【精品解析】高中数学人教A版（2019） 选修一 第一章 空间向量与立体几何

高中数学人教A版（2019） 选修一 第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高二上·柯桥期末）在空间直角坐标系中，向量 ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．（2020高二上·金台期末）已知 且 ，则 的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·池州期末）已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若 ，则“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共面向量定理
【解析】【解答】由题意，空间中四点A，B，C，D，若
若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需 ，
又由 ， ， ，可得 ，
所以“ ， ， ”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，
反之不一定成立，即充分性不成立，
所以“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的必要不充分条件。
4．（2020高二上·赣县月考）设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （　　）
A．2 B．-4 C．-2 D．4
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解之得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式得到关于k的方程求解出结果即可。
5．（2021高二下·成都月考）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则直线 与平面 所成角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则由题意得，B（1，1，0），D（0，0，0），，所以，设平面BDE的法向量为，
则，令y=1，则x=-1，z=-2，所以，
设 直线 与平面 所成角为，则
则.
故答案为：B.
【分析】先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量求线面角即可.
6．（2020高二上·丽水期末）如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形 与正三角形 中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面 ⊥面 ，面 面 ，所以BE⊥面ADC，
以E为原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
，
平面ACD的一个法向量为
而 ，设 为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角 的平面角为θ，则θ为锐角，
所以 .
故答案为：D
【分析】首先由已知条件的面面垂直即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。
7．（2020高二上·福州期中）已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，求点 到平面 的距离（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】在正方体中， ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，则 ，因此 ，
不妨令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以点 到平面 的距离为 .
故答案为：C.
【分析】在正方体中， ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，根据题中条件，求出平面 的一个法向量，以及直线 的方向向量，根据空间向量的方法，即可求出点到面的距离.
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
二、多选题
9．（2020高二上·济宁期末）已知空间四点 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．点O到直线 的距离为 D．O，A，B，C四点共面
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面内点到直线的距离公式；共面向量定理
【解析】【解答】 ，
，A符合题意；
，B符合题意；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C符合题意；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
则 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。
10．（2020高二上·漳州期中）将直角三角形 沿斜边上的高 折成 的二面角，已知直角边 ， ，那么下列说法正确的是（　　）
A．平面 平面
B．四面体 的体积是
C．二面角 的正切值是
D． 与平面 所成角的正弦值是
【答案】C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】画出图象如下图所示，
对于B选项，由于 ， ，故 是二面角 的平面角，
则 ， ， 平面 ，
过 作 交 的延长线于 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ，故 是三棱锥 的高.
在原图中， ， ， ，
， ，
所以 ，B不符合题意；
对于A选项，以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
、 、 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
所以，平面 与平面 不垂直，A不符合题意；
对于C选项，平面 的一个法向量为 ， ，
，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
则 ，C符合题意；
对于D选项， ，平面 的一个方法向量为 ，
，
因此， 与平面 所成角的正弦值是 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用等体积法计算出三棱锥 的体积，考查判断出B选项的正误；以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断出A、C、D选项的正误.
