2021-2022学年冀教版九年级数学上册25.4 相似三角形的判定 同步辅优训练(word解析版)

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》
同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C．＝
D．＝
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
3．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，则图中相似三角形共有（　　）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题）
6．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是　
　．
7．如图，请你补充一个你认为正确的条件，使△ABC∽△ACD：　
　．
8．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　
　时，△ACB与△ADC相似．
9．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN＝2，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM＝　
　．
10．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为　
　时，△ADP和△ABC相似．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于　
　．
12．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝　
　时，△ADP与△BCP相似．
三．解答题
13．已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
14．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
15．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE?BF＝EF?BC．
16．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
17．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm每秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ与△ABC相似？（AB＝6cm，BC＝8cm）
19．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝　
　，BC＝　
　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
20．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
21．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△DEA．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
4．解：图中有△ABF∽△ACE，△BPE∽△CPF，△CPF∽△CAE，△CPF∽△ABF，△BPE∽△BFA，△BPE∽△CAE，△AEF∽△ACB，△EPF∽△BPC，8对三角形相似．
故选：D．
5．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
6．解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，
∴＝＝，
∴AE＝BE①，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴＝，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，
由①②得：BE2＝6，
解得：BE＝3，
∴AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；
当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；
当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；
设AE＝x，则BE＝m﹣x，
∴x：3＝2：（m﹣x），
整理得：x2﹣mx+6＝0，
方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，
解得：m＝±2（负值舍去），
∴m＝2；
当m＝2时，
AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；
AE＝BE＝时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；
综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或2；
故答案为：5或2．
7．解：
①∵∠DAC＝∠CAB，
又∵∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB；
②∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB；
③∵∠DAC＝∠CAB，AC2＝AD?AB，
∴△ADC∽△ACB．
8．解：∵AD＝2，CD＝，
∴AC＝＝．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．
即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
故答案为：3或3．
9．解：∵正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，
∴BE＝2，
由勾股定理得，AE＝＝2，
当△ABE∽△MDN时，＝，即＝，
解得，DM＝，
同理，当△ABE∽△NDM时，DM＝，
∴DM为或，
故答案是：或．
10．解：当△ADP∽△ACB时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
11．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，
∴AD＝＝＝，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴△ADE的最小面积＝×＝；
当D与C重合时，△ADE的面积最大，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴△ADE的最大面积＝＝，
∴△ADE的最小面积与最大面积之比＝＝，
故答案为：．
12．解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
，
即＝，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案是：2或8或5．
13．证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
14．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CD＝＝＝2，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴DE＝，
∴BD＝4，
∵，，
∴，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
15．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE?BF＝EF?BC
16．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
17．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
18．解：设经过y秒后，以
P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：
则AP＝ycm，BQ＝2ycm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣y）cm，
①若△PBQ∽△ABC，则有，即，
解得：y＝；
②若△QBP∽△ABC，则有，即，
解得：y＝．
答：经过或秒后，以
P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．
19．（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
20．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD?DF＝（AF+DF）?DF＝8，
∴BD＝2．
21．（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．