25.5相似三角形的性质 综合型解答题同步优生辅导训练（Word版 附答案）2021-2022学年冀教版九年级数学上册

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》综合型解答题
同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，O为线段MN的中点，MP与NQ交于点H，∠QOP＝∠M＝∠N＝α，且OQ交MP于D，OP交NH于E．
（1）写出图中两对相似三角形；并证明其中一对．
（2）连接DE，如果α＝45°，MN＝6，MD＝4，求DE的长．
2．如图，M为菱形ABCD边BC上一点，连接AM交BD于点G，∠ABM＝2∠BAM．
（1）若AG＝2，求GM?DG的值．
（2）延长AM，DC交于点P，若点M为BC的中点，S△MBG＝，则△PDG的面积为
　
　．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，且BC＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OD＝DE，OC＝1，求菱形ABCD的周长．
4．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．
5．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4．
（1）如图1，∠A＝90°，N为BC上一点，M为AB上一点，若DN⊥MN，CN＜BN，BM＝1，求证：DN＝MN；
（2）如图2，N为BC上一点，M为AB上一点，若∠DNM＝∠B＝60°，求证：．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME∽△ABC；
（2）求证：＝+；
（3）若AD＝5，BC＝7，求MN的长．
7．如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝30cm，AD＝20cm．
（1）求证：△AHG∽△ABC；
（2）求正方形EFGH的面积．
8．在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△AEF∽△ACG．
（2）求证：∠ADE＝∠B．
（3）若AD＝3，AB＝5，求．
9．在等腰△AMB中，AM＝AB，点C在边AM上，△MCD是直角三角形，∠CMD＝90°，∠MCD＝∠MAB，连接BC，BD，点O是BC的中点，连接AO．
（1）如图1，作AE⊥MB于E，连接OE．当∠AMB＝45°时，求证：△AOE相似于△BDM；
（2）如图2，当∠AMB＝30°时，线段BD与线段AO存在怎样的数量关系？写出证明过程．
10．如图，O为四边形ABCD内一点，E为CD的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOD+∠BOC＝180°．
（1）若∠OED＝∠AOB，CD＝4，求OC的长；
（2）求证：OE＝AB．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是边AC上的一个动点，过点P作PQ∥AB交BC点Q，点D为线段PQ的中点，且AD平分∠BAC．
（1）求证：△ABC∽△PQC；
（2）若AB＝13，BC＝12，求AP的长．
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°．
（1）试说明：AC2＝AB?AD；
（2）点E在边AB上，连接DE、CE，DE交AC于点F，若△AFD∽△CFE．试说明：点E为AB的中点．
13．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B﹣∠A．
（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）若DA＝，EA＝1时，求CE的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，BC＝，CD＝，DA＝1．
（1）求证：∠BCD＝45°；
（2）求AC的长．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB?AE；
（2）若AB＝5，AE＝4，求DG的值．
16．如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC．
（2）若＝2，△EFC的面积是1，求△ADE的面积．
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，联结BE并延长，交边AC于点F．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，联结CG．如果DE2＝AE?AD，求证：四边形ADCG是矩形．
19．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求的值．
20．如图，在?ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF?EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
21．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．
（1）求证：AC2＝CD?BC．
（2）过E做EG⊥AB，延长EG至点F，使FG＝EG，若∠B＝30°，求证：四边形AFEC是菱形．
22．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
（1）如图①，当∠BAC＝45°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系．（用含α的式子表示）
24．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG?BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
25．已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF?BD＝BE?BF．
（1）求证：∠ADE＝∠BDE；
