【五三测】初中数学鲁教版七年级上册期中测试卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．)
1．（2020·呼和浩特）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】由题图可知DE是△BCD的高，
故答案为：D．
【分析】根据三角形高的定义，逐项判断即可。
3．如果一个三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的值可能是（ ）
A．2 B．9 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得3
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系，可求出a的取值范围，再逐项判断即可。
4．如图，将正方形沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，最后将得到的三角形剪去一个图案后展开，得到的图形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据轴对称的性质可知A符合题意．
【分析】根据轴对称的性质及轴对称图形的特征，逐项判断即可。
5．（2020·青海模拟）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ，点 在边 上， ， 分别交 于点 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠C＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠GHC＝∠E＝60°，
∴∠CGH＝180°－∠C－∠GHC＝75°，
∵∠AGD＝∠CGH，
∴∠AGD＝75°，
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝45°，利用平行线的性质得出∠GHC＝∠E＝60°，再次利用三角形内角和定理求出∠CGH＝75°，由对顶角相等即得∠AGD＝∠CGH=75°.
6．下列三角形不一定是等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰长和底边长相等的等腰三角形
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】∵有一个内角是60°的锐角三角形不一定是等边三角形，
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的判断方法逐项判断即可。
7．下列条件中，不能判定△ABC(a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边)为直角三角形的是（ ）
A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a：b：c=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.当a2=1，b2=2，c2=3时，a2+b2=c2 ，
∴△ABC是直角三角形，A不符合题意；
B.当a：b：c=3：4： 5时，设a=3x，b=4x，c=5x，x>0，
则a2+b2 =(3x)2+(4x)2=(5x)2=c2 ，
∴△ABC是直角三角形，B不符合题意；
C.当∠A+∠B=∠C时，∠C=90° ，
∴△ABC是直角三角形，C不符合题意；
D.当∠A：∠B：∠C=3：4： 5时，∠C= 180°× = 75°，
△ABC不是直角三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形的内角和勾股定理的逆定理逐项判断即可。
8．在测量如图所示的容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=a，EF=b，则该容器的壁厚是（ ）
A．a B．b C．b-a D． (b-a)
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】如图，连接 AB ，CD．
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC，∴AB= CD=a，
又∵EF'=b，
∴该容器的壁厚是 (b-a)，
故答案为：D．
【分析】连接 AB ，CD．证明△AOB≌△DOC，可得出AB= CD，即可解决问题。
9．如图，圆柱的底面周长为16，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，连接AS，
在Rt△ABS中，AB=8，BC= 12，
∵S是BC的中点．∴BS= BC=6，
∴AS2=82+62=10．∴AS= 10．
故答案为：A．
【分析】先将圆柱侧面展开，再利用勾股定理求解即可。
10．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点P是直线l上的任意一点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（ ）
A．BC>AP+PC B．BC【答案】D
【知识点】三角形三边关系；轴对称的性质
【解析】【解答】连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴AP+PC= BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC= BP+PC= BC，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC= BP+PC>BC，
∴BC≤AP+PC，
故答案为：D．
【分析】连接BP，利用线段垂直平分线的性质，可得AP=BP，AP+PC= BP+PC，进而可得再根据P点位置确定结论即可。
11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵AC=BC，∠C=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠ABC=72°， ．
∵AD平分CBAC，
∴∠CAD=∠BAD= 36°，
∴∠CAD=∠C，
∴△CAD为等腰三角形，∠ADC= 108°，
∴∠BDA= 72°，
∴∠BDA=∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
△题图中等腰三 角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，求出图中所有角的度数，再根据等腰三角形的判定方法逐项判断即可。
12．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴ ×4×7+ ×4AC=24，
∴AC=5，
故答案为：D．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可以得到：DE=DF=4，再利用S△ADB+S△ADC=S△ABC，代入计算即可。
二、填空题(本大题共8小题， 每小题3分，共24分)
13．芜湖长江三桥采用耐久型平行钢丝斜拉索技术，这是利用了三角形的
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
