【备考2022】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编 圆锥曲线小题（含解析）

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2012-2021十年全国卷高考数学真题分类精编
解析几何小题
（精解精析）
一、选择题
1.(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
2.(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满
足，则椭圆的离心率的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则(　　)
A．2
B．3
C．6
D．9
4.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的
两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
(　　)
A．4
B．8
C．16
D．32
5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线左、右焦点分别为，离
心率为．是上一点，且．若的面积为4，则(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
6.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，若，则的焦点坐标为
(　　)
A．
B．
C．
D．
7.(2019·全国·理文)已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点.若
，，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
8.(2019·全国1·文)双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.(2019·北京·文)已知双曲线的离心率是，则(　　)
A.
B.4
C.2
D.
10.(2019·天津·理文)已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线
的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.2
D.
11.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线的右焦点为F，点在的一条渐近线上，为
坐标原点，若，则的面积为
(　　)
A．
B．
C．
D．
12.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(　　)
A．2
B．3
C．4
D．8
13.(2018·全国1·理)已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的
两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则(　　)
A.
B.3
C.
D.4
14.(2018·全国2·文)已知是椭圆的两个焦点，是C上的一点，若，且
，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
15.(2018·上海)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为(　　)
A.
B.
C.
D.
16.(2018·天津·理文)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直
线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
17.(2018·全国1·理)设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与C交于两
点，则(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
18.(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，
是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为(　　)
A．
B．2
C．
D．
19.(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
20.(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
21.(2017·全国3·理)已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
22.(2017·全国1·文)已知F是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
23.(2017·天津·理)已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
24.(2017·全国2·理)若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为(　　)
A.2
B.
C.
D.
25.(2017·全国2·文)若，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
26.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为
(　　)
A．16
B．14
C．12
D．10
27.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的左、右顶点分别为，
且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
(　　)
A．
B．
C．
D．
28.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则的离心率为
(　　)
A．2
B．
C．
D．
29.(2016·全国1·理)以抛物线的顶点为圆心的圆交C于两点，交的准线于两点.已知，，则的焦点到准线的距离为(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
30.(2016·全国2·文)设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，
则(　　)
A.
B.1
C.
D.2
31.(2016·全国1·理)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则
的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
32.(2016·天津·理)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
33.(2016·全国1·文)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
34.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，
分别为的左、右顶点；为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点；若直线经过OE的中点，则的离心率为
(　　)
A．
B．
C．
D．
35.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为
(　　)
A．
B．
C．
D．2
36.（2015·福建高考·理）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，
且，则等于（　）
A．11
　　　
B．9
C．5
　　　D．3
37.（2015·安徽高考·文）直线与圆相切，则（
）
A．或12
B．2或
C．或
D．2或12
38.（2015·四川高考·理）过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于两点，则（
）
(A)
(B)
(C)6
（D）
39.(2015·广东高考·理)已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（
）
A．
B.
C.
D.
40.(2015·天津高考·文)已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近
线与圆相切，则双曲线的方程为（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
41.（2015·福建高考·文）已知椭圆的右焦点为；短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的
离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
42.（2015·安徽高考·理）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
43.（2015·天津高考·理）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的
一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
44.（2015·新课标全国卷II·理）已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
45.(2015高考数学新课标1理科)已知是双曲线上的一点，是上的两
个焦点，若，则的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
46.(2015·新课标全国卷I·文)已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则(
)
A．3
B．6
C．9
D．12
47.（2015·重庆高考·文）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，
过做的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
48.（2015·四川高考·文）过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线
于两点，则(
)
A.
B.
C.
6
D.
49.（2015·广东高考·文）已知椭圆的左焦点为，则（
）
A．9
B．4
C．3
D．2
50.（2015·湖南高考·文）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
51.（2015·湖北高考·文）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（
）
A．对任意的，
B．当时，；当时，
C．对任意的，
D．当时，；当时，
52.(2014·全国1·文)已知抛物线的焦点为，是上一点，，则
(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
53.(2014高考数学课标1理科)已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则(　　)
A．
B．
C．3
D．2
54.(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
(　　)
A．
B．3
C．
D．
55.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学)设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，则(　　)
A.
B.6
C.12
D.
56.
(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为(　　)　
A.
B.
C.
D.
57.(2014·大纲全国·理文)已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，
过的直线交于两点；若的周长为，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
58.（2014·天津文理）已知双曲线的一条渐近线平行于直线双
曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
59.（2014·湖北高考理科）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
）
A.