（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC+AE．
26．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F．
（1）求证：AD2＝DG?AF；
（2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
27．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若＝，＝2，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
28．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF?CA＝CB?CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
29．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B﹣∠A．
（1）求证：△CDE∽△ABC；
（2）当DA：EA＝：1时，求△CDE与△ABC的面积比．
30．已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）．
（1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE；
（2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长．
参考答案
1．解：（1）①△MOD∽△NEO，②△QOE∽△QNO，证明如下：
①∵∠QOP＝∠M＝∠N，
∴∠MOD+∠EON＝180°﹣α，∠OEN+∠EON＝180°﹣α，
∴∠MOD＝∠OEN，
∵∠M＝∠N，
∴△MOD∽△NEO；
②∵∠QEO是△OEN的外角，∠N＝α，
∴∠QEO＝∠N+∠EON＝α+∠EON，
又∵∠QON＝∠QOE+∠EON＝α+∠EON，
∴∠QEO＝∠QON，
∵∠QOE＝∠N＝α，
∴△QOE∽△QNO．
（2）∵∠M＝∠N＝α＝45°，
∴∠MHN＝90°，MH＝NH，
∴△MHN是等腰直角三角形，
∵MN＝6，点O是MN的中点，
∴MH＝NH＝6，MO＝NO＝3，
∵△MOD∽△NEO，
∴，
∴，
∴EN＝，
∴DH＝MH﹣MD＝6﹣4＝2，EH＝NH﹣EN＝6﹣＝，
∴DE＝＝．
2．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABM＝2∠ABD，
∵∠ABM＝2∠BAM，
∴∠ABD＝∠BAM，
∴AG＝BG＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠BMG，∠ADG＝MBG，
∴△ADG∽△MBG，
∴，
∴GM?DG＝AG?BG＝4；
（2）如图，连接CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠CPM，∠ABM＝∠PCM，
∴△ABM∽△PCM，
同理，△ABG∽△PDG，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，S△BGM＝S△CGM＝，
∵△ABM∽△PCM，
∴＝1，
∴AB＝PC＝CD，
∵△ABG∽△PDG，
∴＝，
∴＝＝2，
∴S△DGC＝2S△BGC＝3，
∵PC＝DC，
∴S△DGC＝S△PCG＝3，
∴S△PDG＝S△DGC+S△PCG＝6，
故答案为：6．
3．解：（1）∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BC＝CE，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形；
（2）由（1）知，四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵OD＝DE，
∴OD＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝1，
∴OD＝AC＝2，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，
∴∠DFE＝∠DAB＝90°，
∵∠FDE＝∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴＝，
∵∠EDB＝∠FDA，
∴△AFD∽△BED；
（2）解：连接BE，
∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA＝∠DEB，
∴∠BEA＝∠BFA，
∵AE＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠BFA＝45°，
∴∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDE＝∠DAB＝90°，
∵BD⊥EC，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△CDE∽△DAB，
∴＝，
设AB的长为x，则DE＝1﹣x，
∴＝，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AB的长为．
5．证明：（1）根据题意可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠A＝90°，
不妨设CN＝x，则BN＝4﹣x，
∵DN⊥MN，
∴∠MNB+∠DNC＝90°，
又∠DNC+∠NDC＝90°，
∴∠MNB＝∠NDC，
∴△BMN∽△CND，
∴，即，
解得x＝1或x＝3，
∵CN＜BN，
∴x＝1，
∴CN＝BM＝1，BN＝DC＝3，DN＝＝，MN＝＝，
∴DN＝MN；
（2）如下图，
过点D作DE＝DN，并与BC的延长线交于点E，
则∠E＝∠DNE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∠ADN＝∠DNE，
∴∠B＝DCE＝∠DNM＝60°，
∵∠BMN+∠MNB＝120°，∠MNB+∠DNE＝120°，
∴∠BMN＝∠DNE，
∴∠BMN＝∠E，
∴△BMN∽△CED，
∴
∴．
6．（1）证明：∵AD∥BC，MN∥AD，
∴MN∥BC，
∴△AME∽△ABC；