11．（2021高二下·河北期末）（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是
C．点 到平面AEF的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A：连接 ， ， ，依题意可知 ，即 四点共面，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即直线 与平面 平行，A符合题意；
对于B：三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，所以外接球的直径即为 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，设面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ，所以点 到平面AEF的距离 ，C符合题意；
因为点 在线段 上运动， ，所以异面直线 和 所成角即为 与 所成的角， 显然当 在 的端点处时，所成角为 ，当 在 的中点时 ，即所成角为 ，所以 与 所成的角的范围为 ，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，则外接球的直径即为 ，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，利用特殊位置即可判断D。
12．（2020高二下·常熟期中）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，连结 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）
A． 与平面 所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角 的大小为 时，
D．存在某个位置，使得 到平面 的距离为
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图所示：
A项：取 的中点 ，连结 、 ，
因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
所以 在平面 的射影为 ，
即 与平面 所成角，
，三角形 是等腰三角形，
当 时， 与平面 所成角为 ，A不符合题意；
B项：当 时，取 的中点 ，
可得 ， ，故 平面 ， ，B符合题意；
C项：因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ， ，
因为 是平面 与平面 的交线，
所以 即平面 与平面 所成角，
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，C符合题意；
D项：因为 ，所以如果 到平面 的距离为 ，
则 平面 ， ， ， ，
，则 ，显然不可能，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合翻折的方法，再结合线面角的求解方法和几何法求出直线 与平面 所成的最大角，利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ，利用已知条件结合二面角的求解方法，进而求出PC的长，利用已知条件结合点到平面的求解方法得出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合勾股定理，进而求出PD的长，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二下·南京开学考）在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 。
故答案为 。
【分析】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
14．（2020高二上·北京期中）棱长为1的正方体 中， 为 中点，则点 到平面 的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题意 ，
又 ， ，等腰 底边 上的高为 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，
故答案为： 。
【分析】利用正方体的结构特征结合同体积法，从而利用三棱锥的体积公式结合三角形面积公式，从而求出点 到平面 的距离。
15．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
16．（2020高二上·大同期中）已知三棱锥S -ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S- ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知，可将三棱锥 放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面 距离最大的点应该在过球心且和面 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则 ，则点到面 距离的最大值为 ，
故答案为 。
【分析】由已知，可将三棱锥 放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面 距离最大的点应该在过球心且和面 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，从而求出球的半径，再利用点到平面的距离公式求出点Q到平面ABC的距离的最大值。
四、解答题
17．（2021高二下·桂林期末）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）由已知得， 平面 ，
平面 ，故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，
故 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 可取
于是
所以，二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
18．（2021高二下·四川期末）如图1所示，在菱形 中， ，对角线 与 相交于点 ，现沿着对角线 折成一个四面体 ，如图2所示．
（1）在图2中，证明： ；
（2）若图2中 ，点 是线段 的三等分点（靠近点 ），求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明： 是菱形，点 是 中点，
， ，
又 ，
平面 ，
平面 ，
．
（2） 和 是等边三角形，边长为 ，点 是中点，
， ，
，则 ．
又 ， ，
平面 ．
如图，建立空间直角坐标系 ，
， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
，
平面 的法向量为 ，
，
由图知二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件以及线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此得证出结论。
(2)由已知条件结合三角形中点的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值。
19．（2021高二下·诸暨期末）如图，四梭锥 中， ， 为 中点.
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1） ， ，
又 为 中点，则有 ，
∥ ， ，
∵
平面 ，
∵ 平面 ，
所以 .
（2）方法一：由（1）知： 平面 ，
即为二面角 的平面角，
所以 ，所以
过点 作 于 ，记 ，
中：
又 面 ，
到面 的距离与 到面 的距离相等，
方法二：以 为原点， 为 轴， 轴，垂直平面 向上方向为 轴，
如图建立空间直角坐标系，令 ，则 ；
因为二面角 的余弦值为 ，设 ，则 ；
所以 ，则 又 ，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 ，所以 ，
令直线 与平面 所成角为 ，
则 .
