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第2课时 等差数列的性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．2．掌握等差数列的性质及应用．3．掌握等差中项的概念及应用．
1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养．
看下面三个等差数列：
(1)1,3,5,7,9,11,13，…
(2)5,2,－1,－4,－7,－10,…
(3)2,2,2,2,2,2，…
各个数列中，a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？如果换为a1＋a4
与a2＋a3呢？你能给出一般性的结论吗？
[提示] 略．
1．等差数列的图象
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中d是该直线的斜率．
2．等差数列的单调性
对于an＝dn＋(a1－d)，
(1)当d＞0时，{an}为递增数列；
(2)当d＜0时，{an}为递减数列；
(3)当d＝0时，{an}为常数列．
3．等差数列的性质
(1)等差中项
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，A＝．
(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at．
1．已知等差数列{an}的两项，是否可确定这个数列的通项公式？请从几何意义上给出解释．
[提示] 可以确定，因为数列的两项对应数列图象上的两点，又因等差数列的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，由两点确定一条直线知，可以确定这个数列的通项公式．
2．已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义．
[提示] d＝．d是直线y＝dx＋(a1－d)的斜率．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q．
( )
(2)若A＝，则a，A，b成等差数列．
( )
(3)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)
d．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列
D．非等差数列
C [设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d．]
3．已知在等差数列{an}中，a6＋a10＝20，则a8的值是________．
10 [a8＝＝＝10．]
4．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8和a6＋a7．
[解] ∵a2＋a11＝a3＋a10＝a5＋a8＝a6＋a7，
∴a5＋a8＝a6＋a7＝＝＝18．
类型1 等差数列项的性质及应用
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)若a1＋a2＋a3＝6，则a2＝________；
(2)若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，则a5＋a6＝_________．
[思路点拨] 观察已知式与待求式的结构特征，联想等差数列的性质，利用等差数列的性质求解．
(1)2 (2)11 [(1)∵a1＋a3＝2a2，∴3a2＝6，∴a2＝2．
(2)∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4，
∴(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)，
即(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)，
∴3＋(a5＋a6)＝2×7．
∴a5＋a6＝11．]
在第(1)问的的条件下，求a3＋a4－a5的值．
[解] 法一：设数列{an}的公差为d，则
a3＋a4－a5＝a3－(a5－a4)＝a3－d＝a2＝2．
法二：a3＋a4－a5＝a2＋a5－a5＝a2＝2．
1．本题除了用性质法求解外，也可用基本量法求解，即将已知式与待求式用等差数列的基本量a1和d表示出来，通过解方程(组)或整体代换求解．
2．若注意到(a2n－1＋a2n)是等差数列，则第(2)问的求解会更简单，事实上第(2)问是已知等差数列(a2n－1＋a2n)的前两项求第三项．
类型2 利用等差中项判定等差数列
【例2】 在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝．
求证：数列{an}是等差数列．
[思路点拨] 通过证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N＋)来证明．
[证明] 当n≥2时，由＝，得(n－1)an＋1＝nan，
∴nan＋2＝(n＋1)an＋1，
两式相减得，nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，
∴an＋2＋an＝2an＋1，
又∵a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，
∴数列{an}是等差数列．
证明一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2)
?数列{an}是等差数列；
(2)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?数列{an}是等差数列．
[跟进训练]
1．已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
[证明] ∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)．
∴b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
类型3 等差数列的实际应用
【例3】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
[设所构成的等差数列为{an}，则
由a7＋a8＋a9＝4得3a8＝4，∴a8＝．
由a1＋a2＋a3＋a4＝3得2(a1＋a4)＝3，
∴a1＋a4＝．
∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝，得d＝．
∴a5＝a8－3d＝－3×＝．]
求解与等差数列有关的实际问题时．在建立等差数列模型后，要确定等差数列的通项公式，并弄清楚实际问题所要求的是等差数列的什么问题，本题是求等差数列的项．
[跟进训练]
2．《莱因德纸草书》(Rhind
Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是________．
10 [设这五人所得面包数成递增的等差数列{an}，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝100，
∴5a3＝100，即a3＝20，
∴a1＋2d＝20，①
由(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，得a1＝2d，②
①②联立，解得a1＝10．]
1．等差数列增减性的判断方法：可利用公差d的符号来判断．
2．应用等差数列的性质，可使有关等差数列问题的解答变得简捷．
3．在利用等差数列的性质解题时，注意函数与方程思想、转化与化归思想及整体代入方法的应用．
1．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0，则a5＋a8＝( )
A．3 B．5 C．－3 D．－5
A [a5＋a8＝a3＋a10＝3．]
2．[一题多空]若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝______，b＝______，c＝_______．
33 18 3 [b＝＝18，a＝＝33，c＝＝3．]
3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________．
