冀教版九年级数学上册 25.5相似三角形的性质 同步优生辅导训练 （word版，含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（　　）
A．2
B．1
C．
D．
2．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AD：BD的值为（　　）
A．1：9
B．1：3
C．1：8
D．1：2
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠C，若AE＝3，AD＝4，则AC的长度为（　　）
A．5
B．
C．6
D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是对角线BD上一动点，过E作MN⊥BD于E，交AB于M，交CD于N，当点E在BD上移动时，MN的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．无法确定
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（　　）
A．1：12
B．1：9
C．1：6
D．1：3
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．2
8．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：2，连接BE交AC于点F，若BD＝6，CF＝4，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．4
B．
C．
D．5
9．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为（　　）
A．1
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（　　）
A．
B．
C．2.5
D．
12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　）
A．
B．
C．1
D．
二．解答题
13．如图，△ABC为等边三角形，点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC的延长线上，连接AD，DE，∠ADE＝∠ABC．
（1）求证：△ADB∽△DEC；
（2）若BC＝4，DB＝2，求CE的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A向BC边作垂线，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝6，AF＝4，求AB的长．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE?AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
16．如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：
（1）△ACG≌△DOA；
（2）DF?BD＝2DE?AG．
17．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE与BD交于点H，AE的延长线与DC的延长线交于点G，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：AD2＝DF?DG；
（2）若HE＝4，EG＝5，求AH的长．
18．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
19．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是BC、AD上的点，BE＝DF，连接AE、CF，AF＝FC，DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
20．探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．
参考答案
1．解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：B．
2．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝AD2：AB2，
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD：BD＝1：2．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝2ED，
∴BC＝2ED，
∴＝，
故选：B．
4．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∵∠ADE＝∠C，
∴△ACD∽△ADE，
∴，即，
∴AC＝．
故选：B．
5．解：如图，过点M作MH⊥DC于H，
∴∠MHC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCHM是矩形，
∴MH＝BC＝3，
∵AB＝CD＝6，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝3，
∵MN⊥BD，
∴∠DEN＝∠MHN＝∠C＝90°，
∴∠MNH+∠BDC＝∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠MNH，
∴△DBC∽△MNH，
∴，
∴＝，
∴MN＝，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△DCF＝9S△AEF，
∴S△ADF＝3S△AEF，
∴S△AEF＝S△ADF，
＝，
故选：A．
7．解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，
∴PB＝AB，AC＝CF＝CB+BF＝4，∠F＝∠C＝90°，∠PBA＝90°，
∴∠FOB+∠FBO＝90°，∠ABC+∠FBO＝90°
∴∠FOB＝∠ABC，
∴△FOB∽△CBA，
∴＝，
即＝，
∴OF＝1，
在Rt△FBO中，由勾股定理得，
OB＝＝＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝2，
∴OP＝PB﹣OB＝，
故选：A．
8．解：∵菱形ABCD，BD＝6，
∴DC∥AB，DC＝AB，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠CAB，∠CDO＝∠ABO，OD＝BD＝3，
∴△CEF∽△BFA，
∴EC：AB＝FC：AF，
∵DE：EC＝1：2，
∴EC：DC＝2：3，
∴EC：AB＝2：3，
∴FC：AF＝2：3，
∵FC＝4，
∴AF＝6，
∴AC＝AF+FC＝6+4＝10，
∴OA＝AC＝5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝．
故选：C．
9．解：如图，
过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，
∵AF＝2EF，S△DFE＝1，
∴S△ADF＝2S△DFE＝2，
∵△AED由△ACD沿AD翻折得到，
∴DE＝DC＝2，∠E＝∠C，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝1+2＝3，
∵BD＝2DC＝4，
∴S△ABD＝2S△ADC＝2×3＝6，
∴×BD×AG＝6，即×4×AG＝6，
∴AG＝3，
∵AB＝AD，AD⊥BC，
∴BG＝DG＝DB＝2，
∴CG＝CD+DG＝2+2＝4，
∴AC＝＝＝5，
又∠DHE＝∠AGC＝90°，
∴△DHE∽△AGC，
∴，即，
解得DH＝，
∴点D到AE的距离为．
故选：B．
10．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．
∴AC＝＝＝6，
∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF，又∠ABD＝∠FBD，
∴∠FBD＝∠BDF，
∴FB＝FD，
∴EF＝2FB，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得，BF＝，
∴AE＝．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
故选：A．
12．解：∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴EC∥AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴＝＝，
∴AF＝AC＝．
故选：D．
13．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°．
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
即∠ADB+∠CDE＝60°，
又∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠E．
∴△ADB∽△DEC；
（2）∵BC＝4，DB＝2，
∴DC＝BC+DB＝6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝4，
由（1）知△ADB∽△DEC，
∴，
即，
∴EC＝3．
14．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFE＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴DE＝＝＝12，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴CD＝＝8，
∵AB＝CD，
∴AB＝8．
15．证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE?AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE?AD，
∴BD2＝DE?AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
16．证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，
∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，
∵AE⊥CD，CG⊥AC，
∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，
∴∠G＝∠DCA，
∴∠G＝∠DAC，
∵BD＝2AC，BD＝2OD，
∴AC＝OD，
在△ACG和△DOA中，
∴△ACG≌△DOA（AAS）；
（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，
∴∠DOC＝∠DEF＝90°，
又∵∠CDO＝∠FDE，
∴△CDO∽△FDE，
∴＝，即得OD?DF＝DE?CD，
∵△ACG≌△DOA，
∴AG＝AD＝CD，
又∵OD＝BD，
∴DF?BD＝2DE?AG．
17．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE＝∠DGA，
又∠BAE＝∠DAF，
∴∠DGA＝∠DAF，
又∠ADF＝∠GDA，
∴△ADF∽△GDA，
∴，
∴AD2＝DF?DG．
（2）解：∵AB∥GD，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
即AH2＝HG?HE＝（4+5）×4＝36，
∴AH＝6．
18．（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；
（2）解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴，，
∴RB＝2PB，
∵点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，
∴，
∴QR＝2PQ，
∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF＝FC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，
即＝，
∴DG＝．
20．解：探究：∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝3，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．