第十七章 特殊三角形单元复习训练2021—2022学年冀教版八年级数学上册（Word版 含答案）

第十七章
特殊三角形
类型一　等腰(边)三角形的性质与判定
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,D是BC边上任意一点,过点D作DF∥AB交AC于点E,则∠FEC的度数是
(　　)
图1
A.120°
B.130°
C.145°
D.150°
2.如图2,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为
(　　)
图2
A.2
B.2
C.
D.
3.
如图3,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=　　
　　°.
图3
4.如图4所示,BE⊥AC于点D,且AB=CB,BD=ED.若∠ABC=54°,则∠E的度数为　　　
　　.?
图4
5.如图5,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1=　　　
　°.?
图5
6.如图6所示,已知S△ABC=8
m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC=　　　
　m2.
图6
7.如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°.以点C为旋转中心,顺时针旋转△ABC到△EDC的位置,使点A的对应点E落在BC边的延长线上,连接AD和BD.
(1)求证:△ADC≌△BCD;
(2)请判断△ABE的形状,并证明你的结论.
图7
类型二　直角三角形的有关性质
8.如图8,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若CD=2,则AD等于
(　　)
图8
A.10
B.8
C.6
D.4
9.如图9,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E.有下列结论:①DA平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB.其中正确的有(　　)
图9
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.如图10,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD=　　
　　°.?
图10
11.如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=48°,将△ABC折叠,使点A落在边BC上的点E处,折痕为CD,则∠EDB的度数为　　
　　.?
图11
类型三　勾股定理及其逆定理
12.如图12,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为
(　　)
图12
A.6
B.7
C.10
D.8
13.如图13,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为　　　　.?
图13
14.如图14所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,若沿AD折叠,点B落在斜边AC上,则BD=　　　
　　.?
图14
15.如图15所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(点A,B,P是网格线的交点).?
图15
16.已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试　化简整式A.
发现　A=B2,求整式B.
联想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图16.填写下表中B的值:
直角三角形三边长
n2-1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　　　?
勾股数组Ⅱ
35
/
　　　?
图16
类型四　直角三角形的判定
17.图17是由8个全等的小长方形组成的大正方形,线段AB的端点都在小长方形的顶点上,如果P是某个小长方形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是
(　　)
图17
A.2
B.3
C.4
D.5
18.如图18,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能作为一个直角三角形三边的线段是
(　　)
图18
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
类型五　数学活动
19.(1)操作发现:如图19①所示,D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D不与点A,B重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边三角形DCF,连接AF.你能发现线段BD与AF之间的数量关系吗?请证明你发现的结论.
(2)类比猜想:如图②所示,当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出BD,AF之间的数量关系.
图19
【河北题型训练】
20.在△ABC中,∠A=45°,∠B=45°,则下列判断错误的是
(　　)
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是锐角三角形
C.△ABC是等腰三角形
D.∠A和∠B互余
21.
三个等边三角形的摆放位置如图20所示,若∠1+∠2=110°,则∠3的度数为
(　　)
图20
A.90°
B.70°
C.45°
D.30°
22.如图21,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6
km到达l;从P出发向北走6
km也到达l.下列说法错误的是
(　　)
图21
A.从点P向北偏西45°走3
km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3
km后,再向西走3
km到达l
23.如图22,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若FG=2,ED=6,则EB+DC的值为
(　　)
图22
A.6
B.7
C.8
D.9
24.如图23,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,则DE的长为　　
　　.
图23
25.
如图24,已知在△ABC中,∠ABC=65°,AB=AC,∠BAD=20°,AD=AE,则∠EDC的度数为　　　
　.?
图24
26.如图25所示,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=16
cm,AC=20
cm,P,Q是△ABC的边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1
cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2
cm/s.两点同时出发,设运动时间为t
s.
(1)BC=　　　　
cm;?
(2)当t为何值时,点P在边AC的垂直平分线上?求出此时CQ的长;
(3)当点Q在边CA上运动时,求出使△BCQ为等腰三角形的运动时间.
图25
答案
1.B　[解析]
∵AB=AC,∠C=65°,∴∠B=∠C=65°.∵DF∥AB,∴∠EDC=∠B=65°,∴∠FEC=∠EDC+∠C=65°+65°=130°.
2.C　[解析]
在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°.由题知BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,所以AD=BD=BC=.
3.40　[解析]
∵AB=AD=DC,∴∠ABD=∠ADB,∠DAC=∠C.
∵∠BAD=20°,∴∠ADB==80°.
又∵∠ADB=∠DAC+∠C,
∴∠C=∠ADB=40°.
4.27°　
5.40　[解析]
∵△BCD是等边三角形,
∴∠B=∠BCD=60°.
又∵∠A=20°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°,∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°.
∵a∥b,∴∠1=∠ACD=40°.
6.4　[解析]
如图,延长BD交AC于点E.
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,
∠ADB=∠ADE=90°.
在△ABD和△AED中,∵
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,∴S△ADC=S△ABC=×8=4(m2).
故答案为4.
7.解:(1)证明:在△ABC中,∵AB=AC,
∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.
由旋转可得△EDC≌△ABC,
∴∠DCE=∠ACB=72°,∠E=∠BAC=36°,DC=BC,ED=AB=AC.
∵B,C,E三点共线,
∴∠BCD=180°-∠DCE=108°.
∵BC=DC,∴∠CBD=∠BDC=36°.
又∵∠E=36°,∴∠DBE=∠E,
∴BD=ED,∴BD=AC.
∵∠ACB=72°,∠BCD=108°,
∴∠ACD=36°,∴∠ACD=∠BDC.
在△ADC和△BCD中,∵
∴△ADC≌△BCD(SAS).
(2)△ABE为等腰三角形.
