2021-2022学年冀教版九年级数学上册25.5相似三角形的性质 同步能力提高训练(word解析版)

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》
同步能力提高训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2，记△ADE的面积为a，四边形DBCE的面积为b，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
6．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，CD、BE相交于点O，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
7．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（　　）
A．
B．
C．2.5
D．
8．已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠BCD＝60°
B．AB2＝AD?AC
C．∠ABD＝4∠CBA
D．AD＝2AB
9．《几何原本》有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4的值为（　　）
A．9
B．18
C．27
D．54
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　）
A．
B．
C．1
D．
11．如图，在△ABC中，AB＝8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD?AC＝26，则AE的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．4
12．平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（　　）度．
A．60
B．65
C．70
D．75
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，交线段AB于点K，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P、Q．若矩形AFRK的面积为3，矩形KRGB的面积为6，则PQ的长为（　　）
A．4.5
B．5
C．3
D．3
14．如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH＝DF；③DF＝DE；④∠AEF＝45°；⑤S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（　　）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
16．在四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC与BD交于P，过点P作AB的平行线，交AD、BC于M、N．若AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，则MN的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
17．如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
18．如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，EF、OC交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG?OC．其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②③④
C．①②④
D．③④
19．如图，在?ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（　　）
A．4
B．6
C．5.2
D．4.8
20．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（　　）
A．2
B．
C．
D．
21．如图，已知Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF．则下列结论中：
①△ABD∽△ACE；②∠BFC＝45°；③F为BD的中点；④△AFC面积的最大值为．
其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是对角线BD上一动点，过E作MN⊥BD于E，交AB于M，交CD于N，当点E在BD上移动时，MN的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．无法确定
23．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DAB＝55°，∠ABC＝65°．则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
24．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH?AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（　　）
A．（10，）
B．（，）
C．（12，）
D．（，）
26．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，DE∥AC交AB于点E，过点E作EF∥BC交AD于点F，下列式子一定正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在△ABC中，BC＝3，点D为AC延长线上的一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，若∠CBD＝∠A，则AB的长为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．4.2
二．解答题
30．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE与BD交于点H，AE的延长线与DC的延长线交于点G，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：AD2＝DF?DG；
（2）若HE＝4，EG＝5，求AH的长．
31．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG?BC．
32．如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，连接DG，BE，AC，CF．
（1）求证：DG＝BE；
（2）求的值．
33．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4．
（1）如图1，∠A＝90°，N为BC上一点，M为AB上一点，若DN⊥MN，CN＜BN，BM＝1，求证：DN＝MN；
（2）如图2，N为BC上一点，M为AB上一点，若∠DNM＝∠B＝60°，求证：．
34．如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝30cm，AD＝20cm．
（1）求证：△AHG∽△ABC；
（2）求正方形EFGH的面积．
35．在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△AEF∽△ACG．
（2）求证：∠ADE＝∠B．
（3）若AD＝3，AB＝5，求．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝2ED，
∴BC＝2ED，
∴＝，
故选：B．
2．解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴＝，，
∴．
故选：C．
3．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴S△ADE：S△ABC＝，
即，
故，
故选：A．
4．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．
∴AC＝＝＝6，
∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF，又∠ABD＝∠FBD，
∴∠FBD＝∠BDF，
∴FB＝FD，
∴EF＝2FB，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得，BF＝，
∴AE＝．
故选：B．
5．解：∵＝＝，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，故B和C错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