由 ，得
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1 )证明 平面 ， 然后证明 ；
(2)法一：说明 即为二面角 的平面角，过点 作 于 ，记 ，然后求解即可；
法二：以 为原点， 为 轴， 轴，垂直平面 向上方向为 轴，如图建立空间直角坐标系，通过二面角E- AB一D的余弦值，求出平面ABE的法向量，然后求解即可求出直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（2021高二下·雅安期末）如图，面 是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段 是该圆柱的一条母线， ，点D为 的中点．
（1）当点E为棱BC的中点时，求证： 平面 ；
（2）当轴截面 是边长为2的正方形时，求平面 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）解：由题意知 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， ，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系；
又因为 ，且 ，所以 ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则： ，
所以 ，令 ，则 ，
又因为 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ， ， ，再利用 ， 分别为 ， 的中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，推出 ， ， ， ，所以 ， ，故四边形 为平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 利用已知条件知 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， ，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出平面 与平面 所成角的正弦值。
21．（2021高二下·保山期末）如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）存在．
当 为 中点时， 平面 ．
证明：∵ 分别为 ， 中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）如图，过 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵平面 平面 且平面 平面 ，
又四边形 为矩形，
∴ 则 平面 ，
则 ， ， 垂直，以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，
因为D为B，C的中点，所以 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即
∴ ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又∵线面角的范围是 ，
∴直线 与平面 所成角正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 在直线 上存在一点 ， 当 为 中点时， 平面 。利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 过 作 交 于点 ，利用 ， ，所以 ，再利用面面垂直的性质定理结合矩形的结构特征，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
22．（2021高二下·汕头期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）
∴∠PAD＝∠PAB＝90°
∴PA⊥AB， ，又∵
∴PA⊥平面ABCD，∵BC 平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD为正方形 ∴AB⊥BC
又 ，PA，AB 平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE 平面PAB ∴AE⊥BC
∵PA＝AB，E为线段PB的中点
∴AE⊥PB
又 ，
∴AE⊥平面PBC
（2）存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
不妨设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）
设 ，则
设平向AEF的一个法向量为
则
令 ，则
设平面PCD的一个法向量为
则
令 ，则
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
，解得 ．
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用两三角形全等的判断方法，得出△PAD≌△PAB（SSS），所∠PAD＝∠PAB＝90°
，所以PA⊥AB， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以PA⊥平面ABCD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以PA⊥BC，因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC，再利用线线垂直推出线面垂直，所以BC⊥平面PAB，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以AE⊥BC，因为PA＝AB，E为线段PB的中点，再利用等腰三角形三线合一，所以AE⊥PB，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出直线AE⊥平面PBC。
（2） 存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式求出平面AEF与平面PCD所成的角，再利用平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30° ，从而求出此时对应的点F的位置，即点F为BC中点。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高二上·柯桥期末）在空间直角坐标系中，向量 ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·金台期末）已知 且 ，则 的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2020高二上·池州期末）已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若 ，则“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020高二上·赣县月考）设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （　　）
A．2 B．-4 C．-2 D．4
5．（2021高二下·成都月考）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则直线 与平面 所成角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·丽水期末）如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·福州期中）已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，求点 到平面 的距离（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·济宁期末）已知空间四点 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．点O到直线 的距离为 D．O，A，B，C四点共面
10．（2020高二上·漳州期中）将直角三角形 沿斜边上的高 折成 的二面角，已知直角边 ， ，那么下列说法正确的是（　　）
A．平面 平面
B．四面体 的体积是
C．二面角 的正切值是
D． 与平面 所成角的正弦值是
11．（2021高二下·河北期末）（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是
C．点 到平面AEF的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
12．（2020高二下·常熟期中）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，连结 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）
A． 与平面 所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角 的大小为 时，
D．存在某个位置，使得 到平面 的距离为
三、填空题
13．（2021高二下·南京开学考）在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　.
14．（2020高二上·北京期中）棱长为1的正方体 中， 为 中点，则点 到平面 的距离为　 　．
15．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
16．（2020高二上·大同期中）已知三棱锥S -ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S- ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为　 　．
四、解答题
17．（2021高二下·桂林期末）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
18．（2021高二下·四川期末）如图1所示，在菱形 中， ，对角线 与 相交于点 ，现沿着对角线 折成一个四面体 ，如图2所示．
（1）在图2中，证明： ；
（2）若图2中 ，点 是线段 的三等分点（靠近点 ），求二面角 的余弦值．
19．（2021高二下·诸暨期末）如图，四梭锥 中， ， 为 中点.
