(共42张PPT)
人教版-数学-九年级-下册
27.3
位似
第一课时
相
似
知识回顾
利用相似测量宽度
X型
A型
△ABC∽△EDC，
△ABC∽△EDC，
学习目标
1.掌握位似图形的概念、性质和画法.
2.掌握位似与相似的联系与区别.
课堂导入
如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？
连接图片上对应的点，你有什么发现？
知识点1：位似图形的概念
下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
A
B
C
A1
B1
C1
O
O
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．这时我们说这两个图形关于这点位似.
位似图形必须同时满足两个条件：
1.两个图形是相似图形；
2.两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点．
1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.
2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点，如图所示.
1.相似只要求两个图形的形状完全相同，而位似不仅要求图形相似，还必须有特殊的位置关系，即对应顶点的连线相交于同一点.
2.如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但相似的两个图形不一定是位似图形.
位似与相似的区别与联系
下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心.
O
O
是
不是
是
知识点2：位似图形的性质
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则
，AB∥A′B′.
那右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质:
1.位似图形的对应角相等，对应边成比例.
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质:
2.位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点，这个点就是位似中心.
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质:
3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质:
4.位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.(仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况)
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质:
5.两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
如图，△ABC
与△
是位似图形，点
O
是位似中心，若
，则△ABC
与△
的相似比为
.
性质4：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.
2
知识点3：画位似图形
O
D
A
B
C
解：(1)
在四边形外任选一点
O
，连接
OA，OB，OC，OD；
例
把四边形
ABCD
缩小到原来的
.
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
(2)
分别在线段
OA、OB、OC、OD
上取点
A'
、B'
、C'
、D'
，使得
；
(3)
顺次连接点
A'
、B'
、C'
、D'
，所得四边形
A'
B'
C'
D'
就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
对于上面的问题，你还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点
O，分别在
OA、OB、OC、OD
的反向延长线上取
A′
、B′
、C′、D′，使得
呢？
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
如果点
O
取在四边形
ABCD
内部呢？分别画出这时得到的四边形A'
B'
C'
D'
．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
画位似图形的一般步骤：
确定位似中心(位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点)，并找出原图形的关键点；
分别连接位似中心和原图形的关键点；
根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置；
顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
1.画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比.
2.以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.
如图，以点
O
为位似中心，在点
O
的同侧将△ABC
缩小为原来的
.
A
B
C
O
B1
A1
C1
1.下列图形中△ABC
∽△DEF，但这两个三角形不是位似图形的是(
)
B
注意对应顶点
课堂练习
判断相似图形是不是位似图形时，需过所有对应点作直线，观察所作直线是否交于一点，若交于一点，则是；否则不是.解本题时切记先判断对应点，再作直线，否则易误认为选项B中的图形也是位似图形.
2.如图，以点
O
为位似中心，将五边形
ABCDE
放大后得到五边形，已知
OA
=10
cm，=20
cm，则五边形
ABCDE
的周长与五边形
的周长的比值是
.
解析：因为五边形
ABCDE
与五边形
位似，位似中心为
O，
OA
=10
cm，=20
cm，所以五边形
ABCDE
与五边形
的相似比为
，所以五边形
ABCDE
与五边形
的周长比为
.
3.如图，图中的小方格都是边长为
1
的正方形，△ABC
与△
的顶点都在格点上.
△
与△ABC
是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出相似比；如果不是，请说明理由.
C
A
B
解：由勾股定理，得
AB=
=
，BC=
=
，AC=
=
；
，
，
.
因为
，
，
，
所以
，
所以
△∽△ABC.
C
A
B
如图，连接
并延长相交于一点O，
因此△与△ABC
是位似图形，点
O
即为位似中心，
因为
=12，OA=6，所以相似比为.
C
A
B
O
在判定
△
与△ABC是不是位似图形时，容易出现只考虑两个三角形的对应顶点的连线相交于同一点，而没有证明两个三角形相似的情况.如下图所示，虽然△A2B2C2
与△A1B1C1
对应顶点的连线交于一点，但
是两个三角形不是相似三角形，显然不
是位似图形.