B.
C.3
D.2
60.(2014·广东高考理科)若实数满足，则曲线与曲线的(
　)
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
61.（2014·山东高考理科）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
62.(2014·江西高考文科)过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点
,若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
63.（2014·辽宁高考理科）已知点在抛物线的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为(
)
A.
B.
C.
D.
64.（2013·福建高考理）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B.
C.
D.
65.（2013·福建高考文）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B.
C．1
D.
66.（2013·新课标Ⅰ高考理）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方
程为(　　)
A．
B．
C．
D．
67.（2013·广东高考理）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是(
)
A.
B.
C.
D.
68.（2013·山东高考文）抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线
交于第一象限的点；若在点处的切线平等于的一条渐近线，则(　　)
A.
B.
C.
D.
69.（2013·大纲卷高考理）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜
率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
70.（2013·大纲卷高考文）已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
71.（2013·大纲卷高考文）已知抛物线：与点，过的焦点且斜率为k的直线与交于两点．若，则(　　)
A.
B.
C.
D．2
72.（2013·四川高考理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)
A.
B.
C．1
D.
73.（2013·天津高考理）已知双曲线的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于两点，为坐标原点.
若双曲线的离心率为2，的面积为，
则(　　)
A．1
B.
C．2
D．3
74.（2013·北京高考文）双曲线的离心率大于的充分必要条件是(　　)
A．
B.
C．
D.
75.（2013·重庆高考文）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为60°的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
76.（2013·新课标Ⅱ高考文）设椭圆的左、右焦点分别为，是上
的点，，，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
77.（2013·新课标Ⅱ高考文）设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点．若，则的方程为(　　)
A．或
B．或
C．或
D．或
78.(2013高考数学新课标1理文)已知双曲线的离心率为，则的渐近
线方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
79.（2013·新课标Ⅰ高考文）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为(　　)
A．2
B．
C．
D．4
80.（2013·湖北高考文）已知，则双曲线：与：的(　　)
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
81.（2013·江西高考文）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则(　　)
A．
B．
C．
D．
82.（2013·四川高考文·）抛物线的焦点到直线的距离是(　　)
A．
B．2
C.
D．1
83.（2013·四川高考文）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，
是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且(是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
84.（2013·广东高考文）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是(　)
A.
B.
C.
D.
85.(2013·全国2·文)设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，
，，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
86.(2013·全国1·理)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于
两点；若的中点坐标为，则的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
87.(2013高考数学新课标2理科)设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为
(　　)
A.或
B．或
C.或
D．或
88.（2012·山东高考理）已知椭圆的离心率为.双曲线的渐
近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
89.（2012·四川高考理）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为3，则(　　)
A．
B．
C．4
D．
90.（2012·湖南高考理）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的
方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
91.（2012·福建高考理）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲
线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B．
C．3
D．5
92.（2012·安徽高考理）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，则的面积为(　　)
A.
B.
C.
D．
93.（2012·山东高考文）已知双曲线的离心率为2.若抛物线
的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
94.（2012·福建高考文）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于(　　)
A.
B.
C.
D.
95.（2012·湖南高考文）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的
方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
96.（2012·大纲卷高考文）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则(　　)
A.
B.
C.
D.
97.（2012·新课标高考文）设是椭圆的左、右焦点，为直线
上一点，是底角为30°的等腰三角形，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
98.（2012·新课标高考文）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为(　　)
A.
B．
C．4
D．8
二、填空题
1.(2021年高考全国甲卷理科)已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原
点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
2.(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则
的焦距为_________．
3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知为双曲线的右焦点，为的右顶
点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为3，则的离心率为______________．
4.(2019·全国3·理文)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若
为等腰三角形，则的坐标为　　.?
5.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线的左、右焦点分别为
，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心
率为
．
6.(2018·北京，文)已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　.?
7.(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则
．
8.(2017·天津·文)设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为　
.?
9.(2017·北京·理文)若双曲线的离心率为，则实数　　.?
10.(2017·山东·理文)在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的
抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　.?
11.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为，以为圆
心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为__________．
12.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则
．
13.(2016·山东·理)已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，
的中点为的两个焦点，且，则的离心率是　　
.
14.（2015·北京高考·理）已知双曲线的一条渐近线为，则
．
15.（2015·上海高考·理）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则
．
16.（2015·新课标全国卷I·理）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，
则该圆的标准方程为
．
17.（2015·陕西高考·理）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则
．
18.（2015·山东高考·理）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛
物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为
.
