冀教版九年级数学上册 25.6相似三角形的应用同步能力提升训练（word版，含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.6相似三角形的应用》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m
B．30m
C．40m
D．60m
2．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（　　）
A．3cm
B．2cm
C．2.5cm
D．3.5cm
3．有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（　　）
A．4
m
B．m
C．5m
D．m
5．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面（　　）
A．2.4米
B．8米
C．3米
D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
6．如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝AO，连接BO并延长到点D，使OD＝BO．测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为（　　）
A．30米
B．45米
C．60米
D．90米
二．填空题
7．我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为
　
　尺．
8．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为
　
　m．
9．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为　
　m．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　
　．
11．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　
　米．
12．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则AB+BC＝　
　．
13．如图，△ABC中，AB＝，BC＝7，AD是△ABC的中线，点H在线段AD上．若∠ABC＝∠BHD＝45°，BH交AC于点F，则CF＝　
　．
14．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长　
　米．
15．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小红在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小红又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小红的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝8m，C1E1＝4m，则电线杆AB的高度为　
　m．
三．解答题
16．青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
17．小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且AB⊥EB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，DE⊥EB，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2米．已知标杆DE＝2.2米，求该塔的高度AB．
18．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
19．如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
20．如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
21．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
22．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
参考答案
1．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
2．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选：A．
3．解：如图当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，
EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝．
∵BC＝15cm，AD＝12cm，小长方形邻边长分别为5cm和2cm
∴＝
解得：AG＝4，
∴GD＝8cm，
∵小正方形的宽为2cm，
∴能分割4层小长方形，
∵BC＝15cm，
∴最底层能裁两个小长方形，
故共裁1+1+2+2＝6个小长方形．
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MCH∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，
解得MH＝．
故选：B．
5．解：作PE⊥BC于E．
∵CD∥AB，
∴△APB∽△CDP，
∴＝＝＝＝，
∵CD∥PE，
∴△BPE∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
解得PE＝2.4．
故选：A．
6．解：∵△ABO和△COD中，＝＝，
且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝2，
又∵CD＝30m，
∴AB＝60m．
故选：C．
7．解：设BC＝x尺．
∵四边形BCDE是矩形，
∴BF∥CD，
∴△AFB∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝57.5，
经检验：x＝57.5是分式方程的解．
∴BC＝57.5（尺）．
故答案为：57.5．
8．解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴，即，
解得CF＝2.7，
故答案为：2.7．
9．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.2，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．
故答案为：0.2．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
∴，
∴，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
11．解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
12．解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝25（米），BN＝10（米），
∴AB＝AN﹣BN＝15（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10米，PB＝EF＝15米，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴＝＝，
∴设MH＝3x米，CH＝5x米，
∵CQ＝（5x﹣10）米，BQ＝FH＝（3x+2）米，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴＝，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20米，
∴BC＝20（米），
∴AB+BC＝15+20＝35（米），
故答案为：35米．
13．解：过点A作AG⊥BC于G，过点A作AE∥BC，
∵∠ABG＝45°，∠AGB＝90°，AB＝4，
∴AG＝BG＝4，
∵BD＝CD＝，
∴DG＝BG﹣BD＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠BDH＝∠ADB，∠DHB＝∠ABD，
∴△BDH∽△ADB，
∴＝，
∴DH＝＝，
∴AH＝AD﹣DH＝﹣＝，
∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴FC＝AC＝．
故答案为：．
14．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
15．解：∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE，
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴＝．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴＝．
∵D1N＝DM，
∴＝，
即＝．
∴GM＝10m．
∵＝，
∴＝．
∴BG＝9m．
∴AB＝BG+GA＝10.5（m）．
答：电线杆AB的高度为10.5m．
故答案是：10.5．
16．解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．
∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴＝，＝．
∴＝，＝．
∴AB＝8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
17．解：∵AB⊥EB，DE⊥EB，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
又∵∠DCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，即，
解得：AB＝44（米）．
答：该塔的高度AB为44米．
18．解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴，
即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
19．解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴，
即∴．
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
20．解：设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有＝①．
△ABD∽△GFD，有＝②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．
21．解：由题意可得：∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∵GH∥AB，
∴△FHG∽△FBA，
∴，
∵DC＝HG，
∴，
∴，
∴CA＝120（米），
∵，
∴，
∴AB＝62（米），
答：大雁塔的高度AB为62米．
22．解：过E作EF⊥BC于F．
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设DF为x米，DE＝2x米，EF＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3+2，
∴DE＝（6+4）米
答：DE的长度为（6+4）米．