鲁教版（五四制）七上4.1无理数 教案
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文档简介
《无理数》教学设计
一、教材分析
1.地位与作用
这节课是小学数学所学算术数之后的范围的第一次扩充，是算术数到有理数的衔接与过渡，本节课既是上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。
2.教材编写线索
本节课是鲁教版七年级上册第四章第一节，
具体内容是：1.经历无理数发现的过程.
感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2、通过无理数概念的探索体会无理数概念的生成。
基于学生已有的学习经验，教科书从实际问题出发，通过引导学生经理自主探究和合作交流的活动，学习无理数概念的过程中，重点体会无限逼近的数学思想。
二、课标要求
初中数学课程标准(2011)版》课标要求：
内容要求：了解无理数的概念
“了解”的含义：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中进行识别和直接应用。
教法建议：教学应结合具体教学内容采用“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”模式展开让学生经历知识的形成与应用过程
3、
学情分析
1.
知识基础
在学习本节之前，学生已掌握了有理数的概念，勾股定理的应用等知识，具备了进一步学习无理数的基本能力
2.
学习经验
学生已经六年级有理数的学习经历了一次数系的扩充，这为无理数的学习提供了认知基础。
3.
思维水平
学生以直观、合情推理思维为主，抽象思维及说理能力较弱，无理数不象有理数那样，直观易懂，学生理解起来会有些困难，因此在学习过程当中，渗透数形结合及合情推理的方法，通过问题的引领，让学生思考解决问题的路径，并及时总结提升。
4、
教学目标：
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入必要性。
2.通过计算探究面积为2的正方形的边长的大小，体会无理数的“无限”性，并从中体会无限逼近的思想。
3.通过与有理数小数表示的比较，体会无理数的“不循环”性，并能正确叙述无理数的概念。
4.在给出的具体题目中，会判断一个数是有理数还是无理数。
五、重点难点
教学重点：经历无理数发现的过程.
感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
教学难点：探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想
六、评价任务设计
教学目标
评价任务
目标预期
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入必要性。
通过剪拼正方形，利用已有的数学经验，得出新的数既不是有理数也不是无理数
确保目标一达成100％
2.通过计算探究面积为2的正方形的边长的大小，体会无理数的“无限”性，并从中体会无限逼近的思想。
完成做一做估计面积为5的正方形的边长b的值
确保目标二达成90％以上
3.通过与有理数小数表示的比较，体会无理数的“不循环”性，并能正确叙述无理数的概念。
完成议一议，将有理数表示称小数的形式
确保目标三达成100％
4.在给出的具体题目中，会判断一个数是有理数还是无理数。
完成做一做，能判断一个数是不是无理数
确保目标四达成100％
七、教学过程
（一）激趣导入
介绍毕达哥拉斯学派的成就：最完美的数、多边形数完全数、盈数和亏数、亲和数、勾股数组、毕达哥拉斯定理
古代毕达哥拉斯学派认为所有的数量都可以用整数或整数之比来表示？这个断言正确吗？
设计意图：1、帮助学生了解本章学习的内容。
2、激发学生的学习兴趣，了解一些与无理数相关的数学文化。
3、创设情境，激发学生学习兴趣，引入新课
（二）实验探究一(
评价目标一)
剪一剪拼一拼想一想
问题提出：有两个边为1的小正方形，如何通过剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形？
要求：1.利用课前准备好的正方形和剪刀，动手拼剪，设法得到一个大的正方形.
2．不允许有多余的部分，所得正方形不允许有空缺.
小组交流和展示：有几种不同的方法得到打正方形？让学生分别展示。如果学生展示的不全，教师用多媒体进行补充展示。
实验分析：
（1）如果设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？
（2）a可能是整数吗？如果不是它介于那两个整数之间？为什么？
设计意图：引导学生从数和形两个角度来分析问题，从而得到结论a不是整数
实验分析：
（3）a可能是分母为2的分数吗？a可能是分母为3的分数吗？说说你的理由。
（4）a是分数吗？说说你的理由。
设计意图：通过问题串的思考，让学生感知a既不是整数也不是分数，现有的数不能求出a的值，学生的现有知识和实际背景相冲突引发学生思考，还存在另外一种数，判断毕达哥拉斯学派的断言是错误的，体会无理数存在的必要性，从而完成对教学目标一的达成。
（三）无理数的发现
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比（分数）”.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的惶恐，为此希伯索斯被投进了大海。他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.并进一步给出了证明。
设计意图：希望学生能从无理数的发现历史中感受到，在学习研究方面要不迷信权威，用于坚持真理，同时也为接下来继续无理数定义的探究做好铺垫。
（四）实验探究二(评价目标二)
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.
