2021-2022学年九年级数学冀教版上册28.5弧长和扇形面积的计算练习题（word版含答案）

28.5　弧长和扇形面积的计算
【基础练习】
知识点
1　弧长公式l=(n°为圆心角,r为半径)
1.若扇形的圆心角为45°,半径为3,则该扇形的弧长为　　　　.?
2.一个扇形的弧长是11πcm,半径是18cm,则此扇形的圆心角是　　　　度.?
3.若75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是　　　　cm.?
4.如图1,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠D=60°.当BC=4时,求的长.
图1
知识点
2　扇形面积公式S=(n°为圆心角,r为半径)或S=lr(l为弧长,r为半径)
5.(1)一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为　　　　;(结果保留π)?
(2)一个扇形的面积是13πcm2,半径是6cm,则此扇形的圆心角是
　度;?
(3)已知扇形的圆心角为120°,面积为π,则扇形的半径是　　　　.?
6.
一个扇形的弧长是10πcm,面积是60πcm2,则此扇形的圆心角的度数是(　　)
A.300°
B.150°
C.120°
D.75°
7.如图2,已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,的长为π,则图中阴影部分的面积为(　　)
图2
A.π
B.π
C.π
D.π+
8.如图3所示,AB是☉O的直径,∠B=30°,弦BC=6,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD.
(1)求直径AB的长;
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
图3
知识点
3　圆锥的侧面展开图、母线与高
9.已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为13cm,则这个圆锥的侧面积是(　　)
A.60πcm2
B.65πcm2
C.120πcm2
D.130πcm2
10.一个圆锥的底面半径是4cm,其侧面展开图的圆心角是120°,则圆锥的母线长是(　　)
A.8cm
B.12cm
C.16cm
D.24cm
11.如图4所示,若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的底面半径是　　　　.?
图4
12.如图5,用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是　　　　cm.?
图5
【能力提升】
13.如图6,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为(　　)
A.π
B.π
C.2π
D.3π
图6
图7
14.如图7,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆的面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是(　　)
A.(30+5)πm2
　　
B.40πm2
C.(30+5)πm2
　　
D.55πm2
15.如图8所示,点A,B,C对应的刻度分别为0,2,4,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A1,则此时线段CA扫过的图形的面积为(　　)
图8
A.4π
B.6
C.4
D.π
16.如图9,公路弯道标志R=m表示圆弧道路所在圆的半径为m(米),某车在标有R=300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B,则线段AB=　　　　米.?
图9
17.如图10,点A在数轴上对应的数为20,以原点O为圆心,OA长为半径作优弧,使点B在点O的右下方,且tan∠AOB=,在优弧上任取一点P,且能过点P作直线l∥OB交数轴于点Q,设点Q在数轴上对应的数为x,连接OP.
(1)若优弧上一段的长为10π,求∠AOP的度数及x的值;
(2)若线段PQ的长为10,求这时x的值.
图10
答案
1.π　[解析]根据弧长公式可知l=π.
2.110　[解析]根据l==11π,解得n=110.
3.6　[解析]由弧长公式l=,得圆的半径r==6(cm).
4.解:连接OC.∵∠ABC与∠D都是所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°.
∵OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,∴OC=BC=4.
又∵∠AOC=2∠D=120°,
∴的长为π.
5.(1)4π　(2)130　(3)　[解析](1)S扇形==4π;(2)设这个扇形的圆心角为n°,则=13π,解得n=130;(3)∵S扇形=,∴r2==3,∴r=(负值已舍去).
6.B　[解析]∵一个扇形的弧长是10πcm,面积是60πcm2,且S=lr,∴60π=×10π×r,解得r=12(cm),∴S=60π=,解得n=150.故选B.
7.A　[解析]如图,连接CD,OC,OD.∵C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,AC=CD.又∵OA=OC=OD,
∴△OAC,△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°=∠AOC,∴CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD.∵的长为π,∴π,解得r=1,
∴S阴影=S扇形COD=π.
8.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠B=30°,∴AB=2AC.
∵AB2=AC2+BC2,∴AB2=AB2+62,
解得AB=4(负值已舍去).
(2)如图,连接OD.∵AB=4,∴OA=OD=2.
∵CD平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ACD=45°,
∴∠AOD=2∠ACD=90°,
∴S△AOD=OA·OD=×2×2=6.
∵S扇形AOD=π×(2)2=3π,
∴阴影部分的面积=S扇形AOD-S△AOD=3π-6.
9.B　[解析]这个圆锥的侧面积=×2π×5×13=65π(cm2).
10.B　[解析]圆锥的底面周长为2π×4=8π(cm),即侧面展开图扇形的弧长为8πcm,由弧长公式得=8π,解得R=12,即圆锥的母线长为12cm.
11.　[解析]设圆锥的底面半径为r.由题意,得=2πr,解得r=.
12.4　[解析]∵圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长为=4π(cm),
∴圆锥的底面圆的周长为4πcm,因此圆锥的底面圆的半径为2cm,∴这个纸帽的高为=4(cm).故答案为4.
13.C　[解析]∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BCD+∠A=180°.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴∠BCD=2∠A,∴2∠A+∠A=180°,解得
∠A=60°,∴∠BOD=120°,∴的长为=2π.故选C.
14.A　[解析]设底面圆的半径为Rm,则πR2=25π,解得R=5,圆锥的母线长为(m),所以圆锥的侧面积为×2π×5×=5π(m2),圆柱的侧面积为2π×5×3=30π(m2),所以需要毛毡的面积为(30+5)πm2.
15.D　[解析]由题意,知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋转的性质,得A1C=AC=4.
在Rt△A1BC中,cos∠ACA1=,
∴∠ACA1=60°,∴扇形ACA1的面积为π.即线段CA扫过的图形的面积为π.
16.300
17.解:(1)由=10π,解得n=90,∴∠AOP=90°.
∵PQ∥OB,∴∠PQO=∠AOB,
∴tan∠PQO=tan∠AOB=,
∴OQ=,∴x=.
(2)分三种情况:①如图(a),过点O作OH⊥PQ于点H.
由(1)知tan∠PQO=tan∠AOB=,
∴可设OH=k,QH=k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴202=(k)2+(10-k)2,
整理,得k2-5k-75=0.
解得k=或k=(舍去),
∴OQ==2k=5+5,此时x的值为5+5.
②如图(b),过点O作OH⊥PQ交直线l于点H.∵l∥OB,∴∠OQH=∠AOB,
∴tan∠OQH=tan∠AOB=,
∴可设OH=m,QH=m.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴202=(m)2+(10+m)2,
整理,得m2+5m-75=0.
解得m=或m=(舍去),
∴OQ==2m=-5+5,
此时x的值为-5+5.
③如图(c),过点O作OH⊥PQ于点H.
∵l∥OB,∴∠OQH=∠AOB,
∴tan∠OQH=tan∠AOB=,
∴可设OH=n,QH=n.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴202=(n)2+(10-n)2,
整理,得n2-5n-75=0.
解得n=或n=(舍去),
∴OQ==2n=5+5.
此时x的值为-5-5.
综上所述,满足条件的x的值为5+5或-5+5或-5-5.