5,S△AOD=,
∴四边形OABC的面积=5-=4,故选C.
3.C [解析]
连结OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,
∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵点O为△ABC的重心,
∴∠OBC=∠OBA=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.
∴OB=OC,∠BOC=120°.
∵ON⊥BC,BC=2,∴BN=NC=1,
∴ON=tan∠OBC·BN=×1=,
∴S△OBC=BC·ON=.
∵∠EOF=∠BOC=120°,
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,即∠EOB=∠FOC.
在△EOB和△FOC中,
∴△EOB≌△FOC(ASA).∴S阴影=S△OBC=.
故选C.
4.2 [解析]
过A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥x轴于D,则∠BDO=∠ACO=90°,
∵顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=-(x<0)的图象上,∴S△BDO=4,S△AOC=1.
∵∠AOB=90°,∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°,∴∠DBO=∠AOC,
∴△BDO∽△OCA,∴=2=4,∴=2,
∴tan∠BAO==2.
5.10π-16 [解析]
如图,把弓形CD移动,使C与B重合,连结AD.
∵,
∴所对的圆心角为180°,
∴AD为圆的直径,
∵AB=8,CD=4,
∴AD==4,
∴图中两个弓形(阴影部分)的面积和是×8×4=10π-16.
6. [解析]
∵PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形AEPF是矩形,
连结AP,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交点就是M点.
∵当AP的值最小时,AM的值最小,∴当AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小.
∵AP×BC=AB×AC,∴AP×BC=AB×AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==10.
∵AB=6,AC=8,∴10AP=6×8,∴AP=,∴AM=.
7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.
∵点O为正方形ABCD对角线的交点,
∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.
∵四边形OEFG为正方形,
∴OG=OE,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠DEO+∠GAO=90°.
∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:
(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,
∵OA=OD=OG=OG',
∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O=,
∴∠AG'O=30°.
∵OA⊥OD,OA⊥AG',
∴OD∥AG'.
∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.
(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,
∴α=180°-30°=150°.
综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.
②AF'长的最大值是2+,此时α=315°.
[解析]
当AF'的长最大时,点F'在射线AC上,如图所示.
∵AB=BC=CD=AD=1,
∴AC=BD=,AO=OD=.
∴OE'=E'F'=2OD=.
∴OF'==2.
∴AF'=AO+OF'=+2.
∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.方法技巧专题(一) 整体思想训练
整体思想是研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.主要应用于代数式求值、因式分解、解方程等.
1.若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为
( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
2.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2019的值是
( )
A.2023
B.2021
C.2020
D.2019
3.已知M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x( )
A.有最大值,最大值为
B.有最大值,最大值为9
C.有最小值,最小值为
D.有最小值,最小值为9
4.如图F1-1,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为
( )
图F1-1
A.15
B.20
C.25
D.30
5.已知x=2y+3,则代数式4x-8y+9的值是 .?
6.已知关于x的一元二次方程(3a-1)x2-ax+=0有两个相等的实数根,则代数式a2-2a+1+的值等于 .?
7.已知且08.若x2-3x+1=0,则的值为 .?
9.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,则a2+b2= ,= .?
10.若a-,则a2+= .?
11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.
12.阅读材料:善于思考的小明在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法,解法如下:
解:将方程8x+20y+2y=10②,变形为2(4x+10y)+2y=10③,把方程①代入③得,2×6+2y=10,则y=-1;把y=-1代入①得,x=4,所以方程组的解为:
请你解决以下问题:
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组
(2)已知x,y,z,满足试求z的值.
【参考答案】
1.B [解析]
因为2a-3b=-1,4a2-6ab+3b=2a·(2a-3b)+3b=-2a+3b=-(2a-3b)=1,故选B.
2.A [解析]
根据一元二次方程的根的定义,得a2+a-3=0,所以a2=-a+3,再利用根与系数的关系,得a+b=-1,然后利用整体代入方法计算.
原式=-a+3-b+2019=-(a+b)+3+2019=-(-1)+3+2019=2023,故选A.
3.A [解析]
由M(a,b),知N(-a,b).
又M在双曲线y=上,∴ab=;N在直线y=x+3上,∴b=-a+3,即a+b=3.
于是,二次函数y=-abx2+(a+b)x=-x2+3x=-(x-3)2+,它有最大值,为.
4.D [解析]
整体观察图形,由折叠过程可知阴影部分图形的周长为:
EA1+A1D1+BC+FC+EB+D1F=EA+AD+BC+FC+EB+DF=(EA+EB)+AD+BC+(FC+DF)=AB+AD+BC+CD=2(AB+BC)=2(10+5)=30.
5.21 [解析]
本题考查代数式的整体求值,因为x=2y+3,所以x-2y=3,所以4x-8y+9=4(x-2y)+9=4×3+9=21.
6.3 [解析]
根据题意得3a-1≠0且Δ=a2-4×(3a-1)×=0,即a2-3a+1=0,
所以原式=a2-3a+1+a+=0+a+=3.
7.-①+②得,3x+3y=5k+3,∴x+y=1+k.
∵08. [解析]
法一:待求式子中存在众多的“x2”,可由x2-3x+1=0,得x2=3x-1,
则x4=x2·x2=(3x-1)2=9x2-6x+1=9(3x-1)-6x+1=21x-8.
x4+x2+1=(21x-8)+(3x-1)+1=8(3x-1),
∴.
法二:欲求S=的值,可转化成求=x2+1+的值.把方程x2-3x+1=0两边都除以x,得
x-3+=0,x+=3,x+2=9,
即x2+=7,
于是有=7+1=8,
∴S=.
9.5 [解析]
依题意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.
①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.
①-②,得4ab=4,即ab=1.
=.
注:此题把“ab”“a2+b2”分别当作整体.
10.8 [解析]
∵a-,∴原式=a2+-2·a·+2·a·=a-2+2=()2+2=8.
注:此题把“a-”当作整体.
11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).
∵m是方程x2+x-2=0的根,
∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,
∴原式=2×(2-1)=2.
注:此题把“m2+m”当作整体.
12.解:(1)将②变形得:3(2x-3y)+4y=11③.
将①代入③得3×7+4y=11,y=-.把y=-代入①得x=-,∴方程组的解为
(2)由①得3(x+4y)-2z=47③,
由②得2(x+4y)+z=36④.
③×2-④×3得z=2.