19.（2015·山东高考·文）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，
交于点；若点的横坐标为，则的离心率为???????
.
20.（2014·四川高考·文）双曲线的离心率等于____________.
21.（2014·上海高考·理）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的
准线方程为
。
22.（2014·山东高考·文）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线
的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为.
23.(2014·陕西高考·文)抛物线的准线方程为　　　　.
24.（2013·湖南高考·理）设是双曲线的两个焦点，是上一点；
若，且的最小内角为30°，则的离心率为________．
25.（2013·辽宁高考文）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接；若，，，则的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
26.（2013·江西高考·理）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于
两点，若为等边三角形，则________.
27.（2013·山东高考·文）过点作圆的弦，其中最短弦的长为________．
28.（2013·福建高考·文）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为；若直线
与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．
29.（2013·湖南高考·文）设是双曲线的两个焦点．若在上存在一
点，使，且，则的离心率为________．
30.（2013·天津高考·文）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，
且
双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
31.（2013·陕西高考·文）双曲线的离心率为________．
32.（2013·江西高考·文）若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆的方程是________．
33.（2013·辽宁高考·文）已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等
于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为________．
34.（2012·四川高考理）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点.当的
周长最大时，的面积是________．
35.（2012·辽宁高考·理）已知为抛物线上两点，点的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为________．
36.（2012·天津高考·文）若直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为2，为坐标原点，则面积的最小值为________．
37.（2012·辽宁高考·文）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为________．
38.（2012·天津高考·文）已知双曲线与双曲线有相同的
渐近线，且的右焦点为，则________________.
39.（2012·安徽高考·文）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点．若，则________.
40.（2012·北京高考·文）直线被圆截得的弦长为________．
41.（2012·重庆高考·文）设P为直线与双曲线左支的交点，是左
焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率________.
三．参考答案
(一).选择题
1.解析：因为，由双曲线的定义可得，所以，；
因为，由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．故选：A
2.解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，
显然该不等式不成立．
故选：C．
3.解析：设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，即，解得．
故选：C．
4.解析：，∴双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故
联立，解得，故
∴
所以
双曲线，∴其焦距为
当且仅当取等号
∴的焦距的最小值：8
故选：B．
5.解析：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
∵，
∴，即，解得，
故选：A．
6.解析：因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B．
7.解析：如图，由已知可设，.
由，则，.
又，故.
由椭圆的定义及，得，解得
∴，.∴点为.
∴
过点作轴的垂线，垂足为点.由题意可知.
又，∴
∴
又，∴
.∴点.
把点坐标代入椭圆方程中，得.
又，故.所以椭圆方程为.
8.解析：由已知可得，
则
故选D.
9.解析：∵双曲线的离心率，
∴，解得，故选D.
10.解析：由抛物线方程可得的方程为.
由，得；同理.
∴；由，得，故.
，所以，故选D.
11.解析：由，，∴，
又在的一条渐近线上，不妨设为在上，则．
，故选A．
12.解析：因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以
，解得，故选D．
13.解析：由条件知，渐近线方程为，
所以，.
不妨设，则.
又，在中，，所以.
14.解析：不妨设椭圆方程为，
∵，，
∴，，
∴，∴.
15.解析：由椭圆的定义可知，椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和为，故选C.
16.解析：由双曲线的对称性，不妨取渐近线.如图所示，，，过点作
于点.
由题易知为梯形的中位线，所以.
又因为点到的距离为，所以.
因为，，所以，所以双曲线的方程为.故选C.
17.解析：易知，过点且斜率为的直线方程为.联立抛物线方程，解得或者
不妨设，，所以，，所以.
18.解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得
由
整理可得即
即即，所以，所以，故选C．
法二：由双曲线的性质易知，，所以
在中，
在中，由余弦定理可得
所以，整理可得，即
所以，所以，故选C．
19.解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
20.解析：因为，所以，即，渐进线的方程为，故选A．
21.解析：解法1：由题意得，
又，所以，，
故的方程为.
解法2：由渐近线的方程，可设双曲线的方程为
又椭圆的焦点坐标为
所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B．
22.解析：由，得，所以点的坐标为.将代入，得，
所以.
又点的坐标是，故的面积为.故选D.
23.解析：∵，∴，.
∵，∴.
∴.
又，∴.
∴所求双曲线的方程为.