（2）证明：∵MN∥AD，AD∥BC，
∴＝，
∵MN∥BC，
∴△AME∽△ABC，△DEN∽△DBC，
∴＝，＝，∴＝，
∴ME＝NE，
∴点E是MN的中点，ME＝NE＝MN，
∵AD∥BC∥MN，
∴△CEN∽△CAD，△AME∽△ABC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝+．
（3）结合（2）的结论，
∵AD＝5，BC＝7，
∴＝，
∴ME＝，
∵ME＝NE，
∴MN＝ME+NE＝+＝．
7．（1）证明：∵四边形EFGH为正方形，
∴GH∥EF．
∴GH∥BC，
∴△AHG∽△ABC．
解：（2）设AD与HG的交点为M，如图，
则AM是△AHG的高．
由（1）知：△AHG∽△ABC．
∴．
∵四边形EFGH为正方形，
∴HG＝HE＝FG，HG∥BC．
∵AD⊥BC，
∴MD＝FG．
∴HG＝MD．
设HG＝MD＝xcm，则AM＝AD﹣MD＝（20﹣x）cm，
∴．
解得：x＝12，
∴正方形EFGH的边长为12cm．
∴正方形EFGH的面积为：12×12＝144cm2
8．证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°．
∵∠EAF＝∠GAC
∴△AEF∽△ACG．
（2）由（1）知△AEF∽△ACG，
∴∠AEF＝∠C
∵∠DAE＝∠BAC（公共角），
∴△EAD∽△CAB．
∴∠ADE＝∠B．
解：（3）由（2）知：△ADE∽△ABC，
∴．
由（1）知△AEF∽△ACG，
∴．
∴．
∵AD＝3，AB＝5，
∴．
9．解：（1）证明：∵AM＝AB，AE⊥MB，
∴E为MB的中点，
∵∠AMB＝45°，
∴∠MAB＝180°﹣2×45°＝90°，
∴AE＝MB，
∵点O是BC的中点，
∴OE∥MC且OE＝MC，
∴∠OEB＝∠CMB＝45°，
∴∠AEO＝45°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠BMD＝45°，
∴∠BMD＝∠AEO，
∴△BMD∽△AEO；
（2）BD＝AO；
证明：如图，作AF⊥MB于F，连接OF，
∵AM＝AB，AF⊥MB，
∴F为MB的中点，
∵∠AMB＝30°，
∴∠MAB＝180°﹣2×30°＝120°，
∴∠MCD＝∠MAB＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴tanAMB＝tan∠CDM＝tan30°＝＝，
∴MB＝2AF，
∵点O是BC的中点，
∴OF∥MC且OF＝MC，
∴∠OFB＝∠CMB＝30°，MD＝2OF，
∴∠AFO＝60°，
∴∠BMD＝∠AFO，
∴△BMD∽△AFO，
∴BD＝AO．
10．解：（1）∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°；
∵∠OED＝∠AOB，
∴∠OED+∠DOC＝180°；
∵∠OED+∠EDO+∠DOE＝180°，
∴∠CDO＝∠COE，
又∵∠DCO＝∠OCE，
∴△DCO∽△OCE（AAA），
∴，即OC2＝DC?CE；
∵E为CD的中点，CD＝4，
∴CE＝2，则OC＝＝＝．
（2）
将△AOB绕点O逆时针方向旋转，使得OB与OC重合，得ΔA'OC，
∴∠AOB＝∠A'OC，OA'＝OA，AB＝A'C；
∵由（1）得∠AOB+∠DOC＝180°，
∴∠A'OC+∠DOC＝180°，
∴点D，O，A'在同一直线上；
∵OA＝OD，
∴OD＝OA'，即点O是线段DA'的中点，
又∵E为CD的中点，
∴EO是△DA'C的中位线，
∴OE＝CA'＝AB．
11．解：（1）∵PQ∥AB，
∴∠B＝∠CQP，∠C＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△PQC；
（2）过D作DE⊥AC交AC于点E，DF⊥AB交AB于点F，作CG⊥AB交AB于点G、PQ于点H，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC＝5，
由Rt△ABC面积＝×BC×AC＝×AB×CG，
∴CG＝，
∵PQ∥AB，
∴DF＝HG，
∴CH＝﹣DF，
在Rt△CHP中，sin∠CPH＝sin∠BAC，
∴＝，
∴CP＝5﹣DF，
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DE，
在Rt△DEP中，tan∠DPE＝＝，
∴EP＝DF，
∵D是PQ的中点，DE∥BC，
∴CP＝2EP＝DF，
∴5﹣DF＝DF，
∴DF＝，
∴CP＝，
∴AP＝5﹣＝．
12．解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠CB＝90°．
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AB?AD；
（2）∵△AFD∽△CFE．
∴，
∴AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵∠CAB+∠B＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B，
∴BE＝CE，
∴AE＝BE，
∴点E为AB的中点．
13．（1）证明：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A，
在△ADE中，∠DEC＝∠A+∠ADE．
又∠ADE＝∠B﹣∠A，即∠B＝∠A+∠ADE，
∴∠DEC＝∠B，
∴△CDE∽△ACB；
（2）解：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB＝，
∴AB＝2，
∵△CDE∽△ACB，
∴，
即，
解得CE＝3，CE＝﹣4（舍），
∴CE＝3．
14．（1）证明：连接BD，
在△BAD中，AB⊥AD，AB＝2，DA＝1，
则BD＝＝，
在△CBD中，BC2+BD2＝（）2+（）2＝10＝（）2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∵BD＝BC＝，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴∠BCD＝45°；
（2）解：作CM⊥AB，交AB的延长线于M，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠CBM＝90°，
∴∠ADB＝∠CBM，
∵∠DAB＝∠BMC＝90°，
∴△ABD∽△MCB（AA），
∴＝，即＝，
解得BM＝1，
在△CMB中，CM＝＝2，
∴AM＝2+1＝3，
在△CMA中，AC＝＝＝．
15．（1）证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC＝AE：AD，
∴AD2＝AC?AE，
又∵AB＝AC，
∴AD2＝AB?AE；
（2）解：连接DF，如图所示：
由（1）得：AD2＝AB?AE，
∴AD2＝AB?AE＝5×4＝20，
∴AD＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵F是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AC＝，DF∥AC，
∴△DFG∽△AEG，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴DG＝AD＝×2＝．
16．解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB＝AE，
∴∠ABD＝∠E．
∴∠E＝∠CBD．
∵∠EDA＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB．
（2）∵AE＝AB，AB＝6，
∴AE＝6．
∵△ADE∽△CDB，
∴．
∵BD＝4，DE＝5，
∴．
∴BC＝．
17．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ECF，∠ADE＝∠ABC，
又∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角也相等），
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC（两角对应相等的两三角形相似）；
（2）∵AB∥EF，DE∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF＝BD，
∵＝2，
∴＝2，
又∵△ADE∽△EFC，
∴＝（）2＝22＝4（相似△的面积比等于相似比的平方），
∵△EFC的面积为1，
∴S△ADE＝4．
18．（1）证明：∵AD⊥BC，
∠ADC＝∠BDE＝90°，
在△ACD和△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
即BF⊥AC；
（2）证明：∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EDB，
由（1）知∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴＝，
∴AE?AD＝DC?AG，
∵DE2＝AE?AD，DE＝DC，
∴DC?AG＝DE2＝DC2，
∴DC＝AG，
又∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
19．解：（1）∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAG＝∠FAC，
∴在△ADG与△ACF中，
∴△ADG∽△ACF；
（2）∵ADE∽△ACB，
∴＝＝，
在△ADG∽△ACF时，
AG：AF＝AD：AC＝2：3，
设AG为2x，则AF＝3x，
即GF＝x，
∴＝．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴△ABE∽△FDE．
∴．
∴ADE∽△GBE．
∴．
∴．
∴AE2＝EF?EG．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠CDB＝∠AGD．
∵∠DEF＝∠GED，
∴△DEF∽GED．
∴．
∴DE2＝EF?EG．
由（1）知：AE2＝EF?EG．
∴DE＝AE．
在△ABE和△DEG中，
．
∴△ABE≌△DEG（AAS）．
∴AB＝DG．
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是等腰梯形．
21．证明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE＝90°，∠CAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB．
又∵E是BC的中点，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠DAC＝∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，
∴AC2＝CD?BC；
（2）∵AC⊥AB，∠B＝30°，E是BC的中点，
∴AC＝BC＝EB＝EC，
∵EG⊥AB，∠B＝30°，
∴EG＝EB，
又∵EG＝FG，
∴2EG＝FE＝EB，
∴EF＝AC，
∵EG⊥AB，FG＝EG，
∴AF＝AE＝EB，
∴AF＝FE＝EC＝CA，
∴四边形AFEC是菱形．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，
∴BE＝5，
∴AE＝＝＝13，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝．
23．解：（1）AE＝CD，
如图1，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，
∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∴AC﹣CD＝BC﹣BG，
即CD＝CG，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DG＝CD，∠DGC＝45°，
∴∠DGB＝135°，
∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∵∠DAE＝90°+45°＝135°，
∴∠DAE＝∠DGB，
∵DE⊥DB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDA＝∠DBC，
∴△EAD≌△DGB（ASA），
∴AE＝DG，
∴AE＝CD；
（2）AE＝2CD，理由是