6．解：∵BD＝2AD，AD+BD＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽OCB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∵S△ODE＝1，
∴S△OCB＝9，S△OCE＝3，
∴S△BCE＝S△OCB+S△OCE＝12，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
故选：A．
8．解：由作图可知：PQ垂直平分AB，AB＝DB，
∴AC＝BC，∠BDA＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠A＝30°，∠BDA＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠ABC，
∴∠BCD＝30°+30°＝60°，故A选项不符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠BDA＝30°，
∴△ABC∽△ADB，
∴AB：AD＝AC：AB，
即AB2＝AD?AC，故B选项不符合题意；
∵∠A+∠BDA+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABD＝4∠CAB，故C选项不符合题意；
过B作BE⊥AD，垂足为点E，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BE，
∴AE＝，
∵AB＝DB，
∴AD＝2AE＝AB，故D选项符合题意，
故选：D．
9．解：如图，连接GF，
∵AD＝BE，DG∥AC，EF∥BC，
∴＝＝＝，
∵∠DHE＝∠GHF，
∴△DHE∽△GHF，
∴＝（）2，
∵S2＝18，S3＝6，
∴＝，S△HGF＝S3，
∴S△DHE＝（）2×3＝27，
则S4的值为27．
故选：C．
10．解：∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝AC÷cos30°＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴EC∥AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴＝＝，
∴AF＝AC＝．
故选：D．
11．解：∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△AED∽△ACB，
∴，即AE?AB＝AD?AC，
∵AB＝8，AD?AC＝26，
∴AE＝，
故选：C．
12．解：如图，取DE中点O，连接AO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∴∠AED+∠EAO+∠AOD＝180°，
∴∠AED＝65°．
故选：B．
13．解：∵矩形AFRK的面积为3，矩形KRGB的面积为6，
∴正方形ABGF的面积为9，
∴AB＝AF＝BG＝3，
∵矩形AFRK的面积为3，矩形KRGB的面积为6，
∴AK＝1，BK＝2，
∵PQ⊥CR，CR⊥FG，FG∥AB，
∴CR⊥AB，PQ∥AB，
∵∠ACB＝∠CBQ＝90°，
∴AC∥BQ，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴CQ＝AB＝3，
∵∠CAB＝∠CAK，∠ACB＝∠AKC，
∴△ACK∽△ABC，
∴，
∴AC2＝1×3，
∴AC＝＝DC，
∴CK＝＝＝，
∵∠DCA＝∠PCK＝90°，
∴∠DCP＝∠ACK，
又∵∠D＝∠AKC＝90°，
∴△DCP∽△KCA，
∴，
∴，
∴PC＝，
∴PQ＝PC+CQ＝3+，
故选：C．
14．解：∵PE∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，
∵PF∥CD，
∴△BPF∽△BDC，
∴＝，
∴+＝+＝1，所以A选项符合题意，D选项不符合题意；
∵PE∥AB，
∴＝，
∵PF∥CD，
∴＝，
∴＝，所以B选项不符合题意；
∵PE∥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝，所以C选项不符合题意．
故选：A．
15．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，故①正确；
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，故②正确；
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故④正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，故③正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤错误，
∴正确的是①②③④，
故选：C．
16．解：设PM＝x，PN＝y，
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴AB∥MN∥CD，
∴△CDP∽△ABP，
∵AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，
∴CD＝1，
∵AB∥MN∥CD，
∴△DMP∽△DAB，△CPN∽△CAB，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：x＝y＝，
∴MN＝x+y＝．
故选：C．
17．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A成立；
∵DF∥BE，
∴，故B成立；
∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，，
∴，故C成立；
∵DF∥BC，
∴，而BE≠BC，故D不成立．
故选：D．
18．解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②由①全等可得OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，
∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴OG?OC＝EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG?OC，
故④不正确；
综上所述，正确的是①②③，
故选：A．
19．解：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝AD，
∴AE＝AD＝BC
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：D．
20．解：连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，
∵∠BAC＝90°，F为DE中点，
∴AF＝DE＝3，
∵＝，∠GAF＝∠BAF，
∴△AGF∽△AFB，
∴，
∴GF＝BF，
∴BF+CF＝GF+CF，
∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，
∵CG＝＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故选：D．
21．解：由旋转性质可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，AB＝AD＝，
∴．
∵∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴∠DAE+∠EAB＝∠CAB+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC．
故△ABD∽△ACE，故①正确；
设AB、CE交于点G，如图．
由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，
又∠FGB＝∠CGA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
故②正确；
由∠BFC＝∠BAC＝45°，可知A、C、B、F四点共圆，
由圆内接四边形性质知∠BFA+∠BCA＝180°，
则∠BFA＝90°，
又AB＝AD，△ABD为等腰三角形，
∴由三线合一性质知AF为BD上中线，即F为BD中点．
故③正确；
以AC作△AFC底边，则F到AC距离为高，设高为h，
当h最大时，△AFC面积才最大．
此时h＝，
故△AFC的面积最大值为，
故④错误．
故正确的一共有3个，
故选：C．
22．解：如图，过点M作MH⊥DC于H，
∴∠MHC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCHM是矩形，
∴MH＝BC＝3，
∵AB＝CD＝6，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝3，
∵MN⊥BD，
∴∠DEN＝∠MHN＝∠C＝90°，