14．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26° ，则∠DAE的度数为
【答案】14°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD= 180°-∠ADC-∠C= 180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴CAE= ∠BAC= ×100°= 50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°- 50°= 14°．
故答案为14°．
【分析】先利用垂直和三角形的内角和求出∠CAD=64°，再利用角平分线的定义求出角∠CAE=50°，最后利用角的运算求解即可。
15．如图，“扬帆"号轮船从海岛A处出发，向正北方向航行8海里到达海岛B处．从C灯塔望海岛A，A在C的南偏东42°方向上；从B望灯塔C，C在B的北偏西84°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是 海里．
【答案】8
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=42°，
∵∠NBC= 180°-∠ABC=∠A+∠ACB ，
∴∠ACB= 84°-42°=42°，
∴∠ACB=∠A，
∴BC=BA=8，
即海岛B到灯塔C的距离是8海里，
故答案为8．
【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠ACD=42°，再利用三角形外角性质可求出∠ACB= 84°-42°=42°，得到∠ACB=∠A，再根据等腰三角形的判定得到BC=BA=8。
16．如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，
则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，
在Rt△AMF中，AF2=AM2+FM2，
∴AF= 10．
故答案为10．
【分析】过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，再利用勾股定理求解即可。
17．如图，分别以线段BC的两个端点为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，直线DE交BC于点F，点A是直线DE上的一点，连接AB、AC，若AB=12 cm，∠C=60°，则CF= cm．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AE垂直平分线段BC，
∴AB=AC，BF=CF，又∵∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=12cm，
∴CF= AB=6 cm．
故答案为6．
【分析】由作图可知，AE垂直平分线段BC，证明△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可。
18．（2019九上·平遥月考）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是 。
【答案】8
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ACDF是正方形
∴AC=AE，∠CAE=90°
∴∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°
∵∠CEA=90°
∴∠EAC+∠ACE=90°
∴∠BAF=∠ACE
又∵∠CEA=∠ABF=90°
∴△AEC≌△FBA
∴CE=AB=4
∴S△ABC=AB·CE=×4×4=8.
【分析】先根据正方形的性质得AC=AE，∠CAE=90°，然后利用平角的定义得∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°，再利用直角三角形两锐角互余的性质得∠EAC+∠ACE=90°，根据同角的余角相等证得∠BAF=∠ACE，又加上已知条件∠CEA=∠ABF=90°，从而证得△AEC≌△FBA，利用全等三角形对应边相等得性质CE=AB=4，则阴影部分即为△ABC的面积，从而可求。
19．若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数”．当n<150时，共有 组这样的“完美勾股数”，
【答案】8
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵a2+n2=(n+1)2，∴a2=(n+1)2-n2=2n+1，
∵a，n为正整数，且n<150，∴2n+1<301，且2n+1为奇数，即a2<301，且a2为奇数，满足题意的a2的值为9，25，49，81，121， 169，225 ，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数"。
故答案为8．
【分析】由于 n<150 ，满足题意的a2的值为9，25，49，81，121， 169，225 ，289，一共8个，可得出 共有8组 这样的“完美勾股数”。
20．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为
【答案】120°或75°或30°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60° ，OC平分∠AOB，∴∠AOC= 30°，
①当D在D1处时，OD=PD，
∴∠AOP=∠OPD= 30° ，
∴∠ODP= 180°-30°-30°= 120°；
②当D在D2处时，OP=OD，
则∠OPD=∠ODP= ×(180°-30°)= 75°；
③当D在D3处时，OP=DP，
则∠ODP=∠AOP= 30°．
综上，当△OPD是等腰三角形时，C ODP的度数为120°或75°或30°．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况：OD=PD，OP=OD，OP=DP，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，求出即可。
三、解答题(本大题共7小题，共60分)
21．尺规作图：已知：线段a，b．
求作：
⑴△ABC，使AB=AC=a，BC=b；
⑵作△ABC的对称轴．要求：不写作法，只保留作图痕迹．
【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
(2)如图所示，直线AD即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先作线段BC=b，在分别以B、C两点为圆心，A为半径画弧，两弧相交于点A，在连接AB、AC，则三角形ABC满足条件即可；
(2)利用等腰三角形的性质，得出其对称轴即可。
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均在格点上，试判断△ABC是不是直角三角形，为什么？
【答案】解：△ABC 是直角三角形
理由：∵AC2=22+12=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2 =AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出 AC2 、 BC2 、 AB2 再利用勾股定理逆定理判断即可。
