2021年8月浙江省普通高校自主招生模拟测试考试
数
学
参考答案
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的。
1.A
2.D
3.B
4.A
5.C
6.C
7.B
8.D
9.C
10.A
第10题解析：
分析Step1：，故
分析Step2：＜0
分析Step3：
分析Step4：，可列得=，得→1
（填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11.30°或60°；
或
12.；2
13.15
14.；
15.0
16.7（提示构造a（b-1）=b+1）
17.；，+∞）
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）
（1）
∵f（x）=
（2分）
∴=（4分）
∴（6分）
（2）
由（1）知f（x）=，
故有（k∈Z）上单调递增（8分）
∴f（x）的单增区间为（其中k∈Z）（10分）
∵=·
=（12分）
∴y的最大值为，且仅当x时满足（14分）
（黑色框为易失分点，化简一定要全，步骤要到位）
19.（本题满分15分）
（1）
取C中点M，连接EM,MF
∵E,MF分别为C，C,BC的中点
∴EM∥，MF∥（2分）
又∵
∴∥（4分）
又∵EF面
∴EF∥（6分）
（2）
由题意条件建立如图所示坐标系，其中O为原点
故可列得C：（（7分）
设D点横坐标为a，则有：
A’；D’
故）
故）（9分）
则（11分）
令t=，则=（12分）
记f（t），则
又因为，∴t∈，故当t=24时有最大值
∴（14分）
∴，综上：与直线的夹角的最小正弦值为（15分）
（黑色框为易失分点，条件要充分，结论要清晰，步骤要到位）
20.（本题满分15分）
（1）
由——①
得——②（2分）
则①-②得=
由-2——③，得-2——④（n≥2）（4分）
则④-③=，经检验n=1时也符合条件（5分）
故=n+1（6分）
（2）
∵（7分）
∴——⑤（8分）
∴——⑥
⑥-⑤得=，（11分）
故=（14分）
由0，，故，∴（15分）
（黑色框为易失分点，放缩要适当，检验不可落，步骤要到位）
20.（本题满分15分）
（1）
由，且，故得（2分）
由抛物线方程，解得（3分）
取其中A点坐标：（，）代入椭圆方程
解得，故椭圆方程为（5分）
（2）
∵|NT|=|MS|，∴|NM|=|TS|，设直线方程为，其中
将直线与抛物线、椭圆分别联立，得：
抛物线：，椭圆：（7分）
故可得，（9分）
故有
得，（10分）
两边开平方化简得：=
令，则有（13分）
得，解得，此时（14分）
故此时不存在符合条件的n值，使得|NT|=|MS|
因此也无符合条件的k值，使得|NT|=|MS|（15分）
（黑色框为易失分点，圆锥曲线计算要耐心，计算方法要巧妙）
22.（本题满分15分）
（1）
∵
∴（1分）
当a＜0时，，故f（x）此时只存在极小值（2分）
当a＞0时，令g（x）=，（3分）
∴在上单调递增，（上单调递减（4分）
∴只需使即可
故=，解得（6分）
（2）
由题意得g（x）=（7分）
故，
当时，可知
故g’（x）应当存在极小值点，其对应的横坐标为m（9分）
要证：，只须证明
设满足0
故，＜m（10分）
则只须证明）
即证明（11分）
构造函数
故
故对于，，（14分）
故t（x）＞0在x＞m时恒成立，故证明成立
综上可得恒成立（15分）
（黑色框为易失分点，导数作为压轴题对考生思维考查含量较高，方法要更加灵活）绝密★考试结束前
2021年8月浙江省普通高校自主招生模拟测试考试
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★试题介绍：
A.本试题卷分选择题和非选择题两部分。
B.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
C.满分150分。考试用时120分钟。
★考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
★参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分（共40分）
选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A，集合B，集合C满足右图所示的关系图，则阴影部分在下列表达式中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知，则z的实部与虚部相加为（
）
A.4
B.2
C.-2
D.-4
第1题图
已知实数a与b满足p：，q：a＞-b＞0，则q是p的（
）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.如右图三视图，其中侧视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.4
D.2
5.若实数x与y满足，则的最大值是（
）
A.
B.
C.5
D.
第4题图
6.如图所示，ABCD-EFGH是一个长方体，其中|AB|=|AD|=2，|AH|=4，P是面EFGH内部中的一点，连接AP，则AP与面CDGF的夹角正弦值最大为（
）
A.
B.
C.
D.
7.已知正整数x与y满足x+xy+y=17，则x与y的组解共有（
）
A.2组
B.4组
C.6组
D.8组
第7题图
如图所示，抛物线的焦点为F，M为抛物线第一象限上一点，连接MF，过F作PF直线交y轴于P点，连接MP,若∠MFP=60°，∠MPF=90°，则M点的横坐标为（
）
A.
B.
C.
D.3
9.已知向量与均为单位向量，且满足，是任意一向量，则当有最小值时，||的值为（
）
A.
B.
C.
D.1
10.已知数列满足，，记为数列的前n项和，则当n→（趋近于）时，下列对于的值的分析正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
非选择题部分（共110分）
（填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11.已知在ABC中sin2A，则∠A=
▲
，若a与b分别为∠A、∠B的对边，且a=2，b=1，sinB=
▲
。
12.已知数列满足，则数列的通项公式是
▲
；对于的函数表达式（自变量＞0）中，则最小值最接近整数
▲
。
13.二项展开式
则
▲
。
14.甲箱子中装有2个红球与2个蓝球，乙箱子中装有1个红球，1个蓝球和2个黄球，现从甲、乙箱子里各挑1个球，记表示摸出的红球个数，则
▲
，
▲
。
15.已知f（x）=,且满足，b，若f（x）≥0恒成立，则c+b的最小值为
▲
。
16.若a＞0，b＞0，且ab=a+b+1，则a+2b的最小值为
▲
。
17.如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为。当P在左端点时，△是等边三角形。若△是等边三角形，则=
▲
；记直线PB的斜率为，则的取值范围是
▲
。
第17题图
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）
已知f（x）=，回答下列有关小问：
设，求y的周期；
求f（x）的单调区间；设，求y的最大值。
19.（本题满分15分）
如图1，2所示，ABCD是等腰梯形，其中3|AB|=|CD|=6，|AD|=4，P是CD边上的三等分点（靠近D点），连接BP，先将等腰梯形沿BP边翻折，点A对应，点D对应，连接,，回答下列有关小问：
（1）记的中点为E，CB的中点为F，连接EF，求证EF∥面BP；
（2）求直线与直线的夹角的最小正弦值。
20.（本题满分15分）
已知数列与数列满足关系式，记为数列的前n项和，满足-2，回答下列有关小问：
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，记为数列的前n项和，求证：
21.（本题满分15分）
如图所示，直角坐标系中存在椭圆方程，抛物线方程。F是抛物线的焦点，A与B是椭圆与抛物线的交点，且A与B的横坐标之和为，回答下列有关小问：
（1）求椭圆的方程；
第21题图
（2）过F点一直线L交椭圆于T,S两点，交抛物线于N,M两点，N与T、M与S不重合。是否存在直线斜率为k的直线L满足|NT|=|MS|，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
22.（本题满分15分）
已知函数不存在极大值与极小值，回答下列有关小问：
求实数a的取值范围；
令g（x）=f（x）+，且，若m表示g（x）的极值对应的横坐标，求证：在存在符合条件的与下恒成立。
数学科目第
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