12.4分式方程 知识点分类能力提升训练 2021—2022学年冀教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021年冀教版八年级数学上册《12.4分式方程》知识点分类能力提升训练（附答案）
一．分式方程的概念
1．下列关于x的方程是分式方程的为（　　）
A．﹣x＝
B．＝1﹣
C．+1＝
D．＝
2．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在下列方程中，（　　）是分式方程．
A．＝1
B．
C．
D．
4．下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
二．解分式方程
6．解分式方程：．
7．解方程：
（1）+1＝；
（2）﹣1＝．
8．解下列分式方程：
（1）；
（2）．
9．解方程：﹣1＝．
10．解方程：2﹣＝．
11．解分式方程：．
12．解分式方程：
（1）＝；
（2）＝+1．
三．换元法解分式方程
13．已知方程﹣﹣3＝0．如果设＝y，那么原方程可化为关于y的方程是　
　．
14．用换元法解方程﹣＝1时，如果设＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是　
　．
15．用换元法解方程＝4，若设＝y，那么所得到的关于y的整式方程为　
　．
16．用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为　
　．
17．用换元法解方程＝3时，如果设＝y时，那么得到关于y的整式方程为　
　．
18．已知分式方程+＝，设＝y，那么原方程可以变形为　
　．
四．分式方程增根问题
19．方程﹣＝增根为（　　）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．0
20．如果方程有增根，则k＝　
　．
21．若分式方程+3＝有增根，则a的值是　
　．
22．若分式方程﹣＝有增根，则m的值是　
　．
23．若关于x的方程+＝2﹣有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
24．当m＝　
　时，解关于x的分式方程+＝会产生增根．
五．分式方程无解
25．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（　　）
A．1
B．3
C．﹣1或2
D．1或2
26．若分式方程＝无解，则实数a的值为（　　）
A．1
B．1或
C．
D．1或2
27．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．1或0
D．1或﹣1
28．已知关于x的分式方程无解，则m的值为　
　．
29．若关于x的分式方程﹣m＝无解，则m的值为　
　．
30．若关于x的方程无解，则m的值为　
　．
六．分式方程的解
31．若关于x的分式方程﹣＝2的解为非负数，则m的取值范围是　
　．
32．关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是　
　．
33．若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为　
　．
34．若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是　
　．
35．若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是　
　．
36．关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是　
　．
七．分式方程与不等式组综合
37．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝1﹣的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6
B．16
C．18
D．20
38．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，且关于y的分式方程+＝3有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．50
B．42
C．38
D．30
39．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程＝﹣1的解为非负数，则所有满足条件的a的值的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
40．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣11
41．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程﹣＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　）
A．15
B．14
C．8
D．7
42．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（　　）
A．15
B．﹣48
C．﹣60
D．120
43．若数a使关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为（　　）
A．9
B．12
C．15
D．19
44．若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
参考答案
一．分式方程的概念
1．解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
C、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：B．
2．解：分母里含有未知数的方程叫分式方程，
＝分母不含未知数，
故选：B．
