2021—2022学年冀教版八年级数学上册17.2直角三角形分层训练（word解析版）

17.2　直角三角形　
【基础练习】
知识点
1　直角三角形两锐角互余的性质
1.已知Rt△ABC中,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是
(　　)
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
2.在△ABC中,∠A=90°,∠B=2∠C,则∠C的度数为
(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.30°或60°
3.如图1,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数为　　　　.?
图1
知识点
2　直角三角形的判定定理
4.有下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的条件有
(　　)
A.
1个
B.
2个
C.3个
D.
4个
5.如图2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,判断△ACD的形状,并说明理由.
图2
　
知识点
3　直角三角形斜边上的中线的性质
6.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D为AB边的中点,则CD=　　　　.?
图3
7.如图4,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点,DE=3,则AB的长为
(　　)
图4
A.4
B.5
C.5.5
D.6
8.如图5,∠BAC为钝角,CD⊥AB,交BA的延长线于点D,BE⊥AC,交CA的延长线于点E,M是BC的中点.求证:ME=MD.
图5
知识点
4　含30
°角的直角三角形的性质
9.如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,则AB等于
(　　)
图6
A.2
B.3
C.4
　　
　　D.6
10.如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,连接AD.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若BD=2
cm,求CD的长度.
图7
【能力提升】
11.如图8,一根竹竿AB,斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,A'B'表示竹竿AB在沿墙上下滑动过程中的某个位置,则在竹竿AB滑动的过程中
(　　)
图8
A.下滑时,OP的长增大
B.上滑时,OP的长减小
C.无论怎样滑动,OP的长不变
D.只要滑动,OP的长就变化
12.如图9,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为
(　　)
图9
A.3
B.4
C.5
D.6
13.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,则∠ECD的度数为　　　　　.?
图10
14.如图11所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,E是BD的中点,连接AE.求证:
(1)∠AEC=∠C;
(2)BD=2AC.
图11
15.已知∠MAN,AC平分∠MAN,D为AM上一点,B为AN上一点.
(1)如图12①所示,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)如图②所示,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
图12
17.2　直角三角形
1.C
2.A　[解析]
∵在△ABC中,∠A=90°,∠B=2∠C,∴2∠C+∠C=90°,∴∠C=30°.
3.18°　[解析]
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠C=∠ABC=2∠A,∴5∠A=180°,
∴∠A=36°,∴∠C=2∠A=72°.
在Rt△BDC中,∵∠BDC=90°,∠C=72°,
∴∠DBC=90°-72°=18°.
4.D　[解析]
由∠A+∠B=∠C,结合三角形内角和定理可求出最大角∠C=90°,所以①可以判定△ABC是直角三角形;由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,结合三角形内角和定理可求出∠A,∠B,∠C的度数分别为30°,60°,90°,所以②可以判定△ABC是直角三角形;由∠A=90°-∠B,结合三角形内角和定理可得最大角∠C=90°,所以③可以判定△ABC是直角三角形;由∠A=∠B=∠C;结合三角形内角和定理可求出最大角∠C=90°,所以④可以判定△ABC是直角三角形.故选D.
5.解:△ACD是直角三角形.
理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°.
又∵∠A=∠BCD,∴∠ACD+∠A=90°,
∴△ACD是直角三角形(如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形).
6.3
7.D　[解析]
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵E为AC边的中点,∴AC=2DE=6,
∴AB=AC=6.
8.证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠BEC=∠BDC=90°.
∵M是BC的中点,
∴ME=BC,MD=BC,∴ME=MD.
9.C
10.解:(1)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,∴∠BAD=∠B=30°.
(2)由(1)知AD=BD,∴AD=2
cm.
∵∠BAC=120°,∠BAD=30°,∴∠CAD=90°.
又∵∠C=30°,∴CD=2AD=4
cm.
11.C　[解析]
∵AO⊥BO,P是AB的中点,∴OP=AB,
∴在竹竿AB滑动的过程中,OP的长不变.
12.C　[解析]
如图,过点P作PH⊥OB于点H.
∵PH⊥MN,PM=PN,
∴MH=NH.
∵MN=2,∴MH=1.
在Rt△OPH中,∵∠AOB=60°,∠PHO=90°,
∴∠OPH=30°,∴OH=OP=6,
∴OM=OH-MH=6-1=5.
13.45°
14.证明:(1)∵AD⊥AB,E是BD的中点,
∴AE=EB=BD,∴∠B=∠BAE.
∵∠AEC=∠BAE+∠B,
∴∠AEC=2∠B.
又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C.
(2)由(1)知∠AEC=∠C,∴AE=AC.
∵AE=BD,∴AC=BD,即BD=2AC.
15.解:(1)证明:∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°,
∴AB=AD=AC,∴AB+AD=AC.
(2)成立.
图①
理由:方法一:如图①,过点C分别作AM,AN的垂线,垂足分别为E,F.
∵AC平分∠MAN,
∴∠CAE=∠CAF.
又∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠CDE=∠ABC.
又∵∠CED=∠CFB=90°,CE=CF,
∴△CED≌△CFB,∴ED=FB,
∴AB+AD=AF+FB+AE-ED=AF+AE.
由(1)可得AF+AE=AC,
∴AB+AD=AC.
图②
方法二:如图②,在AN上截取AG=AC,连接CG.
∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°,
∴∠MAC=∠CAB=60°.
又∵AG=AC,∴△ACG为等边三角形,
∴∠AGC=60°,CG=AC=AG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠GBC=180°,
∴∠GBC=∠ADC.
又∵∠CAD=∠CGB=60°,AC=GC,
∴△CBG≌△CDA,∴BG=AD,
∴AB+AD=AB+BG=AG=AC.