∴∠MNH+∠BDC＝∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠MNH，
∴△DBC∽△MNH，
∴，
∴＝，
∴MN＝，
故选：C．
23．解：
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DAB＝55°，∠ABC＝65°，
∴∠DBA＝35°，∠CAB＝25°，∠DAC＝55°﹣25°＝30°．
设AC，BD的交点为O，∠DOA＝∠COB，
∴Rt△ADO∽Rt△BCO，
∴∠CBO＝∠DAO＝30°．
∵直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，
∴OD＝OA，OC＝OB，
∴OD：OA＝OC：OB＝1：2，
∵∠DOC＝∠AOB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝＝，
故选：B．
24．解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
又∵∠EAB＝90°﹣∠BAG，∠GAD＝90°﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴选项①正确；
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝DC，AG＝FG，
∴AC＝AD，AF＝AG，
∴＝，＝，即＝，
又∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD，
∴选项②正确；
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线，
∴∠AFH＝∠ACF＝45°，
又∵∠FAH＝∠CAF，
∴△HAF∽△FAC，
∴＝，即AF2＝AC?AH，
又∵AF＝AE，
∴2AE2＝AH?AC，
∴选项③正确；
④由②知△AFC∽△AGD，
又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠ADG＝∠ACF＝45°，
∴DG在正方形另外一条对角线上，
∴DG⊥AC，
∴④正确，
故选：D．
25．解：过D作DQ⊥OA交OA于点Q，过B作BH⊥OA于H，如图所示，
由题意知：OD是∠COA的角平分线，
∴∠COD＝∠QOD，
∵AC⊥OC，DQ⊥OA，
在△COD和△QOD中，
∴△COD≌QOD）（AAS），
∴DC＝DQ＝3，
∴OC＝OQ，
∵AD＝5，
∴AQ＝＝＝4，
设OC＝OQ＝a，
在Rt△AOC中，有a2+（3+5）2＝（a+4）2，
解得：a＝6，
∴OA＝OQ+QA＝6+4＝10，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠COA＝∠BAH，OC＝AB，
∴△ABH∽△OAC，
∴，，
∴AH＝＝＝，
BH＝＝，
∴OH＝OA+AH＝10+＝，
∴B（，）．
故选：D．
26．解：∵EF∥BC，
∴≠，
故A错误；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，，
∴，
故B错误；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，，
∴，
故C正确；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，
故D错误；
故选：C．
27．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
28．解：∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC＝∠DCA＝90°，EA∥DC，
∴∠MAB＝∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB＝BG，∠ABG＝90°，
∴∠ACB＝∠ABM＝90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM＝a，
∴AB＝BG＝2a，AM＝a，
∴AC＝＝＝，BC＝，
∴IA＝，
又AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴，，
∴CO＝AM＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣＝，
∴．
故选：A．
29．解：∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴，
∵BC＝3，AC＝3CD，
∴CH＝1．
∴BH＝4，
∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴，
∵△ABC∽△DHC，
∴，
∴AB＝3DH，
∴，
解得DH＝2，
∴AB＝3DH＝3×2＝6，
故选：A．
30．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE＝∠DGA，
又∠BAE＝∠DAF，
∴∠DGA＝∠DAF，
又∠ADF＝∠GDA，
∴△ADF∽△GDA，
∴，
∴AD2＝DF?DG．
（2）解：∵AB∥GD，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
即AH2＝HG?HE＝（4+5）×4＝36，
∴AH＝6．
31．解：（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF．
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS）．
∴AF＝EF．
同理可得△ABD≌△EBD（SAS）．
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB．
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF．
∴∠AFD＝∠ADF．
∴AF＝AD．
∴AF＝FE＝ED＝DA．
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF．
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE．
∴∠BEF＝∠C．
∴∠BAG＝∠C．
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA．
∴，
即AB2＝BG?BC．
32．证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAB﹣∠GAB＝∠GAE﹣∠GAB，
∴∠DAG＝∠BAE．
∴△DAG≌△BAE．
∴DG＝BE．
（2）解：如图，连接AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
AC＝．
∴，
同理，．
∴＝．
∵∠CAF＝∠CAB﹣∠FAB＝45°﹣∠FAB，
同理可得∠BAE＝45°﹣∠FAB，
∴∠CAF＝∠BAE．
∴△CAF∽△BAE．
∴．
33．证明：（1）根据题意可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠A＝90°，
不妨设CN＝x，则BN＝4﹣x，
∵DN⊥MN，
∴∠MNB+∠DNC＝90°，
又∠DNC+∠NDC＝90°，
∴∠MNB＝∠NDC，
∴△BMN∽△CND，
∴，即，
解得x＝1或x＝3，
∵CN＜BN，
∴x＝1，
∴CN＝BM＝1，BN＝DC＝3，DN＝＝，MN＝＝，
∴DN＝MN；
（2）如下图，
过点D作DE＝DN，并与BC的延长线交于点E，
则∠E＝∠DNE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∠ADN＝∠DNE，
∴∠B＝DCE＝∠DNM＝60°，
∵∠BMN+∠MNB＝120°，∠MNB+∠DNE＝120°，
∴∠BMN＝∠DNE，
∴∠BMN＝∠E，
∴△BMN∽△CED，
∴
∴．
34．（1）证明：∵四边形EFGH为正方形，
∴GH∥EF．
∴GH∥BC，
∴△AHG∽△ABC．
解：（2）设AD与HG的交点为M，如图，
则AM是△AHG的高．
由（1）知：△AHG∽△ABC．
∴．
∵四边形EFGH为正方形，
∴HG＝HE＝FG，HG∥BC．
∵AD⊥BC，
∴MD＝FG．
∴HG＝MD．
设HG＝MD＝xcm，则AM＝AD﹣MD＝（20﹣x）cm，
∴．
解得：x＝12，
∴正方形EFGH的边长为12cm．
∴正方形EFGH的面积为：12×12＝144cm2
35．证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°．
∵∠EAF＝∠GAC
∴△AEF∽△ACG．
（2）由（1）知△AEF∽△ACG，
∴∠AEF＝∠C
∵∠DAE＝∠BAC（公共角），
∴△EAD∽△CAB．
∴∠ADE＝∠B．
解：（3）由（2）知：△ADE∽△ABC，
∴．
由（1）知△AEF∽△ACG，
∴．
∴．
∵AD＝3，AB＝5，
∴．