如图2，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝30°，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝30°
∴∠DBC+∠BDC＝90°，CF＝DF，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠DBC，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴，
∴＝2，即AE＝2CD；
（3）CD＝AE?sinα，理由是
如图3，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝α，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝α
∴∠DBC+∠BDC＝90°，sin∠FDC＝sinα＝，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠BFD，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴＝sinα，
∴CD＝AE?sinα．
24．解：（1）证明：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴，即AB2＝BG?BC．
（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，AB＝AC，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∴∠AGC＝2∠GAB，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，BG＝EC，
∴BE2＝EC?BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴＝，
∴＝，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴＝，
∴＝．
25．解：（1）证明：∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝，
在Rt△DBF中，sin∠BDE＝，
∵EF?BD＝BE?BF，
∴＝，
∴sin∠EBF＝sin∠BDE，
∴∠EBF＝∠BDE，
∵正方形ABCD，
∴∠DAE＝90°＝∠BFD，
∴∠EBF+∠BEF＝∠ADE+∠AED＝90°，
∵∠BEF＝∠AED，
∴∠EBF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠BDE；
（2）证明：如图，延长BF交DA的延长线于H，
∵∠ADE＝∠BDE，∠DFH＝∠DFB＝90°，DF＝DF，
∴△DFH≌△DFB（ASA），
∴HF＝BF，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，
∴∠G＝∠ADE，∠GBF＝∠H，
在△GBF和△DHF中，
，
∴△GBF≌△DHF（AAS），
∴BG＝DH＝AD+AH＝BC+AH，
在△DAE和△BAH中，
，
∴△DAE≌△BAH（ASA），
∴AH＝AE，
∴BG＝BC+AE．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴＝，
∴AD2＝DG?AF；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9，
∴BA＝BE＝6，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴＝＝，
即AG＝GE＝EF，
∵AD2＝DG?AF，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
27．解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠BDF，
∴180°﹣∠EFD＝180°﹣∠BDF，
∴∠AFE＝∠ADC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF＝∠C，
∵∠AFE＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵＝，△AFE∽△ADC，
∴，
∴，
∵＝2，AE＝AF，
∴，
∴EB＝2FD．
28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴．
∴CF?CA＝CB?CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴．
∴．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是菱形．
29．（1）证明：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A，
在△ADE中，∠DEC＝∠A+∠ADE．
又∠ADE＝∠B﹣∠A，即∠B＝∠A+∠ADE，
∴∠DEC＝∠B，
∴△CDE∽△ABC，
（2）解：令EA＝k，DA＝，CE＝x，
∵△CDE∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝3k，x＝﹣4k（舍），
所以．
30．解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，
∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠FAB＝∠CAE，
在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠AFE，
∴△AFG∽△ACE，
（2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H，
∴△AGF∽△FHE，
∵，
设FH＝x，
则AG＝2x，GF＝4﹣x，EH＝，
∵AG＝DH，
∴2x＝2+，
解得x＝，
∴AG＝，GF＝4﹣＝，
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△BGF中，BF＝．