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（2021高二下·雅安期末）如图，面 是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段 是该圆柱的一条母线， ，点D为 的中点．
（1）当点E为棱BC的中点时，求证： 平面 ；
（2）当轴截面 是边长为2的正方形时，求平面 与平面 所成角的正弦值．
21．（2021高二下·保山期末）如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．（2021高二下·汕头期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共面向量定理
【解析】【解答】由题意，空间中四点A，B，C，D，若
若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需 ，
又由 ， ， ，可得 ，
所以“ ， ， ”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，
反之不一定成立，即充分性不成立，
所以“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“A，B，C，D四点共面”是“ ， ， ”的必要不充分条件。
4．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解之得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式得到关于k的方程求解出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则由题意得，B（1，1，0），D（0，0，0），，所以，设平面BDE的法向量为，
则，令y=1，则x=-1，z=-2，所以，
设 直线 与平面 所成角为，则
则.
故答案为：B.
【分析】先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量求线面角即可.
6．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形 与正三角形 中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面 ⊥面 ，面 面 ，所以BE⊥面ADC，
以E为原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
，
平面ACD的一个法向量为
而 ，设 为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角 的平面角为θ，则θ为锐角，
所以 .
故答案为：D
【分析】首先由已知条件的面面垂直即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。
7．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】在正方体中， ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，则 ，因此 ，
不妨令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以点 到平面 的距离为 .
故答案为：C.
【分析】在正方体中， ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，根据题中条件，求出平面 的一个法向量，以及直线 的方向向量，根据空间向量的方法，即可求出点到面的距离.
8．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面内点到直线的距离公式；共面向量定理
【解析】【解答】 ，
，A符合题意；
，B符合题意；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C符合题意；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
则 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。
10．【答案】C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】画出图象如下图所示，
对于B选项，由于 ， ，故 是二面角 的平面角，
则 ， ， 平面 ，
过 作 交 的延长线于 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ，故 是三棱锥 的高.
在原图中， ， ， ，
， ，
所以 ，B不符合题意；
对于A选项，以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
、 、 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
所以，平面 与平面 不垂直，A不符合题意；
对于C选项，平面 的一个法向量为 ， ，
，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
则 ，C符合题意；
对于D选项， ，平面 的一个方法向量为 ，
，
因此， 与平面 所成角的正弦值是 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用等体积法计算出三棱锥 的体积，考查判断出B选项的正误；以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断出A、C、D选项的正误.
11．【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A：连接 ， ， ，依题意可知 ，即 四点共面，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即直线 与平面 平行，A符合题意；
对于B：三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，所以外接球的直径即为 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，设面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ，所以点 到平面AEF的距离 ，C符合题意；
因为点 在线段 上运动， ，所以异面直线 和 所成角即为 与 所成的角， 显然当 在 的端点处时，所成角为 ，当 在 的中点时 ，即所成角为 ，所以 与 所成的角的范围为 ，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，则外接球的直径即为 ，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，利用特殊位置即可判断D。
12．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图所示：
A项：取 的中点 ，连结 、 ，
因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
所以 在平面 的射影为 ，
即 与平面 所成角，
，三角形 是等腰三角形，
当 时， 与平面 所成角为 ，A不符合题意；
B项：当 时，取 的中点 ，
可得 ， ，故 平面 ， ，B符合题意；
C项：因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ， ，
因为 是平面 与平面 的交线，
所以 即平面 与平面 所成角，
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，C符合题意；
D项：因为 ，所以如果 到平面 的距离为 ，
则 平面 ， ， ， ，
，则 ，显然不可能，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合翻折的方法，再结合线面角的求解方法和几何法求出直线 与平面 所成的最大角，利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ，利用已知条件结合二面角的求解方法，进而求出PC的长，利用已知条件结合点到平面的求解方法得出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合勾股定理，进而求出PD的长，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 。
故答案为 。
【分析】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题意 ，
又 ， ，等腰 底边 上的高为 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，
故答案为： 。
【分析】利用正方体的结构特征结合同体积法，从而利用三棱锥的体积公式结合三角形面积公式，从而求出点 到平面 的距离。
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知，可将三棱锥 放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面 距离最大的点应该在过球心且和面 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则 ，则点到面 距离的最大值为 ，
故答案为 。
【分析】由已知，可将三棱锥 放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面 距离最大的点应该在过球心且和面 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，从而求出球的半径，再利用点到平面的距离公式求出点Q到平面ABC的距离的最大值。
17．【答案】（1）由已知得， 平面 ，
平面 ，故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，
故 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 可取
于是
所以，二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
18．【答案】（1）证明： 是菱形，点 是 中点，
， ，
又 ，
平面 ，
平面 ，
．
（2） 和 是等边三角形，边长为 ，点 是中点，
， ，
，则 ．
又 ， ，
平面 ．
如图，建立空间直角坐标系 ，
， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
，
平面 的法向量为 ，
，
由图知二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件以及线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此得证出结论。
(2)由已知条件结合三角形中点的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值。
19．【答案】（1） ， ，
又 为 中点，则有 ，
∥ ， ，
∵
平面 ，
∵ 平面 ，
所以 .
