13.3全等三角形的判定 同步培优提升训练 2021-2022学年冀教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《13.3全等三角形的判定》
同步培优提升训练（附答案）
一．选择题
1．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（　　）
A．1
B．3
C．5
D．7
2．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（　　）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
3．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．下列添加的条件不正确的是（　　）
A．EF＝EB
B．EA＝EC
C．AF＝CB
D．∠AFE＝∠B
5．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（　　）
A．6
B．5
C．3
D．4.5
6．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（　　）
A．40°
B．15°
C．25°
D．30°
7．在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
二．填空题
8．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　
　，使△AEH≌△CEB．
9．已知：如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为　
　；
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为　
　；
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为　
　．
10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是　
　．
11．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，AB＝BC．若AB＝8，CF＝2，则BD＝　
　．
12．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　
　cm．
13．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　
　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B（9，0），且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为　
　．
三．解答题
15．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证：∠C＝∠A．
（2）如图2，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB＝DE．
16．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠C＝∠E＝90°，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AB＝11，AG＝6，求DG的长．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E和D．试猜想线段AD、BE、DE三者之间有何数量关系？并证明你的猜想．
18．已知：如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，
（1）求证：DE＝BD+CE．
（2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？并证明．
19．如图，已知：AB＝AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE＝BD+CE．
（2）如图2，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则（1）中的结论DE＝BD+CE还成立吗？（只回答，不用证明）
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，是判定△DEF的形状，并证明你的判定．
20．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　
　．
21．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；
（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
22．在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．
求证：（1）△ABE≌△AFE；
（2）AD＝AB+CD．
参考答案
1．解：∵FC∥AB，
∴∠ADF＝∠F．
∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CEF（ASA）．
∴AD＝CF＝5．
又∵BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7，
故选：D．
2．解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
3．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
4．解：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°，
在Rt△AEF和Rt△CDF中，∵∠AFE＝∠CFD，
∴90°﹣∠AFE＝90°﹣∠CFD，
∴∠EAF＝∠DCF，
所以根据AAS添加EF＝EB或AF＝CB，根据ASA添加EA＝EC，可证△AEF≌△CEB．
故选：D．
5．解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6，
∵∠D+∠BEC＝180°，∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠D＝∠FEC，
∴∠F＝∠FEC，
∴CF＝CE＝6，
故选：A．
6．解：在△CAD和△CBD中，
，
∴△CAD≌△CBD（SSS），
∴∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B，
又∵AC＝CB，M，N分别为CA，CB的中点，
∴AM＝BN，又AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN（SAS），
∴∠ADM＝∠BDN＝30°，
∵∠ADN＝80°，
∴∠ADM+2∠CDN＝80°，
∴∠CDN＝25°，
故选：C．
7．解：如图所示：一共有7个符合题意的点．
故选：D．
8．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，
∴∠EAH＝∠DCH，
∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．
9．解：（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为BC＝EF；
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为∠A＝∠D；
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为∠ACB＝∠DFE．
故填BC＝EF，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE．
10．解：如图，过A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），
∴OC＝2，OE＝1，BE＝5，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE＝5，AD＝CE＝1+2＝3，
∴OD＝2+5＝7，
∴则A点的坐标是（﹣7，3）．
故答案为（﹣7，3）．
11．证明：∵CB⊥AD，AE⊥CD，
∴∠ABF＝∠CBD＝∠AED＝90°，
∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中，，
∴△ABF≌△CBD（ASA），
∴BF＝BD，
∵BC＝AB＝8，BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，
∴BD＝BF＝6；
故答案为：6．
12．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
13．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
14．解：如图，过点C作CE⊥OA，CF⊥OB，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE＝CF，
∵四边形OECF是矩形，
∴矩形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∵AE＝OE﹣OA＝OE﹣3，BF＝OB﹣OF＝9﹣OF，
∴OE＝OF＝6，
∴C（6，6），
故答案为：（6，6）；
15．证明：（1）如图1中，连接BD．
在△BDC和△BDA中，
，
∴△BDC≌△BDA（SSS），
∴∠C＝∠A．
（2）如图2中，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ACB≌△DFE（ASA），
∴AB＝DE．
16．（1）证明：∵∠CAD＝∠EAB，
∴∠CAD+∠BAD＝∠EAB+∠DAB，即∠CAB＝∠EAD．
又AC＝AE，∠C＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD．
∵AB＝11，
∴AD＝11．
又AG＝6，
∴DG＝11﹣6＝5．
17．答：AD﹣BE＝DE，
证明：∵∠E＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，
∴BE＝CD，AD＝CE，
∴AD﹣BE＝CE﹣CD＝DE．
18．证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（2）BD＝DE+CE，理由是：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，CE＝AD，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝CE+DE．
19．解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠DBA＝∠CAE；
∵CE⊥DE，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ADB＝∠CEA．
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵DE＝DA+AE，
∴DE＝BD+CE；
（2）（1）中的结论DE＝BD+CE仍然成立．
理由：∵∠DAB+BAC+∠CAE＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴∠DAB+∠BAC+∠CAE＝∠CAE+∠ACE+∠AEC．
∵∠BAC＝∠AEC，
∴∠DAB＝∠ACE．
在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵DE＝DA+AE，
∴DE＝BD+CE；
（3）△DFE是等边三角形．
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴∠DBA＝∠EAC，BD＝EA．
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BF＝AB＝AF＝AC＝CF，∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠ABF+∠DBA＝∠CAF+∠EAC，
∴∠DBF＝∠EAF．
在△FDB和△FEA中，
，
∴△FDB≌△FEA（SAS），
∴DF＝EF，∠DFB＝∠EFA．
∵∠DFB+∠DFA＝60°，
∴∠EFA+∠DFA＝60°，
即∠DFE＝60°
∴△DFE是等边三角形．
20．证明：图②，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∵，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
图③，
∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
图④，
解：∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由图3中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5，
故答案为：5．
21．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC＝CD；
（2）如图，连接BD，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，
∴∠ABD＝∠EBD．
22．（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△ABE≌△AFE，
∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，
∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠DEC＝∠DEF，
∵点E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
在△ECD和△EFD中，
，
∴△ECD≌△EFD（SAS），
∴DC＝DF，
∵AD＝AF+DF，AB＝AF，
∴AD＝AB+CD．