两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形
课堂小结
位似图形
概念
性质
对应角相等，对应边成比例
对应点的连线所在的直线相交于一点
对应边互相平行或在同一条直线上
位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比
两个图形位似，则这两个图形一定相似
课堂小结
位似图形的画法
确定位似中心，并找出原图形的关键点
分别连接位似中心和原图形的关键点
确定所画位似图形的关键点的位置
顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形
1.
如图，以点
O
为位似中心，把△ABC
放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是(
)
A.△ABC∽△
B.点C、点O、点C'三点在同一直线上
C.AO：AA'
=1:2
D.AB∥
A'B'
C
1:3
2.在如图所示的网格中，以点
O
为位似中心，四边形
ABCD
的位似图形是(
)
A.四边形
NPMQ
B.四边形
NPMR
C.四边形
NHMQ
D.四边形
NHMR
解析：∵以点
O
为位似中心，∴点
C
对应点
M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则
OC
=，OM
=，OD
=，
OB=，OA
=，OR
=，
OQ
=，OP
=，OH
=，
ON
=，
∵
，
∴以点
O
为位似中心，四边形
ABCD
的位似图形是
四边形
NPMQ．
3.如图，△ABC
在方格纸中.
(1)请在方格纸上建立平面直
角坐标系，使
A(2，3)，
C(6，2)，并求出
B
点坐标；
A
B
C
O
x
y
B点坐标
(2，1)
A
B
C
O
x
y
(2)以原点
O
为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC
放大，画出放大后的图形△；
(3)计算△
的面积
S.
解：S=16.
A
B
C
O
x
y
课后作业
请完成课本后习题第2、4题.
人教版-数学-九年级-下册
27.3
位似
第一课时
谢谢聆听(共32张PPT)
人教版-数学-九年级-下册
27.3
位似
第二课时
相
似
知识回顾
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．
位似图形的概念是什么？
学习目标
1.理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2.会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
3.了解四种图形变换
(平移、轴对称、旋转和位似)
的异同，并能在复杂图形中找出来这些变换.
课堂导入
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转
(中心对称).
那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
知识点1：平面直角坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中，有两点
A
(6，3)，B
(6，0)．以原点
O
为位似中心，相似比为
，把线段
AB
缩小.
观察对应点之间坐标有什么变化.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把
AB
缩小后，
A，B
的对应点为A′
(2，1)，B′
(2，0)；A"
(-2，-1)，B"
(-2，0).
△ABC
三个顶点坐标分别为
A
(2，3)，B
(2，1)，C
(5，2)，以点
O
为位似中心，相似比为
2，将△ABC
放大.
观察对应顶点坐标有什么变化.
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－6
B'
A'
C'
A"
B"
C"
如图，把
△ABC
放大后
A，B，C
的对应点为A'
(4，6)，B'
(4，2)，C'
(10，4)；A"
(-4，-6)，B"
(-4，-2)，C"
(-10，-4).
O
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
两个.
所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为
k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为
-k．
平面直角坐标系中位似变换坐标的变化规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为
k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变换中图形上对应点的坐标的变化规律.
例
如图，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A
(－2，4)，B
(－2，0)，O
(0，0).
以原点
O
为位似中心，画出一个三角形，使它与
△ABO
的相似比为
.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(－3，6)，B′
(－3，0)，O
(0，0).
顺次连接点
A′
，B′
，O，所得的
△A′
B′
O
就是要画的一个图形.
A′
B′
还有其他画法吗？
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
－2
－4
－6
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(3，-6)，B′
(3，0)，O
(0，0).
顺次连接点
A′
，B′
，O，所得的
△A′
B′
O
就是要画的一个图形.