证明:∵△ADC≌△BCD,
∴∠ADC=∠BCD=108°,∠CAD=∠CBD=36°.
又∵∠CDE=∠ABC=72°,∴∠ADC+∠CDE=180°,即A,D,E三点共线.
又∵∠BAE=∠BAC+∠CAD=72°,∠ABE=72°,∴∠BAE=∠ABE,
∴AE=BE,即△ABE为等腰三角形.
8.D　[解析]
如图,连接BD.∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,
∴∠DBC=30°.∵CD=2,∴BD=2CD=4,
∴AD=4.
9.C
10.70　[解析]
在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=AD=AB,∴∠ACD=∠A=20°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-20°=70°.
11.6°　[解析]
∵∠ACB=90°,∠A=48°,
∴∠B=90°-∠A=90°-48°=42°.∵△CDE是由△CDA翻折得到的,∴∠CED=∠A=48°.在△BDE中,∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠EDB=∠CED-∠B=6°.
12.D　[解析]
∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠BAD,∴BD=AD=5.在Rt△ADC中,DC===3,∴BC=BD+DC=5+3=8.
13.3　[解析]
由勾股定理得,BC==,∴正方形ABCD的面积=BC2=3.
14.　[解析]
设点B的对应点为B',连接DB',则DB'⊥AC.由勾股定理,得AC=5.
又因为AB'=AB,所以B'C=5-3=2.
设DB=DB'=x,则DC=4-x.
在Rt△DB'C中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2,解得x=,即BD=.
15.45　[解析]
如图,延长AP交格点于点D,连接BD,
则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,
∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.
16.解:尝试　A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.
发现　∵A=n4+2n2+1=(n2+1)2,又A=B2,B>0,∴B=n2+1.
联想　当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17;当n2-1=35时,n2+1=37.
故答案为17,37.
17.B　[解析]
设每个小长方形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,即x=2y,所以线段AB是长与宽的比为2∶1的长方形的对角线,所以根据网格作垂线可知,使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,如图所示.
18.B　[解析]
首先根据网格图计算出AB2,CD2,EF2,GH2,再根据这些线段的平方值,看看哪两条线段的平方和等于第三条线段的平方,即可判断出哪三条线段能构成一个直角三角形.AB2==22+42=20,EF2=22+12=5,GH2=22+32=13.∵8+5=13,
即AB2+EF2=GH2,
∴AB,EF,GH能构成直角三角形.
19.解:(1)能.发现:BD=AF.
证明:∵△ABC和△DCF均是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCF=60°,BC=AC,DC=FC,
∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD,
即∠BCD=∠ACF.
在△BDC和△AFC中,∵
∴△BDC≌△AFC,∴BD=AF.
(2)仍然成立.
证明:∵△ABC和△DCF均是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCF=60°,BC=AC,DC=FC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD,
即∠BCD=∠ACF.
在△BDC和△AFC中,∵
∴△BDC≌△AFC,
∴BD=AF,即(1)中的结论仍然成立.
20.B
21.B　[解析]
如图.∵∠3+∠6+60°=180°,∠2+∠4+60°=180°,∠1+∠5+60°=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540°-180°.又∵∠4+∠5+∠6=180°,
∴∠3=180°-(∠1+∠2)=70°.
22.A　[解析]
如图,在Rt△PAB中,∵∠APB=90°,PA=PB=6
km,∴∠PAB=∠PBA=45°,AB==6(km).过点P作PC⊥AB,垂足为C,
∴PC=×6=3
km,∴点P向北偏西45°走3
km到达l,故选项A错误;公路l的走向是北偏东45°或南偏西45°,故选项B和C正确;过点C作CF⊥PB,垂足为F.在Rt△PCB中,∵∠PCB=90°,PC=BC,PB=6
km,∴CF=PF=×6=3(km),即从点P向北走3
km后,再向西走3
km到达l,故选项D正确.
23.C　[解析]
∵ED∥BC,∴∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠FCB.∵BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠GBC=∠GBE,∠FCB=∠FCD,∴∠EGB=∠GBE,∠FCD=∠DFC,∴BE=EG,CD=DF.∵FG=2,ED=6,∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8.
24.5　[解析]
∵AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,∴AD⊥BC,BD=CD=BC=6.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB==10.又∵E为AB的中点,∴DE=AB=5.
25.10°　[解析]
∵∠ABC=65°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=65°,
∴∠BAC=180°-65°-65°=50°.
又∵∠BAD=20°,
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°.
又∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAE)=75°.
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴∠EDC=75°-65°=10°.
26.解:(1)12　[解析]
∵∠B=90°,AB=16
cm,AC=20
cm,
∴BC===12(cm).
(2)连接PC.∵点P在边AC的垂直平分线上,∴PC=PA=t
cm,则PB=(16-t)cm.
在Rt△BPC中,由勾股定理,得BC2+BP2=CP2,即122+(16-t)2=t2,解得t=.
又2t=25,12<25<12+20,
∴此时点Q在边AC上,CQ=2×-12=13(cm).
故当t=时,点P在边AC的垂直平分线上,此时CQ的长为13
cm.
(3)分以下三种情况讨论:
①当CQ=BQ时,如图①所示,则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.
又∵∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10
cm,
∴BC+CQ=22
cm,∴t=22÷2=11.
②当CQ=BC时,如图②所示,则BC+CQ=24
cm,∴t=24÷2=12.
③当BC=BQ时,如图③所示,过点B作BE⊥AC于点E,
∴CE=EQ,BE===(cm),
∴CE==
cm,
∴CQ=2CE=14.4
cm,
∴BC+CQ=26.4
cm,∴t=26.4÷2=13.2.
综上所述,当运动时间为11
s或12
s或13.2
s时,△BCQ为等腰三角形.