4.2.1 等差数列的概念（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2.1 等差数列的概念（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 367.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-01 08:55:48 | ||
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文档简介
第四章
数列
4.2.1
等差数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
二、教学重难点
1、教学重点
等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及应用.
2、教学难点
等差数列通项公式的推导、等差数列的性质及应用.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
这节课，我们就快来学习一下等差数列的概念.
2、探索新知
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
二、等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
三、等差数列的通项公式
设一个等差数列的首项为，公差为d.
根据等差数列的定义，可得，
所以，，，….
于是，
，
，
……
归纳可得.
当时，上式为.
这就是说，上式当时也成立.
因此，首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
四、等差数列与一次函数的关系
由于，所以当时，等差数列的第n项是一次函数当时的函数值，即.
如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为d，截距为的直线.
在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象.
事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.
反之，任给一次函数（k，b为常数），则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为k.
例1
（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，
可得.
于是.
把代入通项公式，得.
所以的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得.
把，代入，
得.
把代入上式，得.
所以，这个数列的第20项是.
例2
是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：由，，
得这个数列的通项公式为.
令，解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
例3
某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.
经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.
已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的取值范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.
由已知条件，得.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元，所以，
于是.
根据题意得，即，
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5
已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
证明：设数列的公差为d，
则，，，.
所以，.
因为，所以.
3、课堂练习
1.数列的通项公式为，则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
答案：A
解析：，数列是公差为2的等差数列.令，得，故的首项为7.故选A.
2.在等差数列中，若，，则(
)
A.-1
B.0
C.1
D.6
答案：B
解析：因为为等差数列，所以，解得，故选B.
3.已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差(
)
A.1
B.
C.2
D.2或
答案：B
解析：，，又，或（舍去）.
4.若等差数列的前三项为，，，则这个数列的通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：等差数列的前三项为，，，
，解得.
设数列的公差为，，，.故选B.
4、小结作业
小结：本节课学习了等差数列的概念、等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.2.1
等差数列的概念
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.
数列
4.2.1
等差数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
二、教学重难点
1、教学重点
等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及应用.
2、教学难点
等差数列通项公式的推导、等差数列的性质及应用.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
这节课，我们就快来学习一下等差数列的概念.
2、探索新知
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
二、等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
三、等差数列的通项公式
设一个等差数列的首项为，公差为d.
根据等差数列的定义，可得，
所以，，，….
于是，
，
，
……
归纳可得.
当时，上式为.
这就是说，上式当时也成立.
因此，首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
四、等差数列与一次函数的关系
由于，所以当时，等差数列的第n项是一次函数当时的函数值，即.
如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为d，截距为的直线.
在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象.
事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.
反之，任给一次函数（k，b为常数），则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为k.
例1
（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，
可得.
于是.
把代入通项公式，得.
所以的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得.
把，代入，
得.
把代入上式，得.
所以，这个数列的第20项是.
例2
是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：由，，
得这个数列的通项公式为.
令，解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
例3
某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.
经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.
已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的取值范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.
由已知条件，得.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元，所以，
于是.
根据题意得，即，
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5
已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
证明：设数列的公差为d，
则，，，.
所以，.
因为，所以.
3、课堂练习
1.数列的通项公式为，则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
答案：A
解析：，数列是公差为2的等差数列.令，得，故的首项为7.故选A.
2.在等差数列中，若，，则(
)
A.-1
B.0
C.1
D.6
答案：B
解析：因为为等差数列，所以，解得，故选B.
3.已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差(
)
A.1
B.
C.2
D.2或
答案：B
解析：，，又，或（舍去）.
4.若等差数列的前三项为，，，则这个数列的通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：等差数列的前三项为，，，
，解得.
设数列的公差为，，，.故选B.
4、小结作业
小结：本节课学习了等差数列的概念、等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.2.1
等差数列的概念
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.