（2）方法一：由（1）知： 平面 ，
即为二面角 的平面角，
所以 ，所以
过点 作 于 ，记 ，
中：
又 面 ，
到面 的距离与 到面 的距离相等，
方法二：以 为原点， 为 轴， 轴，垂直平面 向上方向为 轴，
如图建立空间直角坐标系，令 ，则 ；
因为二面角 的余弦值为 ，设 ，则 ；
所以 ，则 又 ，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 ，所以 ，
令直线 与平面 所成角为 ，
则 .
由 ，得
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1 )证明 平面 ， 然后证明 ；
(2)法一：说明 即为二面角 的平面角，过点 作 于 ，记 ，然后求解即可；
法二：以 为原点， 为 轴， 轴，垂直平面 向上方向为 轴，如图建立空间直角坐标系，通过二面角E- AB一D的余弦值，求出平面ABE的法向量，然后求解即可求出直线 与平面 所成角的正弦值.
20．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）解：由题意知 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， ，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系；
又因为 ，且 ，所以 ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则： ，
所以 ，令 ，则 ，
又因为 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ， ， ，再利用 ， 分别为 ， 的中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，推出 ， ， ， ，所以 ， ，故四边形 为平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 利用已知条件知 ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， ，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出平面 与平面 所成角的正弦值。
21．【答案】（1）存在．
当 为 中点时， 平面 ．
证明：∵ 分别为 ， 中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）如图，过 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵平面 平面 且平面 平面 ，
又四边形 为矩形，
∴ 则 平面 ，
则 ， ， 垂直，以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，
因为D为B，C的中点，所以 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即
∴ ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又∵线面角的范围是 ，
∴直线 与平面 所成角正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 在直线 上存在一点 ， 当 为 中点时， 平面 。利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 过 作 交 于点 ，利用 ， ，所以 ，再利用面面垂直的性质定理结合矩形的结构特征，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
22．【答案】（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）
∴∠PAD＝∠PAB＝90°
∴PA⊥AB， ，又∵
∴PA⊥平面ABCD，∵BC 平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD为正方形 ∴AB⊥BC
又 ，PA，AB 平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE 平面PAB ∴AE⊥BC
∵PA＝AB，E为线段PB的中点
∴AE⊥PB
又 ，
∴AE⊥平面PBC
（2）存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
不妨设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）
设 ，则
设平向AEF的一个法向量为
则
令 ，则
设平面PCD的一个法向量为
则
令 ，则
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
，解得 ．
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用两三角形全等的判断方法，得出△PAD≌△PAB（SSS），所∠PAD＝∠PAB＝90°
，所以PA⊥AB， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以PA⊥平面ABCD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以PA⊥BC，因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC，再利用线线垂直推出线面垂直，所以BC⊥平面PAB，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以AE⊥BC，因为PA＝AB，E为线段PB的中点，再利用等腰三角形三线合一，所以AE⊥PB，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出直线AE⊥平面PBC。
（2） 存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式求出平面AEF与平面PCD所成的角，再利用平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30° ，从而求出此时对应的点F的位置，即点F为BC中点。
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