设计意图：通过学生计算和老师展示，学生能很好理解无理数概念中的无限性，活动过程渗透了用有理数近似表示无理数和用有理数逼近无理数的思想，同时也为后面的估算学习做好铺垫。
做一做(评价目标二)
(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢？
(提示：精确到0.1，b≈2.2，精确到0.01，b≈2.24)
设计意图：
让学生在具体问题中对利用无限逼近的方法解决问题，进行方法巩固。同时对目标二的达成情况进行反馈。
(五)实验探究三：(评价目标三)
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3，。
设计意图：有理数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数，无理数自然等价于无限不循环小数，为无理数概念的引出做好准备。
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
做一做
(评价目标四)
1、判断对错
(1)有限小数是有理数;
（
）
(2)无限小数都是无理数;
（
）
(3)无理数都是无限小数;
（
）
(4)有理数是有限小数.
（
）
2、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，圆周率π
，3.14，0
设计意图：通过习题的完成，考察学生对理解无理数概念的理解，同时对目标四的达成情况进行反馈
实验小结：对自己说,你有什么收获?
对同学说,你有什么温馨提示?
对老师说,你有什么疑惑?
设计意图：引导学生对本节课的知识和方法进行梳理
（六）实验拓展：
1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？它是有理数吗？它是无理数吗？试用计算器算出他的近似值结果精确到千分位。
2、选作：对本节课的知识进行查漏补缺。
3、拓展作业：请搜集与无理数发展的相关史料
设计意图：1、进一步巩固，加深理解所学知识，培养学生养成良好的学习学习习惯。
2、对学生进行分层教育，兼顾学生的差异，让后进生更好，优生更优，缩小两极分化现象。
3、通过史料知识的搜集使学生了解数学发展史，提高学生数学人文素养
板书设计
2
2
1
1
面积为2
a
a
无理数
1．学生拼图部分展示
2.
a是否为整数？
3.
a是否为分数？
4.
无理数的概念
（主板书）
教师计算
-----------------
-----------------
-----------------
-----------------
学生计算
----------------
一、教材分析
1.地位与作用
这节课是小学数学所学算术数之后的范围的第一次扩充，是算术数到有理数的衔接与过渡，本节课既是上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。
2.教材编写线索
本节课是鲁教版七年级上册第四章第一节，
具体内容是：1.经历无理数发现的过程.
感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2、通过无理数概念的探索体会无理数概念的生成。
基于学生已有的学习经验，教科书从实际问题出发，通过引导学生经理自主探究和合作交流的活动，学习无理数概念的过程中，重点体会无限逼近的数学思想。
二、课标要求
初中数学课程标准(2011)版》课标要求：
内容要求：了解无理数的概念
“了解”的含义：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中进行识别和直接应用。
教法建议：教学应结合具体教学内容采用“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”模式展开让学生经历知识的形成与应用过程
3、
学情分析
1.
知识基础
在学习本节之前，学生已掌握了有理数的概念，勾股定理的应用等知识，具备了进一步学习无理数的基本能力
2.
学习经验
学生已经六年级有理数的学习经历了一次数系的扩充，这为无理数的学习提供了认知基础。
3.
思维水平
学生以直观、合情推理思维为主，抽象思维及说理能力较弱，无理数不象有理数那样，直观易懂，学生理解起来会有些困难，因此在学习过程当中，渗透数形结合及合情推理的方法，通过问题的引领，让学生思考解决问题的路径，并及时总结提升。
4、
教学目标：
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入必要性。
2.通过计算探究面积为2的正方形的边长的大小，体会无理数的“无限”性，并从中体会无限逼近的思想。
3.通过与有理数小数表示的比较，体会无理数的“不循环”性，并能正确叙述无理数的概念。
4.在给出的具体题目中，会判断一个数是有理数还是无理数。
五、重点难点
教学重点：经历无理数发现的过程.