A′
B′
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
名称
规律
变换方式
平移
对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
全等变换
轴对称
若以
x
轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以
y
轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数
旋转
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后的两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
位似
若以原点为位似中心，则变换前后两个图形对应点的横坐标或纵坐标之比的绝对值等于相似比
相似变换(扩大、缩小或不变)
如图，在平面直角坐标系中，矩形
OABC
的顶点
O
为坐标原点，边
OA
在
x
轴上，OC
在
y
轴上，如果矩形
与矩形
OABC
关于点
O
位似，且矩形
的面积等于矩形
OABC
面积的
，那么点
的坐标是(
)
A.(
-2，3)
B.(2，-3)
C.(3，-2)或(-2，3)
D.(-2，3)或(2，-3)
相似比为
D
1.如图，△ABC
中，A，B
两点在
x
轴的上方，点
C
的坐标是(-1，0).以点
C
为位似中心，在
x
轴的下方作△ABC
的位似图形，并把△ABC
的边长放大到原来的
2
倍.设点
B
的对应点
的横坐标是2，则点
B
的橫坐标为
.
解析：如图，过点
B，
B'
分别作
BD⊥x
轴于点
D，B'E⊥x
轴于点
E，
∴
∠BDC
=∠B'EC=90°.
∵△ABC
的位似图形是△A'B'C，
∴
点
B，C，B'
在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，∴△BCD∽△B'CE
，
∴
，
D
E
∵点
B'
的横坐标是2，点
C
的坐标是(-1，0)，
∴CE
=3，∴CD
=，
∴，
∴
点
B
的横坐标为
.
D
E
2.如图所示，正方形
OEFG
和正方形
ABCD
是位似图形，点
F
的坐标为(-1，1)，点
C
的坐标为(-4，2)，求这两个正方形位似中心的坐标.
课堂练习
勿忘分类讨论
本题两个正方形位似有两种情况，切记进行分类讨论.
解：(1)当两个正方形位于位似中心同侧时，作直线
CF（图略），位似中心就是直线
CF
与
x
轴的交点，
设直线
CF
的解析式为
y=kx+b.
将点
C(-4，2)，F(-1，1)代入，得
解得即
.令
y
=0，得
x
=2.
所以这两个正方形位似中心的坐标是(2，0).
解：(2)当两个正方形位于位似中心两侧时，作直线
OC，DE（图略），位似中心就是直线
OC
与直线
DE
的交点.
由题意，得直线
OC
的解析式为
，直线
DE
的解析式为
.
由
解得
即位似中心的坐标是(
，).
找位似中心的方法
位似图形中对应顶点所在的直线相交于位似中心.利用这一性质，只要用直尺把位似图形中的对应顶点所在直线的交点找出来，即可找到位似中心.在此类题中，要注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转化.
3.工人师傅要在三角形铝板上截下一个正方形
DEFG，使
D，E
两点分别在三角形的边
AB，AC
上，F，G
两点在边
BC
上，你能帮他画出裁剪线吗?
解：(1)作正方形
D1E1F1G1，使
D1在边
AB
上，F1，G1在边
BC
上；
(2)作射线
BE1，交
AC
于点
E；
(3)作
DE//BC，交
AB
于点
D，作
EF⊥BC
于
点
F，作DG⊥BC
于点
G，则四边形
DEFG
就是所求的正方形.
A
B
C
D1
G1
F1
E1
E
D
G
F
课堂小结
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
平面直角坐标系中图形的变换
平移
轴对称
旋转
位似
1.
如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO
的顶点坐标分别为
A(
-2，-1)，B(
-2，-3)，O(0，0)，△A1B1O1
的顶点坐标分别为
A1(1，-1)，B1(1，-5)，O1(5，1)，△ABO
与
△A1B1O1
是以点
P
为位似中心
的位似图形，则
P
点的坐标为
.
(-5，-1)
P
2.
在平面直角坐标系中，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0).以原点
O
为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
，得到△CDO，则点
A
的对应点
C
的坐标是
.
(-1,2)或(1,-2)
在点
O
同侧时，(，)，即(，).
在点
O
异侧时，(，)，即(，).
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC
的顶点坐标分别是
A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF
与△ABC
成位似图形，且相似比为2：1，则线段
DF
的长度为(
)
A.
B.
2
C.
4
D.
D
D(2,4),
F(6,2)
课后作业
请完成课本后习题第3、5题.
人教版-数学-九年级-下册
27.3
位似
第二课时
谢
谢
