海南省华中师范大学琼中附属中学2022届高三上学期第一次月考数学试题 (Word版，含解析）

华中师范大学琼中附中2021-2022学年第1学期高三年级第一次考试
数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（
）
A．{x|﹣1＜x≤2}
B．{x|0＜x＜5}
C．{0，1，2}
D．{1，2}
2．设命题：，，则为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．，则（
）
A．9
B．-3
C．-9
D．-2
5．下列命题为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
6．已知，求函数的最小值是（
）
A．4
B．1
C．2
D．3
7．函数的单调递增区间为
A．
B．
C．
D．
8．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（全选对得5分，选不全得2分）
9．下列所给出的四个选项能推出的有（
）
A．
B．
C．
D．
10.下列函数中，满足“，，都有”的有（
）
A．
B．
C．
D．
11．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2＋2
C．ab有最小值3＋2
D．ab有最大值1＋
12．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（
）
A．函数是周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数
D．函数为上的单调函数
三、填空题
13．已知正数，满足，则的最小值为
．
14．设是定义在上的偶函数，当时，，则________
15．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为______．
16．已知函数为上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_____.
四、解答题
17．（10分）已知等差数列{an}中，a2=3，a4+a6=18．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn+1=2bn，并且b1=a5，试求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，求及的面积.
19.（12分）某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
20．（12分）已知三棱柱中，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.
21．（12分）某大学“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：
非统计专业
统计专业
合计
男
84
36
120
女
32
48
80
合计
116
84
200
（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“修统计专业与性别有关系”？
（2）用分层抽样方法在上述80名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名，再从抽到的这10名女生中抽取2人，记抽到“统计专业”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考公式：，其中；
临界值表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.
高三数学第一次月考试题答案
1．D
2．C
3.答案　B
解析　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．A
由题意，函数，则，
所以，故选A.
5．D
A．取，此时，，故为假命题；
B．当时，，故为假命题；
C．因为，所以，所以，故为假命题；
D．因为，所以，又因为，所以，故为真命题，
6．B
由，即，
所以，
当且仅当，即时取“=”.
7．C
【解析】
函数的定义域为
令，则
在上单调递减，在上单调递增，
又在定义域上单调递减，根据“同增异减”可知：
函数的单调递增区间为
故选：C
8．A
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以不等式等价为，
因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，
所以，即，
即或，
解得或x＞2．
故选：A
二、多选题（全选对得5分，选不全得2分）
9．ACD
对A，若，则，故A正确；
对B，若，则，故B错误；
对C，若，则，故C正确；
对D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
因为，，都有，故应为上的减函数.
对于A，当
，，则在上为增函数，故A错误.
对于B，在上为减函数，故B正确.
对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误.
对于D，在上为减函数，故D正确.
故选：BD．
11.AC
ab＝1＋(a＋b)≤(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2，
∴a＋b有最小值2＋2，知A正确；
由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即ab－2－1≥0且ab>1，解得ab≥3＋2，
∴ab有最小值3＋2，知C正确
12．ABC
【详解】
因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
13.
3
14.
1
15．1
16．
15.【详解】
当时，都有，函数的周期，又是上的偶函数，且当时，，.
故答案为：1
16．
∵函数为上的单调递增函数，
∴，
解得.
四、解答题
17．（1）；（2）
（1）设数列{an}的公差为d，根据题意得：
解得：
∴通项公式为an=a1+（n-1）d=2n﹣1
（2））∵bn+1=2bn，
∴{bn}是公比为2的等比数列
b1=a5=2×5-1=9，
∴
18．（Ⅰ）（Ⅱ），
（Ⅰ）由题意及正弦定理可得．
∵，
∴，
∴，
即，
又，
∴，
∵，
∴．
（Ⅱ）由余弦定理可得，
即，
整理得，
解得或（舍去）.
∴
19.[解]　(1)由题图，设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得a＝3.
所以y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－
＝(小时)．
20．1）答案见解析.（2）
【详解】
（1）,
.
在中,,
由余弦定理得,
,
.
又,
,
又,
平面.
（2）由（1），
又
在中，可得
又
平面；
由（1）得平面，
又
以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则
,
又
解得：，故
设平面法向量为
由，可得
故：
取，则
设平面法向量为
由，可得
故：
取
可得：
平面与平面所成二面角的余弦值.
21.【详解】
解：（1）根据表中数据，
计算，
因为
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“修统计专业与性别有关系”．
（2）用分层抽样方法在上述80名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名，那么抽到“非统计专业”4名，抽到“统计专业”6名．
，，
所以的分布列为
0
1
2
22．（1）；（2）.
【详解】
（1）根据条件可知：，所以，所以椭圆的标准方程为：；
（2）因为的面积是的面积的倍，所以为的中点，
设，又，所以，因为在圆上且在椭圆上，
所以有，所以且，
解得：，所以，所以或，
所以，即.