感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
教学难点：探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想
六、评价任务设计
教学目标
评价任务
目标预期
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入必要性。
通过剪拼正方形，利用已有的数学经验，得出新的数既不是有理数也不是无理数
确保目标一达成100％
2.通过计算探究面积为2的正方形的边长的大小，体会无理数的“无限”性，并从中体会无限逼近的思想。
完成做一做估计面积为5的正方形的边长b的值
确保目标二达成90％以上
3.通过与有理数小数表示的比较，体会无理数的“不循环”性，并能正确叙述无理数的概念。
完成议一议，将有理数表示称小数的形式
确保目标三达成100％
4.在给出的具体题目中，会判断一个数是有理数还是无理数。
完成做一做，能判断一个数是不是无理数
确保目标四达成100％
七、教学过程
（一）激趣导入
介绍毕达哥拉斯学派的成就：最完美的数、多边形数完全数、盈数和亏数、亲和数、勾股数组、毕达哥拉斯定理
古代毕达哥拉斯学派认为所有的数量都可以用整数或整数之比来表示？这个断言正确吗？
设计意图：1、帮助学生了解本章学习的内容。
2、激发学生的学习兴趣，了解一些与无理数相关的数学文化。
3、创设情境，激发学生学习兴趣，引入新课
（二）实验探究一(
评价目标一)
剪一剪拼一拼想一想
问题提出：有两个边为1的小正方形，如何通过剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形？
要求：1.利用课前准备好的正方形和剪刀，动手拼剪，设法得到一个大的正方形.
2．不允许有多余的部分，所得正方形不允许有空缺.
小组交流和展示：有几种不同的方法得到打正方形？让学生分别展示。如果学生展示的不全，教师用多媒体进行补充展示。
实验分析：
（1）如果设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？
（2）a可能是整数吗？如果不是它介于那两个整数之间？为什么？
设计意图：引导学生从数和形两个角度来分析问题，从而得到结论a不是整数
实验分析：
（3）a可能是分母为2的分数吗？a可能是分母为3的分数吗？说说你的理由。
（4）a是分数吗？说说你的理由。
设计意图：通过问题串的思考，让学生感知a既不是整数也不是分数，现有的数不能求出a的值，学生的现有知识和实际背景相冲突引发学生思考，还存在另外一种数，判断毕达哥拉斯学派的断言是错误的，体会无理数存在的必要性，从而完成对教学目标一的达成。
（三）无理数的发现
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比（分数）”.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的惶恐，为此希伯索斯被投进了大海。他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.并进一步给出了证明。
设计意图：希望学生能从无理数的发现历史中感受到，在学习研究方面要不迷信权威，用于坚持真理，同时也为接下来继续无理数定义的探究做好铺垫。
（四）实验探究二(评价目标二)
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.
设计意图：通过学生计算和老师展示，学生能很好理解无理数概念中的无限性，活动过程渗透了用有理数近似表示无理数和用有理数逼近无理数的思想，同时也为后面的估算学习做好铺垫。
做一做(评价目标二)
(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢？
(提示：精确到0.1，b≈2.2，精确到0.01，b≈2.24)
设计意图：
让学生在具体问题中对利用无限逼近的方法解决问题，进行方法巩固。同时对目标二的达成情况进行反馈。
(五)实验探究三：(评价目标三)
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3，。
设计意图：有理数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数，无理数自然等价于无限不循环小数，为无理数概念的引出做好准备。
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
做一做
(评价目标四)
1、判断对错
(1)有限小数是有理数;
（
）
(2)无限小数都是无理数;
（
）
(3)无理数都是无限小数;
（
）
(4)有理数是有限小数.
（
）
2、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，圆周率π
，3.14，0
设计意图：通过习题的完成，考察学生对理解无理数概念的理解，同时对目标四的达成情况进行反馈
实验小结：对自己说,你有什么收获?
对同学说,你有什么温馨提示?
对老师说,你有什么疑惑?
设计意图：引导学生对本节课的知识和方法进行梳理
（六）实验拓展：
1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？它是有理数吗？它是无理数吗？试用计算器算出他的近似值结果精确到千分位。
2、选作：对本节课的知识进行查漏补缺。
3、拓展作业：请搜集与无理数发展的相关史料
设计意图：1、进一步巩固，加深理解所学知识，培养学生养成良好的学习学习习惯。
2、对学生进行分层教育，兼顾学生的差异，让后进生更好，优生更优，缩小两极分化现象。
3、通过史料知识的搜集使学生了解数学发展史，提高学生数学人文素养
板书设计
2
2
1
1
面积为2
a
a
无理数
1．学生拼图部分展示
2.
a是否为整数？
3.
a是否为分数？
4.
无理数的概念
（主板书）
教师计算
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学生计算
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