23．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于直线OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于直线OB的对称点R恰好落在线段MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为多少？
【答案】解：∵点P关于直线OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于直线OB的对称点R恰好落在线段MN的延长线上，
∴PM= MO．PN= NR．
∵PM=2.5 cm，PN=3 cm，
∴MQ=2.5 cm，RN=3 cm，∴NQ=MN-MQ=4- 2.5= 1.5( cm)．
∴QR= RN+NQ=3+1.5=4.5( cm)．
故线段QR的长为4.5 cm．
【知识点】轴对称的性质；线段的计算
【解析】【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM= MO．PN= NR． 进而利用 MN=4cm， 得出NQ的长，即可得出QR的长。
24．如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB ，AB=CD．
（1）求证：∠E=∠F；
（2）若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．
【答案】（1）证明：∵ EA∥FB，
∴∠A=∠FBD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△EAC与△FBD中，
∴△EAC≌△FBD(SAS) ，
∴∠E=∠F．
（2）解：由(1)知△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E= 180°-40°-80°= 60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠A=∠FBD， 再利用线段的计算得到AC=BD，最后利用“SAS”证明△EAC≌△FBD，即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质和三角形的内角和求解即可。
25．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8km，B村庄到公路的距离BD=14km，测得C、D两村庄间的距离为20 km，现要在C、D之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【答案】解：设CE=x km，则DE=(20-x)km，
所以在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2=82+x2，
在Rt△BDE中，BE2 =BD2+DE2=142+(20-x)2，
因为A、B两村庄到E服务区的距离相等，
所以82+x2=142+(20-x)2 ，解得x= 13.3．
所以CE的长为13.3 km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设CE=x km，则DE=(20-x)km， 利用勾股定理表示出 AE2=， 在Rt△BDE中， 利用勾股定理列出方程求解即可。
26．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的两点到线段两端点的距离相等，可得 AE=BE， 再根据等边对等角可得 ∠BAE=∠B， 同理可得， ∠CAN=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据 ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN 代入数据进行计算即可；
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°27．如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（2）求何时△PBQ是直角三角形；
（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，则∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）解：不会发生变化理由：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC= 60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，
∴AP= BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA(SAS)，
∴∠ACP=∠BAQ，
∵∠CAQ+∠ACP+∠AMC= 180° ，∠AMC+∠CMQ= 180°，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数不会发生变化，∠CMQ= 60°．
（2）解：设出发ts时，△PBQ是直角三角形，则AP= BQ=t cm，
∴PB=(4-t)cm．
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得t=
当∠BPQ= 90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ= 2PB，
∴t=2(4-t) ，解得t=
∴当出发 s或 s时，△PBQ是直角三角形．
（3）解：不会发生变化
理由：在等边三角形ABC中，∠ABC=∠BCA=60° ，
∴∠PBC=∠QCA= 120° ，∵AP= BQ ，AB= BC，∴BP=CQ，
在△PBC和△QCA中，
∴△PBC≌OQCA( SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC= 120°，
∴∠CMQ的度数不会发生变化，∠CMQ= 120°．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）因为 点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，得出 AP= BQ，AB=AC，∠B=∠PAC= 60°， 婴儿运用边角边定理可知 △APC≌△BQA ，再利用全等三角形的性质定理以及三角形的角间关系，三角形的外角定理可求得他的度数；
（2）设时间为t，则 AP= BQ=t cm，PB=(4-t)cm ，分别就 ∠PQB=90°时，∠BPQ= 90°时， 利用直角三角形的性质定理求得t的值；
（3）先利用边角边定理证得 △PBC≌QCA，再利用全等三角形的性质定理得出∠BPC=∠MQC， 在运用三角形间的关系求得 ∠CMQ 的度数。
1 / 1【五三测】初中数学鲁教版七年级上册期中测试卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．)
1．（2020·呼和浩特）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
3．如果一个三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的值可能是（ ）
A．2 B．9 C．13 D．15
