24.3一元二次方程的根与系数的关系　同步培优提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年冀教版九年级数学上册

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程的根与系数的关系》
同步培优提升训练（附答案）
一．选择题
1．若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
2．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
3．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．5
C．5或﹣3
D．﹣5或3
4．设x1，x2是二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+19的值为
（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．2
5．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣
B．m＜﹣
C．m≥﹣
D．m≤﹣
二．填空题
6．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为
　
　．
7．设x1，x2是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则+＝　
　．
8．关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为
　
　．
9．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则b2+2b+a的值为　
　．
10．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　
　．
11．已知实数a，b分别满足方程a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，则+＝　
　．
三．解答题
12．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
13．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
14．关于x的方程，kx2+（k+1）x+＝0有实根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
20．已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两实数根，求下列各式的值：
（1）x1x22+x12x2；
（2）（x1﹣x2）2；
（3）+．
参考答案
1．解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
2．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2020，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
3．解：由勾股定理可得：AO2+BO2＝25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO?BO＝m2+3
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO?BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，
整理得：m2﹣2m﹣15＝0，
解得：m＝﹣3或5．
又∵Δ＞0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，
∴m＝﹣3，
故选：A．
4．解：
∵x1，x2是二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴+x1＝3，＝3﹣x2，x1+x2＝﹣1，
∴x13﹣4x22+19＝x13﹣1﹣4x22+20
＝（x1﹣1）（+x1+1）﹣4（3﹣x2）+20
＝（x1﹣1）（3+1）﹣4（3﹣x2）+20
＝4（x1﹣1）﹣4（3﹣x2）+20
＝4（x1+x2）+4
＝﹣4+4
＝0，
故选：C．
5．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝m，
∴x2﹣5x+6﹣m＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m）＞0，
解得：m＞﹣，
故选：A．
6．解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，
则1×x2＝＝﹣2，
解得x2＝﹣2．
故答案为：x2＝﹣2．
7．解：∵x1、x2是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2020，
∴+＝＝＝．
故答案为．
8．解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
9．解：∵b是方程x2+x﹣2020＝0的根，
∴b2+b﹣2020＝0，即b2+b＝2020，
∴b2+2b+a＝b2+b+（a+b），
∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴b2+2b+a＝b2+b+（a+b）＝2020﹣1＝2019．
故答案是：2019．
10．解：
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，
∴a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，
当a＝2时，方程为x2+1＝0，该方程无实数根，舍去，
∴a＝0，
故答案为：0．
11．解：∵实数a，b分别满足方程a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，
∴a，b为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的解，
∴a+b＝1，ab＝﹣1，
∴+＝＝＝＝﹣3
故答案为：﹣3．
12．解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
13．解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
当7是腰时，x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
综上所述，这个三角形的周长为17．
14．解：（1）①当k＝0时，方程的解是x＝0，符合题意；
②当k≠0时，，
所以且k≠0，
综上所述，k的取值范围是；
（2）假设存在实数k，使方程的两根的倒数和为1，
所以，
∵x1+x2＝，x1?x2＝，
∴，
∴﹣4k﹣4＝k，
∴，
∵，
∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1．
15．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
16．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
17．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
即﹣（2m+1）＝0或Δ＝（2m+1）2﹣4m2＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
而m≥﹣，
∴m的值为﹣．
18．（1）证明：Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．
∵（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程，得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴方程的另一根为＝2．
当1，2为直角边长时，斜边长＝＝，
∴围成直角三角形的周长＝1+2+＝3+；
当2为斜边长时，另一直角边长＝＝，
∴围成直角三角形的周长＝1+2+＝3+．
综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3+或3+．
19．（Ⅰ）证明：Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
20．解：∵x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝．
（1）x1x22+x12x2＝x1?x2?（x1+x2）＝×＝；
（2）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝（）2﹣4×＝；
（3）+＝＝＝＝