24.解析：可知双曲线的渐近线方程为，取其中的一条渐近线方程为，则圆心
到这条渐近线的距离为，即，所以，所以.故选A.
25.解析：由题意得；
因为，所以.
所以.故选C.
26.解析：法一:设，，直线方程为
取方程，得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时，取得等号．
法二:设的倾斜角为，则直线的倾斜角为
根据焦点弦长公式有：
．
故选A．
法三:设点，则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以，所以
同理
所以(当且仅当时等号成立)
27.解析：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
28.解析：解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴
圆心到渐近线的距离为，即，解得．
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，
∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率
关系为，解得．
解法三：几何法
从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为
由于，可得，
渐近线的斜率与离心率关系为，解得．
29.解析：不妨设抛物线的方程为，圆的方程为.
因为，所以可设.
又因为，所以，得.故，即的焦点到准线的距离是4.
30.解析：因为为抛物线的焦点，所以.
又因为曲线与抛物线交于点，轴，
如图所示，可知，故，解得，故选D.
31.解析：因为双曲线的焦距为4，所以，
即，解得.
又由方程表示双曲线得，解得，故选A.
32.解析：
则.所以
故所求双曲线的方程为.故选D.
33.解析：设椭圆的一个顶点坐标为，一个焦点坐标为，则直线的方程为，即
，
短轴长为，由题意得，与联立得，故.
34.解析：由题意，设直线的方程为，分别令与，得点，
，由△OBE∽△CBM，得，即，整理得，所以椭圆的离心率，故选A.
35.解析1：由题可令，则，所以，，所以，所以
故选A．
解析2：离心率，由正弦定理得．故
选A．
36.解析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．
37.解析：∵直线与圆心为，半径为1的圆相切，∴或12，故选D.
38.解析：双曲线的右焦点为，过F与轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
39.解析：因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，
，所以所求双曲线方程为，故选．
40.解析：由双曲线的渐近线与圆相切得，
由，解得，故选D..
41.解析：设左焦点为，连接．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．
42.解析：由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
43.解析：双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以
，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得
，所以双曲线方程为，故选D.
44.解析：设双曲线方程为，如图所示，，，过点
作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
45.解析：由题知，，
∴，解得，
故选A．
46.解析：∵抛物线的焦点为，准线方程为，∴椭圆的右焦点为，
∴椭圆的焦点在轴上，设方程为，，
∵，∴，∴，∴椭圆方程为，
将代入椭圆的方程解得，，∴，故选B.
47.解析：由已知得右焦点
(其中，，，
从而，
又因为，所以，即，
化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C.
48.解析：由题意，，故，渐近线方程为
将代入渐近线方程，得，故，选D
49.解析：由题意得：，因为，所以，故选C．
50.解析：因为双曲线的一条渐近线经过点，
∴，∴，所以，故选D.
51.解析：不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：
，所以，同理，
当时，，所以，所以
，所以；
同理，当时，；故应选D.
52.解析：由抛物线方程知，，，即其准线方程为；因为点在抛物线上，由抛物线的定义知，解得，故选A.
53.解析：:过作直线于，
∵
∴，又，∴，由抛物线定义知，故
选C
54.解析:由，得，
设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离
，选A．
注：双曲线的焦点到渐近线的距离等于
55.解析：设，.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，
，，解得，，所以.
.故选C.
56.解析：设点分别在第一和第四象限，设，.则由抛物线的定义和直角三角形
知识可得，，，解得，，所以.所以.故选D.
57.解析：∵的离心率为，
∴
∴
又∵过的直线交椭圆于两点，的周长为，
∴，∴.∴，
∴椭圆方程为，选A.
58.解析：因为双曲线的一个焦点在直线上，所以，即，又因为渐近线平行于直线
，故有，结合，得，所以双曲线的标准方程为
59.解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，
因为，由余弦定理得，
所以，即，
所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.
60.解析：因为，所以曲线与曲线都表示焦点在轴上的双曲线，
且，但，故两双曲线的焦距相等.
61.解析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
所以，所以
所以.双曲线的渐近线方程为，即，故选A.
62.解析：设右焦点为，由题意得，即，
又，可得，
故，所以方程为.
63.解析：根据已知条件得，所以,从而抛物线方程为，其焦点．
设切点，由题意，在第一象限内；由导数的几何意义可知切线的斜
率为，而切线的斜率也可以为
又因为切点在曲线上，所以．由上述条件解得．
即，从而直线的斜率为．
64.解析：双曲线的渐近线方程为，即，所以双曲线的顶点到其渐近线距离为
65.解析：双曲线的渐近线为，顶点坐标为，故顶点到渐近线的距离为.
