2013高数学周考（14）（教师版）

2013高数学周考（14）姓名____________
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．若为实数，＝i，则等于 （ A ）
A． B． C．2 D．
2．已知随机变量服从正态分布，则 （ C ）
A．0.84 B．0.32 C．0.16 D．0.08
3．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则等于(　B　)
A．p2 B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不对
4. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( D ) A.540 B.300 C.180 D.150
5．(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为 ( D )
A．1 B．46 C．4245 D．4246
6. 函数与函数的图象所围成的封闭图形的面积为（ C ）
A． B．2 C． D．3
7．若 的值为 ( D )
A．0 B．2 C．－1 D．1
8．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011( C )
A.1 B．2 C．4 D．5
9．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为( B )
A． B． C． D．
10．将正方体ABCD—A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（ C ）
A．15种 B．14种 C．13种 D．12种
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 随机变量的分布列如下：
-1 0 1
其中成等差数列。若，则的值是___ __________。
12.设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围为________________________。 .
13.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列： ，如果 ( )为数列的前 ( )项和，那么的概率为_____________________
14. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 . .
15.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关. 图2是一个7阶的杨辉三角.
给出下列五个命题：
①记第行中从左到右的第个数为，则数列的通项公式为；
②第k行各数的和是；③n阶杨辉三角中共有个数；
④n阶杨辉三角的所有数的和是.其中正确命题的序号为___.（2）（4） ________________.
三、解答题
16、 (12分）已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
（1）n的值；（2）展开式中含x3的项.
解：（1）∵ 　
依题意得　　∴
---------------------------------------------------------------------------6分
（2）设第r +1项含x3项，
则 　　
∴第二项为含x3的项：T2=-2=-18x3 ---------------------------------------------------------- 12分
17. 在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，（1）根据以上数据建立一个的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系？（可能用到的公式：，可能用到数据：）
. （1）解：2×2列联表如下： -------------4分
晕机 不晕机 合计
男乘客 28 28 56
女乘客 28 56 84
合计 56 84 140
（2）假设是否晕机与性别无关，则 的观测值
-------------8分
，
所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系 ………10分
18.某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.求X的分布列；求此员工月工资的期望.
解答：（1）选对A饮料的杯数分别为，，，，，
其概率分布分别为： ，，，，。
（2）。
19．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
20．（本小题满分12分）已知函数． （I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
解：（I）
（i）若单调增加.
（ii）若且当
所以单调增加，在单调减少. ………………4分
（II）设函数则
当.
故当，
21. （本小题满分14分）若某一等差数列的首项为,公差为展开式中的常数项,其中m是除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.
解：由已知得：,又,………………………………2分
所以首项.……………………………………………………………………4分
,所以除以19的余数是5,即………6分
的展开式的通项
,
若它为常数项,则,代入上式.
从而等差数列的通项公式是：，……………………………………10分
设其前k项之和最大，则，解得k=25或k=26，
故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，.………………………………………14分
图2
第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
第7行
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1