2021-2022学年九年级数学冀教版上册24.3一元二次方程的根与系数的关系同步能力提升训练(word解析版)

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程的根与系数的关系》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0
B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
3．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣7
C．1
D．7
4．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．﹣
5．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7
B．﹣3
C．2
D．5
8．已知关于x的方程x2﹣6x+k﹣4＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝2，则k的值是（　　）
A．3
B．﹣3
C．7
D．1
9．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（　　）
A．
B．2
C．3
D．9
10．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2024α+α2）（1+2024β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
11．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
二．填空题
12．关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是
　
　．
13．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝　
　．
三．解答题
14．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
16．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
17．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1?x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
19．关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
参考答案
1．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，
∴1+t＝﹣，
解得，t＝﹣；
故选：D．
2．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
3．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝3﹣4＝﹣1．
故选：A．
4．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以＝．
故选：B．
5．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
6．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
7．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
8．解：∵x2﹣6x+k﹣4＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k﹣4，
+＝＝＝2，
解得：k＝7，
经检验，k＝7符合题意，
故选：C．
9．解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
10．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，α+β＝﹣2021，αβ＝1，
∴（1+2024α+α2）（1+2024β+β2）
＝（1+2021α+α2+3α）（1+2021β+β2+3β）
＝9αβ＝9，
故选：B．
11．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1?x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣
＝x12﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
12．解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
13．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，
∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2?（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：（1）方程可化为x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，
两边开方得，x+6＝±3，
故x1＝﹣6﹣3，x2＝﹣6+3；
（2）由题意得：x1+x2＝，x1x2＝﹣，
原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2+2×＝4．
15．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
16．解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
17．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1?x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
18．解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
19．（1）证明：Δ＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1，
∵4m2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，
∵x12+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴（2m+1）2﹣2×m＝3，
解得m＝或﹣1．
20．（1）证明：Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．
∵（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程，得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴方程的另一根为＝2．
当1，2为直角边长时，斜边长＝＝，
∴围成直角三角形的周长＝1+2+＝3+；
当2为斜边长时，另一直角边长＝＝，
∴围成直角三角形的周长＝1+2+＝3+．
综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3+或3+