2013级高二下假期数学试 （1）

2013级高二下假期数学试 （1）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
1. 复数的共轭复数是（ B ）A． B． C． D．
2．“所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理（ A）
A 完全正确 B 推理形式不正确 C 错误，因为大小前提不一致 D错误，因为大前提错误
3设，若，则（B ）
A． B． C． D．
4．若，则k=( A )A． 1 B．0 C．0或1 D．以上都不对
5. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　A　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
6. 函数的的单调递增区间是 ( C )
A． B． C． D．和
7．(2012年长沙联考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝(　　) A．1 B．2C．3 D．4
【解析】　因为ξ～N(2,9)，正态密度曲线关于x＝2对称，而概率表示它与x轴所围成的面积． ∴＝2，∴c＝2. 【答案】　B
8. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ A ）
A.120 B.240 C.360 D.72.
解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法,共有种不同的取法.
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）
10．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
11. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种。（用数字作答）
12．设函数在处取得极值，且曲线以点处的切线垂直于直线，则的值为 .1
13已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则____________．1
14．曲线与直线所围成图形的面积 9.
15．二次函数的导函数为，已知，且对任意实数，有，则的最小值为 。 2
三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
【解析】　由(x2＋)5得，Tr＋1＝C5r(x2)5－r()r＝()5－r·C5r·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0， ∴r＝4，∴常数项T5＝C54×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知， (a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴C42a4＝54，∴a＝±.
17．某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下：
月份 1 2 3 4 5 6
产量(千件) 2 3 4 3 4 5
单位成本(元/件) 73 72 71 73 69 68
(1)试确定回归方程；
(2)指出产量每增加1 件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6 件时，单位成本是多少？单位成本为70元/件时，产量应为多少件？
【解析】　(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图．由图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为y＝bx＋a.
由公式可求得b≈-1.818，a=77.364，
∴回归方程为y=-1.818x+77.364.
(2)由回归方程知，每增加1 件产量，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6时，y＝－1.818×6＋77.364＝66.455；
当y＝70时，70＝－1.818x＋77.364，得
x≈4. 051千件．
∴ 产量为6 件时，单位成本是66.455元/件，单位成本是70元/件时，产量约为4 051件．
17．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．
【解析】　(1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝＝，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝.
(2)由统计量的计算公式＝≈11.54，
由于11.54＞10.828，所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．
18.已知数列{an}满足a1=，且前n项和Sn满足：Sn=n2an，求a2,a3,a4,猜想{an}的通项公式，并加以证明。
解：由S 得 a
由a
由此猜想a下面用数学归纳法证明
(1)n=1 a命题成立
(2)假设n=k时命题成立，即a
那么当n=k+1时，S S 则 S
即a
a 所以：a
a 即 n=k+1时命题成立。
由（1）（2）知对一切n命题成立。
19．（ 12分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
求函数的解析式； 求函数的单调区间
(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2,
所以 ,(x)=3x2+2bx+c,
由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,
∴即解得b=c=-3.
故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2
(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-∴f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(1+,+∞)和(-∞, 1-),
单调递减区间为(1-,1+)
20．(2011年广州模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望
【解析】　(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为
C502＝1 225.
选出2人使用版本相同的方法数为
C202＋C152＋C52＋C102＝350.
故2人使用版本相同的概率为：P＝＝.
(2)∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
21．（本小题满分12分）已知函数，，其中．
若是函数的极值点，求实数的值；
若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
(Ⅰ)解法1：∵，其定义域为，
∴． ∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴． 经检验当时，是函数的极值点，∴．　
解法2：∵，其定义域为，
∴． 令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
— 0 ＋
减函数 极小值 增函数
依题意，，即，∵，∴．
(Ⅱ)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥． 当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.由≥，得≥，
又，∴． 综上所述，的取值范围为．
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．