25.4相似三角形的判定 同步提高训练（Word版 附答案） 2021-2022学年冀教版九年级数学上册

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》
同步能力提高训练（附答案）
一．选择题
1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪个条件不能使△ADE与△ABC相似？（　　）
A．＝
B．＝
C．∠AED＝∠B
D．∠AED＝∠C
2．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
3．下列可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是（　　）
A．∠A＝∠B'＝∠C'
B．＝且∠A＝∠C'
C．＝且∠A＝∠A'
D．以上条件都不对
4．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
6．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
7．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
9．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（　　）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
10．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）
A．△BFE
B．△AFD
C．△ACE
D．△BAE
二．解答题
11．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
12．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．
13．如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
14．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE?BF＝EF?BC．
15．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF?DF＝CF?BF．求证：△CAB∽△DAE．
17．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．
18．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
19．如图，已知AD?AC＝AB?AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
20．在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
参考答案
1．解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当＝时，△ADE∽△ACB，所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
当∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，所以C选项不符合题意；
当∠AED＝∠C，△ADE∽△ABC，所以D选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
3．解：A、只有一组角对应相等的两个三角形不一定相似；故A不符合题意；
B、两边对应成比例，但夹角不相等的两个三角形不一定相似，故B不符合题意；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C符合题意；
故选：C．
4．解：①、当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴①不符合题意；
②、当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴②不符合题意；
③、当AC2＝AP?AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A
∴△APC∽△ACB，
∴③不符合题意；
④、∵当AB?CP＝AP?CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，
∴④符合题意；
故选：D．
5．解：A、∠C＝∠E＝98°，不是对应角相等，故不能判定△ABC∽△DEF；
B、两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
C、两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
D、如图，AG⊥BC，DH⊥EF，
∴∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠B＝∠E＝35°，
∴△ABG∽△DEH，
∴，
∵BC＝10，EF＝5，
∴，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故选：D．
6．解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第二个三角形的三边的三边之比为：：：，
第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，
只有第一和第三个三角形的三边成比例，
所以只有第一和第三个三角形相似，
故选：A．
7．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
8．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
9．解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角分别为30°，75°，75°，
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形，
故选：A．
10．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．
故选：D．
11．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
12．证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴△DEC∽△ADF．
13．证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．
∴AE＝5，AD＝6，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
14．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE?BF＝EF?BC
15．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
16．证明：∵EF?DF＝CF?BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
17．证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝，
即，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，
∵，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE．
18．证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
19．证明：∵AD?AC＝AB?AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
20．解（1），
∴＝．
（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
则△ADE∽△ACB，
∴，
∴＝．
综合以上可得，DE＝或．