66.解析：因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.又离心率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，选择C.
67.解析：由题意可知，，所以，故双曲线的方程为.
68.解析：由图(图略)可知，与在点处的切线平行的渐近线方程为.设，则利用求导得切线的斜率为，.易知抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为，则点，，共线，所以，解得，所以.
69.解析：由题意知点在第一象限，设点横坐标为，则纵坐标为，由的斜率得：，即，的斜率为，所以的斜率取值范围为，故选B.
70.解析：设椭圆方程为，由题可得，，因，即，所以，解得，所以的方程为.
71.解析：如图所示，设为焦点，取中点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，连接，
，由，知，则，所以为直角梯形的
中位线，所以，所以，又，为公共边，所
以，所以，则，所以.
72.解析：因为抛物线的焦点坐标为，而双曲线的渐近线方程为，所以所求距离为，故选B.
73.解析：因为双曲线的离心率，所以，所以双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于，，
所以的面积为，又，所以.
74.解析：依题意，，，得，所以，选C.
75.解析：设双曲线的焦点在轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率必须满足
，易知，所以有；
又双曲线的离心率为，所以
76.解析：法一：由题意可设，结合条件可知，，
故离心率.
法二：由可知点的横坐标为，将代入椭圆方程可解得，所以.又由可得，故，变形可得，等式两边同除以，得，解得或(舍去)．
77.解析：法一：如图所示，作出抛物线的准线及点到准线的垂线段，并设直线交准线于点；
设，由抛物线的定义可知，.由可知
，即，所以，则，故，得
，结合选项知选C项．
法二：由可知，易知，设，则，从而可解得的坐为．因为点都在抛物线上，所以，解得，，所以，结合选项知选C项
78.解析：∵，∴，∴，∴.
79.解析：由题意知抛物线的焦点)，由抛物线定义知，又，所以，
代入抛物线方程求得，所以.
80.解析：由双曲线知：，由双曲线知：
.
81.解析：过点作垂直于准线于点，则由抛物线的定义知，所以
，而为直线的倾斜角的补角．
因为直线过点，，所以，所以；
所以.故.
82.解析：抛物线的焦点到直线的距离是，选D.
83.解析：由已知，点在椭圆上，代入椭圆方程，得.
∵，∴，即，则，∴，则，
即该椭圆的离心率是.
84.解析：依题意，设椭圆方程为，所以解得.
85.解析：如图所示，在中，，
设，则，
由，得.
而由椭圆定义，得，
∴，∴
86.解析：设，，∵在椭圆上，
∴
即
∵的中点为，∴，
而，∴
又∵，∴，.
∴椭圆的方程为.故选D.
87.解析：由题意知：，抛物线的准线方程为，则由抛物线的定义知，，设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，又因为点在上，所以，解得或，所以抛物线的方程为或，故选C．
88.解析：因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即.双曲线的渐近线方程为，代入椭圆方程得，即，所以，，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为.
89.解析：依题意，设抛物线方程是，则有，得，故抛物线方程是
，点的坐标是，.
90.解析：根据已知列出方程即可．，双曲线的一条渐近线方程为经过点，所以，所以，由此得，，故所求的双曲线方程是.
91.解析：∵抛物线的焦点为，故双曲线的右焦点为，即，故，∴，∴双曲线的渐近线方程为，
∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.
92.解析：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，可得点的横坐标为2，不妨设，则直线的方程为，与联立得，可得，所以.
93.解析：双曲线的渐近线方程为，由于
，所以，所以双曲线的渐近线方程为；抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线方程为.
94.解析：由题意知，故，解得，故该双曲线的离心率.
95.解析：∵点在曲线的渐近线上，∴，，
又∵，即，∴，.
96.解析：因为，且，所以，，而，由余弦定理得.
97.解析：是底角为的等腰三角形可得=2c
在中，
即
又∵，所以
将等式两边同时除以，得．
98.解析：设等轴双曲线
，则
由抛物线得准线
∵与抛物线的准线交于两点，
∴
将点坐标代入双曲线方程得．
(二)．填空题
1.解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于．
2.解析：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距
3.解析：联立，解得，所以．
依题可得，，，即，变形得，，
因此，双曲线的离心率为2．
4.解析：∵，，∴，∴.
