2013高数学周考（15）
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2013高数学周考（15）姓名____________
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1.用数学归纳法证明.第一步应验证( C )
A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4
2．如果复数是实数，则实数( B )
A． B． C． D．
3 ．若，则等于（ A ）
A．－1 B．－2 C．－ D．
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）
A.假设不都是偶数 B.假设都不是偶数
C.假设至多有一个是偶数 D.假设至多有两个是偶数
5.定积分的值是（ C ）
A． B． C． D．
6.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A.10 B.20 C.30 D.120
7.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ A ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8.将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各
校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( C )
A．25种 B．40种 C．42种 D．55种
9.已知在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ A ）
A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对
10.设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集是（ A ）
A．[1,2] B.(1,2) C.[1,) D.(,2]
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.展开式中各项的系数和为__________ 81
13. 设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若，则= ．5.5
12.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式__________．当m+n=20时，+2
14. 设随机变量X～N（2，4），则D（X）的值等于 1
15.设，则符合条件的共有_______组（顺序不同视为不同组） 81
三、解答题
16．已知展开式中的系数为11，求：
（1）的系数的最小值；
（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。
解：（1），所以
当时有最小值；
（2）由（1），所以
从而，
，
所以，即奇数次幂项的系数之和为
17．在数列中，，（1）计算并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。
18..第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。
Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”， 则 ．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是．
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．
， ，
， ．
因此，X的分布列如下：
X
所以X的数学期望
19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
20．对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：（其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍）
焦虑 说谎 懒惰 总计
女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
总计 25 20 65 110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量，
由表中数据可得
，
，
．因为的值最大，所以说谎与性别关系最大．
21．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．
（1）解：因为，所以．因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即．所以．
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，令，
则，所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是3．
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，所以当时，．即．
整理，得．
因为， 所以．
即．即
所以．
证明2：构造函数，
则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．因为， 所以．
所以．…12分
即．即．
即．所以
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1.用数学归纳法证明.第一步应验证( C )
A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4
2．如果复数是实数，则实数( B )
A． B． C． D．
3 ．若，则等于（ A ）
A．－1 B．－2 C．－ D．
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）
A.假设不都是偶数 B.假设都不是偶数
C.假设至多有一个是偶数 D.假设至多有两个是偶数
5.定积分的值是（ C ）
A． B． C． D．
6.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A.10 B.20 C.30 D.120
7.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ A ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8.将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各
校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( C )
A．25种 B．40种 C．42种 D．55种
9.已知在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ A ）
A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对
10.设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集是（ A ）
A．[1,2] B.(1,2) C.[1,) D.(,2]
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.展开式中各项的系数和为__________ 81
13. 设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若，则= ．5.5
12.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式__________．当m+n=20时，+2
14. 设随机变量X～N（2，4），则D（X）的值等于 1
15.设，则符合条件的共有_______组（顺序不同视为不同组） 81
三、解答题
16．已知展开式中的系数为11，求：
（1）的系数的最小值；
（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。
解：（1），所以
当时有最小值；
（2）由（1），所以
从而，
，
所以，即奇数次幂项的系数之和为
17．在数列中，，（1）计算并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。
18..第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。
Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”， 则 ．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是．
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．
， ，
， ．
因此，X的分布列如下：
X
所以X的数学期望
19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
20．对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：（其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍）
焦虑 说谎 懒惰 总计
女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
总计 25 20 65 110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量，
由表中数据可得
，
，
．因为的值最大，所以说谎与性别关系最大．
21．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．
（1）解：因为，所以．因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即．所以．
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，令，
则，所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是3．
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，所以当时，．即．
整理，得．
因为， 所以．
即．即
所以．
证明2：构造函数，
则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．因为， 所以．
所以．…12分
即．即．
即．所以