4．如图，将正方形沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，最后将得到的三角形剪去一个图案后展开，得到的图形为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·青海模拟）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ，点 在边 上， ， 分别交 于点 ， .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列三角形不一定是等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰长和底边长相等的等腰三角形
7．下列条件中，不能判定△ABC(a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边)为直角三角形的是（ ）
A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a：b：c=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
8．在测量如图所示的容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=a，EF=b，则该容器的壁厚是（ ）
A．a B．b C．b-a D． (b-a)
9．如图，圆柱的底面周长为16，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
10．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点P是直线l上的任意一点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（ ）
A．BC>AP+PC B．BC11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
二、填空题(本大题共8小题， 每小题3分，共24分)
13．芜湖长江三桥采用耐久型平行钢丝斜拉索技术，这是利用了三角形的
14．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26° ，则∠DAE的度数为
15．如图，“扬帆"号轮船从海岛A处出发，向正北方向航行8海里到达海岛B处．从C灯塔望海岛A，A在C的南偏东42°方向上；从B望灯塔C，C在B的北偏西84°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是 海里．
16．如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是
17．如图，分别以线段BC的两个端点为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，直线DE交BC于点F，点A是直线DE上的一点，连接AB、AC，若AB=12 cm，∠C=60°，则CF= cm．
18．（2019九上·平遥月考）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是 。
19．若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数”．当n<150时，共有 组这样的“完美勾股数”，
20．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为
三、解答题(本大题共7小题，共60分)
21．尺规作图：已知：线段a，b．
求作：
⑴△ABC，使AB=AC=a，BC=b；
⑵作△ABC的对称轴．要求：不写作法，只保留作图痕迹．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均在格点上，试判断△ABC是不是直角三角形，为什么？
23．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于直线OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于直线OB的对称点R恰好落在线段MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为多少？
24．如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB ，AB=CD．
（1）求证：∠E=∠F；
（2）若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．
25．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8km，B村庄到公路的距离BD=14km，测得C、D两村庄间的距离为20 km，现要在C、D之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
26．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
27．如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（2）求何时△PBQ是直角三角形；
（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，则∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】由题图可知DE是△BCD的高，
故答案为：D．
【分析】根据三角形高的定义，逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得3故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系，可求出a的取值范围，再逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据轴对称的性质可知A符合题意．
【分析】根据轴对称的性质及轴对称图形的特征，逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠C＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠GHC＝∠E＝60°，
∴∠CGH＝180°－∠C－∠GHC＝75°，
∵∠AGD＝∠CGH，
∴∠AGD＝75°，
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝45°，利用平行线的性质得出∠GHC＝∠E＝60°，再次利用三角形内角和定理求出∠CGH＝75°，由对顶角相等即得∠AGD＝∠CGH=75°.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】∵有一个内角是60°的锐角三角形不一定是等边三角形，
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的判断方法逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.当a2=1，b2=2，c2=3时，a2+b2=c2 ，
∴△ABC是直角三角形，A不符合题意；
B.当a：b：c=3：4： 5时，设a=3x，b=4x，c=5x，x>0，