3．解：A、是分式方程，故此选项符合题意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
C、不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．解：＝不是分式方程，是整式方程，
故选：C．
5．解：①2x+＝10是整式方程，
②x﹣＝2是分式方程，
③﹣3＝0是分式方程，
④+＝0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
二．解分式方程
6．解：方程两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1），
解这个方程得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根．
7．解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
8．解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
9．解：去分母得：（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝2，
整理得：﹣2x+2＝2，
解得：x＝0，
检验：x＝0时，分母x2﹣1≠0，
∴原方程的解为x＝0．
10．解：去分母得：2（y+1）（y﹣1）﹣2y（y﹣1）＝3（y+1），
整理得：2y2﹣2﹣2y2+2y＝3y+3，
解得：y＝﹣5，
经检验y＝﹣5是分式方程的解．
11．解：去分母得：3＝x2+2x﹣x2﹣x+2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
12．解：（1）去分母得：2（x﹣1）＝x+3，
去括号得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解；
（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
三．换元法解分式方程
13．解：﹣﹣3＝0，
设＝y，
原方程可化为y﹣﹣3＝0，
即y2﹣3y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣3y﹣2＝0．
14．解：设＝y，
原式可转化为y﹣﹣1＝0．
整理，得y2﹣y﹣2＝0．
故答案为：y2﹣y﹣2＝0．
15．解：设＝y，则方程＝4可变形为：y+＝4，
方程两边同乘y，整理得y2﹣4y+3＝0．
故答案为：y2﹣4y+3＝0．
16．解：方程﹣＝1，
若设y＝，
把设y＝代入方程得：﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．
故答案为y2+y﹣2＝0．
17．解：设＝y，则原方程可化为：y+＝3，
去分母，可得y2+1＝3y，
即y2﹣3y+1＝0，
故答案为：y2﹣3y+1＝0．
18．解：∵分式方程+＝，设＝y，
∴原方程可以变形为y+＝，
故答案为：y+＝
四．分式方程增根问题
19．解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：12﹣6（x+1）＝x﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1不是原方程的根，是原方程的增根，
故选：A．
20．解：方程两边同时乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
21．解：去分母得：2+6（x﹣2）＝a，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
代入整式方程得：a＝2，
故答案为2．
22．解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2，
∵方程﹣＝有增根，
∴x＝±2，
当x＝2时，m＝4；
当x＝﹣2时，m＝﹣8；
故答案为4或﹣8．
23．解：方程两边都乘x（x+1），
得3（x+1）+ax2＝2x（x+1）﹣3x
∵原方程有增根为﹣1，
∴当x＝﹣1时，a＝3，
故2a﹣3＝3．
故选：B．
24．解：分式方程去分母得：2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，
由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，即x＝±1，
把x＝±1分别代入整式方程得：m＝﹣10或m＝﹣4，
故答案为﹣10或﹣4．
五．分式方程无解
25．解：＝+1，
去分母得，ax＝2+x﹣1，
整理得，（a﹣1）x＝1，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝1，
解得，a＝2；
当整式方程无解时，a＝1，
故选：D．
26．解：＝，
去分母得：x﹣2＝ax﹣3，
（a﹣1）x＝1，
∵分式方程＝无解，
∴把x＝2代入得：2（a﹣1）＝1，
解得：a＝；
或a﹣1＝0，
解得：a＝1．
故实数a的值为1或．
故选：B．
27．解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，
当a﹣1＝0，即a＝1时，方程无解；
当a﹣1≠0，即a≠1时，解得：x＝，
由分式方程无解，得到＝﹣1，即a＝﹣1，
综上，a的值为1或﹣1，
故选：D．
28．解：等式两边同时乘以x﹣3得：
2x﹣3﹣mx+9＝x﹣3，
整理得（1﹣m）x＝﹣9，
∵当x＝3时为增根，方程无解，
∴3（1﹣m）＝﹣9，
解得m＝4，
当1﹣m＝0时，x系数为0，方程无解，
解得m＝1，
故答案为：4或1．
29．解：方程﹣m＝两边同时乘以（x﹣2）得：
x﹣m（x﹣2）＝﹣2m，
整理得：（1﹣m）x＝﹣4m，
∵无解，
∴1﹣m＝0，即m＝1时，方程无解；
当x﹣2＝0时，方程也无解，此时x＝2，则有x＝＝2，
∴﹣4m＝2﹣2m，
∴m＝﹣1．
故答案为：1或﹣1．