由题意得，.
∵，∴.
设点的坐标为，
则.
又，解得.
又为上一点，∴，解得或(舍去).
∴点的坐标为.
5.解析：注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，
得，可得，所以，可得离心率．
6.解析：由
得，
由题意知，
∴.∴抛物线方程为，
∴焦点坐标为.
7.解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，
联立方程，消去并整理可得
所以，由点在抛物线上，可得，
所以，
由，可得，所以
所以
即
所以即，解得
故所求直线的斜率．
法二：抛物线的焦点，准线方程为
由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为
设直线，
联立方程，消去并整理可得
则有，解得
故所求直线的斜率．
8.解析：∵抛物线的焦点，准线的方程为，
由题意可设圆的方程为，则，.
∵，∴，直线的方程为.
∵点在直线上，∴.
则圆的方程为.
9.解析：由，得.
10.解析：设.
由，得，
∴
又∵，∴，即，
∴，即，∴，
∴双曲线的渐近线方程为
11.解析：如图所示，作
因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点，则为双曲线的渐近线上的点，且
，，因为，所以，到直线的距离，在中，，代入计算得，即，由得，所以．
12.解析：则，焦点为，准线，如图，为中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴，
由定义，且，∴．
13.解析：由双曲线和矩形的对称性可知轴，不妨设点的横坐标为，则由，得.设，，则，，由，得离心率或(舍去)，所以离心率为2.
14.解析：双曲线的渐近线方程为，，∵
，则，所以
15.解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为
顶点到准线的距离，即
16.解析：设圆心为，则半径为，则，解得，
故圆的方程为
17.解析：抛物线的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得．
18.解析：设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，
解方程组
得：
，所以点的坐标为
，
抛物线的焦点的坐标为；因为是的垂心，所以，
所以
所以，故而
19.解析：双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入，求得点的横坐标为；
由，得，解之得，（舍去，因为离心率），
故双曲线的离心率为.
20.解析：.
21.解析：根据椭圆的右焦点坐标得，所以抛物线的准线方程为.
22.解析：由题意知，
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为，得，
所以渐近线方程为，.
23.解析：根据抛物线的几何性质得抛物线的准线方程为.
24.解析：依题意及双曲线的对称性，不妨设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，又，求得，；而，所以在中，由余弦定理，得，
所以，即，所以，故双曲线的离心率为.
25.解析：由余弦定理得，，所以，又，所以.
26.解析：由得焦点，准线为，
所以可得抛物线的准线与双曲线的交点，，
所以，则，所以，即，解得.
27.解析：最短弦为过点，且垂直于点与圆心连线的弦，易知弦心矩
，所以最短弦长为
28.解析：直线过点，且倾斜角为60°，所以，从而，
所以，在中，，，
所以该椭圆的离心率.
29.解析：由已知可得，，，由双曲线的定义，可得
，则.
30.解析：抛物线的准线过双曲线的一个焦点，所以，又离心率为2，所以，
，所以该双曲线的方程为.
31.解析：由几何量之间的关系，得，，∴.
32.解析：因为圆过原点，所以可设圆的方程为.因为圆过点，将点代入圆的方程得，即圆的方程为.又圆与直线相切，将其代入圆的方程得，方程只有一个解，所以，解得.
故所求圆的方程为，即
33.解析：由题意得，，，两式相加，利用双曲线的定义得，所以的周长为.
34.解析：
椭圆右焦点为．
由椭圆定义.
则的周长
∴周长最大时，直线经过，这时，　
此时
35.解析：易知抛物线上的点，，且，则过点的切线方程为，过点Q的切线方程为，联立两个方程解得交点，所以点的纵坐标是.
36.解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即，
所以，所以，又，，所以的面积为，
最小值为3.
37.解析：不妨设点在双曲线的右支上，因为，所以，
又因为，所以，
可得，则，所以.
38.解析：双曲线的渐近线为，则，又因为，所以.
39.解析：抛物线准线为，焦点为，设．
由抛物线的定义可知，所以，所以，由抛物线关于轴对称，假设，由三点共线可知直线的方程为，代入抛物线方程消去得
，求得或，所以，故.
40.解析：圆心到直线的距离为，圆的半径为2，
所以所求弦长为
41.解析：由轴且点在双曲线的左支上，可得．又因为点在直线上，所以，整理得，根据得
所以双曲线的离心率.
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精品试卷·第
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