九年级数学冀教版上册 第24章一元二次方程 同步能力提升训练（word版，含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
1．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　）
A．2020
B．﹣2020
C．2019
D．﹣2019
2．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值（　　）
A．﹣1或3
B．1或﹣3
C．﹣1
D．3
3．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3
B．﹣3或1
C．3
D．1
4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
6．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0
B．k＜1
C．k≤1且k≠0
D．k≤1
7．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），下列说法：①当k＝1时，该方程的实数根为x＝2；②x＝1是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．②
D．③
8．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
9．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．﹣
10．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
11．若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是　
　．
12．把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为　
　．
13．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为　
　．
14．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则3m2﹣6m+3＝　
　．
15．已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝　
　．
16．已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为　
　．
17．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　
　个人．
18．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为　
　．
19．某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　
　．
20．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为　
　．
21．在党中央的正确领导和全国人民的共同努力下，我国新冠肺炎确诊人数逐日下降，同时为构建人类命运共同体，我国积极派出医疗队帮助其他国家抗疫，由我国援助的Y国刚开始每周新增新冠肺炎确诊人数是2500人，两周后每周新增新冠肺炎确诊人数是1600人，若平均每周下降的百分率相同，则平均每周下降的百分率是　
　．
22．如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为　
　m．
23．元旦期间，九年（1）班数学研究小组的同学互送新年贺卡，如果研究小组有x名学生，共送出132张贺卡，那么可列出方程为　
　．
24．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有
　
　个队参加比赛．
25．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为　
　．
26．解关于x的方程：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．
27．解方程：x2﹣6x﹣8＝0．
28．解方程：x2﹣8x+11＝0．
29．解下列方程：
（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．
30．解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
31．解方程：
（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
32．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
33．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
34．已知关于x的方程：（1﹣m）x2﹣2x+1＝0．
（1）当m为何值时，方程有实数根．
（2）若方程有两实数根x1、x2，且x12+x22+3x1x2＝0，求m的值．
35．节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
参考答案
1．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
2．解：令x＝a2+b2，
则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
又∵x＝a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：D．
3．解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，
此时方程有解，
故选：D．
4．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
5．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；
k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≤1，
故选：D．
7．解：关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），
①当k＝1时，方程即为x2﹣3x+2＝0，则x＝1或2，故说法①错误，不符合题意；
②把x＝1代入方程，左边＝k﹣（2k+1）+k+1＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝1是该方程的实数根，
故说法②正确，符合题意；
③∵k为非零常数，
∴kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0是关于x的一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+1）＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故说法③正确，符合题意；
故选：B．
8．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
9．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以＝．
故选：B．
10．解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
11．解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，
解得，a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．解：∵（2y﹣3）2＝y（y﹣2），
∴4y2﹣12y+9＝y2﹣2y，
∴4y2﹣12y+9﹣y2+2y＝0，
∴3y2﹣10y+9＝0，
故答案为：3y2﹣10y+9＝0．
13．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．
故选：C．
14．解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣2m﹣5＝0，即m2﹣2m＝5，
∴3m2﹣6m+3＝3（m2﹣2m）+3＝18，
故答案为：18．
15．解：设t＝x2+y2（t≥0），则t（t﹣1）＝20．
整理，得（t﹣5）（t+4）＝0．
解得t＝5或t＝﹣4（舍去）．
所以x2+y2＝5．
故答案是：5．
16．解：设2x2+3＝t，且t≥3，
∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，
∴t＝3或t＝﹣5（舍去），
∴2x2+3＝3，
故答案为：3
17．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
18．解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x（x+1）＝169，
整理，得x2+2x﹣168＝0，
解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
19．解：设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为400（1﹣x）2＝256，
故答案为：400（1﹣x）2＝256．
20．解：二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2＝48，
故答案为：36（1+x）2＝48．
21．解：设平均每周下降的百分率是x，
由题意得：2500（1﹣x）2＝1600，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去），
答：平均每周下降的百分率是20%．
故答案为：20%．
22．解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
23．解：设研究小组有x名学生，
可列出方程为：x（x﹣1）＝132．
故答案为：x（x﹣1）＝132．
24．解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故答案为：10．
25．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
26．解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．
（1+a）x2＝2，
当a＜﹣1，无解，
当a＞﹣1，，
．
27．解：x2?6x＝8，
x2?6x+9＝17，
（x﹣3）2＝17，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣．
28．解：∵x2﹣8x+11＝0，
∴x2﹣8x＝﹣11，
则x2﹣8x+16＝﹣11+16，即（x﹣4）2＝5，
∴x﹣4＝±，
∴x＝4±．
29．解：（1）3x2﹣5x+1＝0，
方程整理得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+3）（x﹣1）＝5，
方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，
则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
∴x＝，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
30．解：（1）∵x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
则x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），
∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，
∴（x+3）（﹣x+4）＝0，
则x+3＝0或﹣x+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝4．
31．解：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
整理得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，
可得x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
方程整理得：x2﹣2x＝，
平方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
32．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
33．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a?b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．
34．解：（1）当1﹣m＝0，即m＝1时，
﹣2x+1＝0，解得；
1﹣m≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）≥0，即m≥0，且m≠1时，方程有实数根．
综上所述，当m≥0时，方程有实数根．
（2）由根与系数的关系得：，．
又∵，
∴，
即，
化简得：4＝m﹣1，
解得：m＝5，
经检验，m是方程的解，
故m＝5．
35．解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，
根据题意得：x≥4（100﹣x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y＝156，
解得y＝1.3，
∴2y＝2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%），
解得：a＝10．