则a2+b2 =(3x)2+(4x)2=(5x)2=c2 ，
∴△ABC是直角三角形，B不符合题意；
C.当∠A+∠B=∠C时，∠C=90° ，
∴△ABC是直角三角形，C不符合题意；
D.当∠A：∠B：∠C=3：4： 5时，∠C= 180°× = 75°，
△ABC不是直角三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形的内角和勾股定理的逆定理逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】如图，连接 AB ，CD．
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC，∴AB= CD=a，
又∵EF'=b，
∴该容器的壁厚是 (b-a)，
故答案为：D．
【分析】连接 AB ，CD．证明△AOB≌△DOC，可得出AB= CD，即可解决问题。
9．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图所示，连接AS，
在Rt△ABS中，AB=8，BC= 12，
∵S是BC的中点．∴BS= BC=6，
∴AS2=82+62=10．∴AS= 10．
故答案为：A．
【分析】先将圆柱侧面展开，再利用勾股定理求解即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；轴对称的性质
【解析】【解答】连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴AP+PC= BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC= BP+PC= BC，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC= BP+PC>BC，
∴BC≤AP+PC，
故答案为：D．
【分析】连接BP，利用线段垂直平分线的性质，可得AP=BP，AP+PC= BP+PC，进而可得再根据P点位置确定结论即可。
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵AC=BC，∠C=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠ABC=72°， ．
∵AD平分CBAC，
∴∠CAD=∠BAD= 36°，
∴∠CAD=∠C，
∴△CAD为等腰三角形，∠ADC= 108°，
∴∠BDA= 72°，
∴∠BDA=∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
△题图中等腰三 角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，求出图中所有角的度数，再根据等腰三角形的判定方法逐项判断即可。
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴ ×4×7+ ×4AC=24，
∴AC=5，
故答案为：D．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可以得到：DE=DF=4，再利用S△ADB+S△ADC=S△ABC，代入计算即可。
13．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
14．【答案】14°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD= 180°-∠ADC-∠C= 180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴CAE= ∠BAC= ×100°= 50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°- 50°= 14°．
故答案为14°．
【分析】先利用垂直和三角形的内角和求出∠CAD=64°，再利用角平分线的定义求出角∠CAE=50°，最后利用角的运算求解即可。
15．【答案】8
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=42°，
∵∠NBC= 180°-∠ABC=∠A+∠ACB ，
∴∠ACB= 84°-42°=42°，
∴∠ACB=∠A，
∴BC=BA=8，
即海岛B到灯塔C的距离是8海里，
故答案为8．
【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠ACD=42°，再利用三角形外角性质可求出∠ACB= 84°-42°=42°，得到∠ACB=∠A，再根据等腰三角形的判定得到BC=BA=8。
16．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，
则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，
在Rt△AMF中，AF2=AM2+FM2，
∴AF= 10．
故答案为10．
【分析】过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，再利用勾股定理求解即可。
17．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AE垂直平分线段BC，
∴AB=AC，BF=CF，又∵∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=12cm，
∴CF= AB=6 cm．
故答案为6．
【分析】由作图可知，AE垂直平分线段BC，证明△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可。
18．【答案】8
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ACDF是正方形
∴AC=AE，∠CAE=90°
∴∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°
∵∠CEA=90°
∴∠EAC+∠ACE=90°
∴∠BAF=∠ACE
又∵∠CEA=∠ABF=90°
∴△AEC≌△FBA
∴CE=AB=4
∴S△ABC=AB·CE=×4×4=8.
【分析】先根据正方形的性质得AC=AE，∠CAE=90°，然后利用平角的定义得∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°，再利用直角三角形两锐角互余的性质得∠EAC+∠ACE=90°，根据同角的余角相等证得∠BAF=∠ACE，又加上已知条件∠CEA=∠ABF=90°，从而证得△AEC≌△FBA，利用全等三角形对应边相等得性质CE=AB=4，则阴影部分即为△ABC的面积，从而可求。
19．【答案】8
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵a2+n2=(n+1)2，∴a2=(n+1)2-n2=2n+1，
∵a，n为正整数，且n<150，∴2n+1<301，且2n+1为奇数，即a2<301，且a2为奇数，满足题意的a2的值为9，25，49，81，121， 169，225 ，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数"。
故答案为8．
