13.3全等三角形的判定 解答题优生辅导专题提升训练 2021-2022学年冀教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《13.3全等三角形的判定》解答题
优生辅导专题提升训练（附答案）
1．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．
2．如图，AD与BC交于点O，①AD＝BC；②∠A＝∠C；③AB＝CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．
3．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
5．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为
　
　cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上；BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．
7．如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他从D点走了80步到达E处．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．
9．如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC＝DF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AD＝BE．
10．某班数学兴趣小组为了测量湛河南北两岸的宽度AB，他们的方法是：让小明从点A出发，沿河岸向东走50步到达电线杆C处，继续前行50步到达D处，然后右转90°直行130步到达E处，这时B，C，E三点在一条直线上．
（1）小组得到结论“DE的长度就是河宽”，请说明其中的道理．
（2）若小明一步的长度为60厘米，请估计河宽有多少米．
11．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
12．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段BP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
13．如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．
14．如图，小强为了测量高楼AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，∠APC＝90°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度CD相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．
（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．
16．已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数．
17．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
19．在△ABC中，D为AC的中点，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，且DM＝DN．
求证：△ADM≌△CDN．
20．小明沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C处走向D处的过程中，通过隔离带PM的缝隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙AB上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点P，PD⊥CD，垂足为D．小明根据自己步行的路程CD长为16m，测出标语AB的长度也为16m，请说明理由．
21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
22．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．AC与AE相等吗？请说明理由．
23．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝　
　，BP＝　
　．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
24．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，过点D作CE的平行线交BC延长线于点F，连接DE．
求证：（1）∠DBC＝∠ECB；
（2）DE＝CF．
26．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．
27．已知：DF∥BC，∠FDC＝∠AEC．
（1）如图1，已知CD⊥AB，CB平分∠NCE．求∠ABC的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝∠ACF，AC＝FC，DM＝BE．求证：BC＝MC．
28．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
29．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形．
参考答案
1．证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠E，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴AC＝DF．
2．解：已知；
①③，求证②或者已知②③，求证①．
若AD＝BC，AB＝CD，连接BD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C．
若∠A＝∠C，AB＝CD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AD＝BC．
3．证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
4．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∠1＝∠2，AD＝DE，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB，
∴AC＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
5．解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
6．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝75°，
∵∠BAD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥DC．
7．解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
又∵小刚走完DE用来80步，一步大约50厘米，
∴DE＝80×0.5＝40（米）．
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
8．解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△FDE和△BEC中，
，
∴△FDE≌△BEC（AAS）；
（2）∵△FDE≌△BEC，
∴BE＝EF，BC＝DF，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，
∴AB的长为3．
9．证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE，
∴AB﹣DB＝DE﹣DB，
∴AD＝BE．
10．解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠BAC＝∠EDC，
在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴DE＝AB；
（2）∵DE＝130×0.6＝78（米），
∴河宽AB＝78米．
11．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，
∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°，
∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．
12．（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；
（2）当0≤t≤2时，BP＝（6﹣3t）
cm，
当2＜t≤4时，BP＝（3t﹣6）cm，
综上所述，线段BP的长为（6﹣3t）
cm或（3t﹣6）cm；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤2时，3t＝6﹣t，
解得：t＝1.5；
当2＜t≤4时，12﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝3；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1.5s或3s．
13．（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
∵DE∥BF，
∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝FA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴AB＝CD；
∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝FA．
14．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°，
在△CPD和△PAB中
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝36，PB＝10，
∴AB＝36﹣10＝26（m），
答：楼高AB是26米．
15．解：（1）AC＝BD，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BED中，
∴△ADC≌△BED（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）知：△ADC≌△BED，
∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，
∴BC＝AC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝2．
16．解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CFA＝∠BFE，
∴∠AEB＝∠ACF＝60°．
17．（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，
∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
18．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
19．（Ⅰ）证明：∵DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∴∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵D是AC的中点，
∴DA＝DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL）．
20．解：CD＝AB＝16米，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16米．
21．解：（1）∵BE⊥AC，，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝AE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE（SAS），
∴AD＝BC．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴PD为线段BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
22．解：AC＝AE，
理由是：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE．
23．解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，（8﹣at）cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
24．解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
25．证明：（1）∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACE和Rt△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（AAS）
∴AE＝AD，CE＝BD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴ED∥BC，
∵CE∥FD，
∴四边形ECFD为平行四边形，∠ECB＝∠F，
∴CE＝FD，
∴BD＝FD，
∴∠DBC＝∠F，
∴∠DBC＝∠ECB；
（2）∵四边形ECFD为平行四边形，
∴DE＝CF．
26．证明：在△DCA和△DCB中，
，
∴△CDA≌△DCB（SSS），
∴∠DAC＝∠CBD．
27．解：（1）∵DF∥BC，
∴∠FDC＝∠NCB，
∵CB平分∠NCE，
∴∠NCB＝∠BCE，
∵∠FDC＝∠AEC，
∴∠FDC＝∠NCB＝∠BCE＝∠AEC，
∵CD⊥AB，
∴∠ENC＝90°，
∴∠AEC+∠NCE＝∠AEC+∠BCE+∠NCB＝3∠NCB＝90°，
∴∠NCB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠NCB＝60°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠FMC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACF，
∴180°﹣∠FMC﹣∠ACF＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，
即∠F＝∠BAC，
在△DFC和△EAC中，
，
∴△DFC≌△EAC（AAS），
∴CD＝CE，
在△MDC和△BEC中，
，
∴△MDC≌△BEC（SAS），
∴MC＝BC．
28．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°．
29．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB
∵AD是BC边上的中线，
∴DB＝CD
∴AF＝CD；
（2）解：过A作AH⊥BC于H，则S△ABC﹣BC?AH，S△ABD＝BD?AH，S△ACD＝CD?AH，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BD，
∴S△ABD＝S△ACD＝BD?AH＝×BC?AH＝S△ABC，
∵AF＝CD，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴S△ACF＝S△ACD＝S△ABC，
∴图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形是△ACF，△ABD，△ACD．