15 [∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，又a6＝7，∴a5＝15．]
4．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．
[解] 法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则a1－a5＋a9－a13＋a17＝117可化为a1＋8d＝117，
∴a3＋a15＝a1＋2d＋a1＋14d＝2(a1＋8d)＝2×117＝234．
法二：∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13，
∴由条件可得a9＝117，
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234．
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§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第2课时 等差数列的性质
第一章 数列
情境导学·探新知
NO.1
斜率
d＞0
d＜0
d＝0
等差数列
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
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4
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课后素养落实(四) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a3＋a5＝2π，则cos
a3＝( )
A． B．－ C． D．－
D [∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝2π，∴a3＝π，∴cos
a3＝cos
π＝－．]
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为( )
A．20
B．22
C．24
D．28
C [由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，
∴a8＝24，
∴2a10－a12＝a10－(a12－a10)＝a10－2d＝a8＝24．]
3．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于( )
A．
B．
C．
D．
C [∵b－a＝3d1，且b－a＝4d2，∴＝＝．]
4．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
C [因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列，∵a1＋b1＝100，又a2＋b2＝100，∴a37＋b37＝100．故选C．]
5．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则＝( )
A．1
B． C．
D．
C [设方程x2－2x＋m＝0的两根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0的两根分别为x3，x4，
则x1＋x2＝x3＋x4＝2，
不妨设数列的首项为x1，根据等差数列的性质，数列的第四项为x2，
由题意知x1＝，∴x2＝，
∴数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项为，，
∴m＝×＝，n＝×＝，
∴＝＝．]
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a3＋a9＝12，则a6等于________．
6 [a6＝＝＝6．]
7．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，则公差d＝________．
4 [d＝＝＝4．]
8．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________．
100 [a3＋a7＝a4＋a6，则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5＝a5＝100．]
三、解答题
9．若三个数a－4，a＋2,26－2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
[解] 当a－4是等差中项时，2(a－4)＝(a＋2)＋(26－2a)，
解得a＝12，相应的数列为：2,8,14；
当a＋2是等差中项时，2(a＋2)＝(a－4)＋，
解得a＝6，相应的数列为：2,8,14；
当26－2a是等差中项时，2(26－2a)＝(a－4)＋(a＋2)，
解得a＝9，相应的数列为：5,8,11．
10．在等差数列{an}中，若
a1＋a2＋…＋a5＝30,
a6＋a7＋…＋a10＝80,
求a11＋a12＋…＋a15．
[解] ∵a1＋a11＝2a6，
a2＋a12＝2a7，
…
a5＋a15＝2a10，
∴a6＋a7＋…＋a10
＝，
∴80＝，
∴a11＋a12＋…＋a15＝130．
11．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14
B．21
C．28
D．35
C [∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4．
又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C．]
12．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A．>
B．<
C．＝
D．≤
A [＝≥，又b，c不相等，故选A．]
13．(多选题)已知{an}是公差d>0的等差数列，下列结论正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列是递增数列
AD [an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以A正确；
如an＝3n－12满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以B错；
如果若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋，是递减数列，所以C错；
an＋3nd＝4dn＋(a1－d)，所以是递增数列，D正确．]
14．[一题两空]已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则(1)∠B等于________；(2)ac与b2的大小关系是________．
(1) (2)b2≥ac [(1)由已知得B＝＝，解得B＝．
(2)在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，
所以b2＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac．]
15．在等差数列{an}中，已知公差d，an≠0，设关于x的方程akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0(k∈N＋)．
(1)试问：这些方程是否有公共根？如果有，求出这个公共根；如果没有，说明理由．
(2)设方程akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0(k∈N＋)的另一根为xk，证明：
也是等差数列．
[解] (1)∵{an}是等差数列，∴ak＋ak＋2＝2ak＋1，
代入已知方程，得akx2＋(ak＋ak＋2)
x＋ak＋2＝0，即(x＋1)(akx＋ak＋2)＝0，
方程有解x＝－1，
故不论k取何正整数时，方程总有公共根x＝－1．
(2)证明：当k取何正整数时，xk＝－，
∴xk＋1＝－＋1＝－＝－，
故＝－，
则－＝－＝－＝－＝－．
∴是公差为－的等差数列．
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