30．解：分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝4，
整理得：x+4+mx﹣4m＝4，即（m+1）x＝4m，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，方程无解；
当m+1≠0，即m≠﹣1时，由分式方程无解，得到x＝4或x＝﹣4，
把x＝4代入整式方程得：4（m+1）＝4m，无解；
把x＝﹣4代入整式方程得：﹣8m＝4，即m＝﹣，
综上，m的值为﹣1或﹣．
故答案为：﹣1或﹣．
六．分式方程的解
31．解：方程两边都乘以（x﹣4）得：m+x＝2（x﹣4），
解得：x＝m+8．
∵x﹣4≠0，
∴m+8﹣4≠0，
∴m≠﹣4；
∵分式方程的解为非负数，
∴m+8≥0，
∴m≥﹣8．
故答案为：m≥﹣8且m≠﹣4．
32．解：，
方程两边同乘以x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝4﹣a，
∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣1≠0，
∴，
解得，a≤4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
33．解：，
3x＝﹣m+5（x﹣2），
3x＝﹣m+5x﹣10，
3x﹣5x＝﹣m﹣10，
﹣2x＝﹣m﹣10，
x＝，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
∴m≠﹣6．
∵方程的解为正数，
∴0，
∴m＞﹣10．
∴m的取值范围为：m＞﹣10且m≠﹣6．
故答案为：m＞﹣10且m≠﹣6．
34．解：+＝3，
去分母得，x+m﹣3m＝3（x﹣4），
整理得，2x＝12﹣2m，
解得，x＝6﹣m，
∵分式方程的解为正数，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠4，
∴m＜6且m≠2．
故答案为：m＜6且m≠2．
35．解：方程去分母得：1﹣x﹣m＝2（x﹣3），
解得：x＝，
根据题意得：x≥0，即≥0，且≠3，
解得：m≤7且m≠﹣2．
故答案为：m≤7且m≠﹣2．
36．解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），
解得：x＝2﹣a，
由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，
解得：a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2．
七．分式方程与不等式组综合
37．解：，
解①得，x≥3，
解②得，x＜a﹣7，
∵不等式组无解，
∴a﹣7≤3，
∴a≤10，
＝1﹣，
去分母，得﹣3y＝y﹣2﹣a﹣y，
∴y＝，
∵分式方程＝1﹣的解为非负整数，
∴y≥0且y﹣2≠0，
∴且a≠4，
∵a为整数，为非负整数，
∴a＝﹣2，1，7，10，
∴整数a的和为﹣2+1+7+10＝16．
故选：B．
38．解：∵5x﹣1＜3（x+1），
∴x＜2．
∵≥2，
∴x≤m﹣6．
∵不等式组的解集是x＜2，
∴m﹣6≥2，即m≥8．
∵+＝3，
∴y＝12﹣m．
又∵y的方程的解是非负整数，m≥8，
∴m的取值为8、9、10、11、12．
∵m＝8时，y＝4是增根，要舍去；
∴m取值为9、10、11、12，
故选：B．
39．解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为：≤x≤2，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴﹣1＜≤0，
∴﹣3＜a≤1；
，
方程两边都乘以（1﹣y）得：a﹣y＝﹣2﹣（1﹣y），
解得：y＝，
∵分式方程的解为非负数，且1﹣y≠0，
∴≥0，且，
解得：a≥﹣3，且a≠﹣1，
∴﹣3＜a≤1，且a≠﹣1，
∵a是整数，
∴a＝﹣2，0，1．
故选：C．
40．解：解不等式组得：，
由不等式组的解集为x＞7，得到2﹣a≤7，
∴a≥﹣5，
分式方程去分母得：ay+5﹣y+3＝﹣4，
解得：y＝，
由分式方程有正整数解且a≥﹣5，
∴a＝﹣5，﹣3，﹣2，﹣1，0，
当a＝﹣3时，y＝3，分式方程分母不能为0，
∴a＝﹣5，﹣2，﹣1，0，
∴所有整数a的和为﹣8．
故选：C．
41．解：
解不等式①，得：x≤11，
解不等式②，得x＞a，
∵不等式组至少有五个整数解，
∴a＜7；
，
a﹣3+2＝2（y﹣1），
a﹣1＝2y﹣2，
2y＝a+1，
y＝，
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
∴≠1，
∴a≠1，
∵y≥0，
∴≥0，
∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜7，且a≠1，a为整数，
又∵为整数，
∴a可以取﹣1，3，5，
∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7．
故选：D．
42．解：解不等式组：，
得＜x＜3，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴﹣1≤＜0，
∴﹣5≤m＜﹣1，
又∵分式方程有解，
y＝﹣且y≠3，
解得m≠﹣2且m≠﹣4，
∴满足条件的所有整数m的值为﹣5，﹣3，
∴满足条件的所有整数m的积是15．
故选：A．
43．解：解不等式组，
解得，，
由解集x≤4可得＜x≤4，即a＜8，
由+＝1，
去分母得，y+a﹣2y＝y﹣3，
即﹣2y＝﹣a﹣3，
解得，y＝，
由y为非负整数，且y≠3，a为整数且a＜8，
得：a＝﹣3，﹣1，1，5，7，
∴符合条件的a的和为9．
故选：A．
44．解：解不等式组，得，
∵不等式组有且仅有4个整数解，
∴﹣1＜≤0，
∴﹣8＜a≤﹣3．
解分式方程+＝1，得y＝，
∵y＝≠2为整数，
∴a≠﹣6，
∴所有满足条件的只有﹣4，
故选：B．