【分析】由于 n<150 ，满足题意的a2的值为9，25，49，81，121， 169，225 ，289，一共8个，可得出 共有8组 这样的“完美勾股数”。
20．【答案】120°或75°或30°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60° ，OC平分∠AOB，∴∠AOC= 30°，
①当D在D1处时，OD=PD，
∴∠AOP=∠OPD= 30° ，
∴∠ODP= 180°-30°-30°= 120°；
②当D在D2处时，OP=OD，
则∠OPD=∠ODP= ×(180°-30°)= 75°；
③当D在D3处时，OP=DP，
则∠ODP=∠AOP= 30°．
综上，当△OPD是等腰三角形时，C ODP的度数为120°或75°或30°．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况：OD=PD，OP=OD，OP=DP，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，求出即可。
21．【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．
(2)如图所示，直线AD即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先作线段BC=b，在分别以B、C两点为圆心，A为半径画弧，两弧相交于点A，在连接AB、AC，则三角形ABC满足条件即可；
(2)利用等腰三角形的性质，得出其对称轴即可。
22．【答案】解：△ABC 是直角三角形
理由：∵AC2=22+12=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2 =AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出 AC2 、 BC2 、 AB2 再利用勾股定理逆定理判断即可。
23．【答案】解：∵点P关于直线OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于直线OB的对称点R恰好落在线段MN的延长线上，
∴PM= MO．PN= NR．
∵PM=2.5 cm，PN=3 cm，
∴MQ=2.5 cm，RN=3 cm，∴NQ=MN-MQ=4- 2.5= 1.5( cm)．
∴QR= RN+NQ=3+1.5=4.5( cm)．
故线段QR的长为4.5 cm．
【知识点】轴对称的性质；线段的计算
【解析】【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM= MO．PN= NR． 进而利用 MN=4cm， 得出NQ的长，即可得出QR的长。
24．【答案】（1）证明：∵ EA∥FB，
∴∠A=∠FBD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△EAC与△FBD中，
∴△EAC≌△FBD(SAS) ，
∴∠E=∠F．
（2）解：由(1)知△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E= 180°-40°-80°= 60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠A=∠FBD， 再利用线段的计算得到AC=BD，最后利用“SAS”证明△EAC≌△FBD，即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质和三角形的内角和求解即可。
25．【答案】解：设CE=x km，则DE=(20-x)km，
所以在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2=82+x2，
在Rt△BDE中，BE2 =BD2+DE2=142+(20-x)2，
因为A、B两村庄到E服务区的距离相等，
所以82+x2=142+(20-x)2 ，解得x= 13.3．
所以CE的长为13.3 km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设CE=x km，则DE=(20-x)km， 利用勾股定理表示出 AE2=， 在Rt△BDE中， 利用勾股定理列出方程求解即可。
26．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的两点到线段两端点的距离相等，可得 AE=BE， 再根据等边对等角可得 ∠BAE=∠B， 同理可得， ∠CAN=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据 ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN 代入数据进行计算即可；
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°27．【答案】（1）解：不会发生变化理由：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC= 60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，
∴AP= BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA(SAS)，
∴∠ACP=∠BAQ，
∵∠CAQ+∠ACP+∠AMC= 180° ，∠AMC+∠CMQ= 180°，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数不会发生变化，∠CMQ= 60°．
（2）解：设出发ts时，△PBQ是直角三角形，则AP= BQ=t cm，
∴PB=(4-t)cm．
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得t=
当∠BPQ= 90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ= 2PB，
∴t=2(4-t) ，解得t=
∴当出发 s或 s时，△PBQ是直角三角形．
（3）解：不会发生变化
理由：在等边三角形ABC中，∠ABC=∠BCA=60° ，
∴∠PBC=∠QCA= 120° ，∵AP= BQ ，AB= BC，∴BP=CQ，
在△PBC和△QCA中，
∴△PBC≌OQCA( SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC= 120°，
∴∠CMQ的度数不会发生变化，∠CMQ= 120°．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）因为 点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，得出 AP= BQ，AB=AC，∠B=∠PAC= 60°， 婴儿运用边角边定理可知 △APC≌△BQA ，再利用全等三角形的性质定理以及三角形的角间关系，三角形的外角定理可求得他的度数；
（2）设时间为t，则 AP= BQ=t cm，PB=(4-t)cm ，分别就 ∠PQB=90°时，∠BPQ= 90°时， 利用直角三角形的性质定理求得t的值；
（3）先利用边角边定理证得 △PBC≌QCA，再利用全等三角形的性质定理得出∠BPC=∠MQC， 在运用三角形间的关系求得 ∠CMQ 的度数。
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