1.1.3 菱形的性质与判定3 课件(共32张PPT）

(共32张PPT)
1.1.3
菱形的性质与判定3
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1.探究菱形面积的多种求法
；
2.灵活运用菱形的性质、判定定理、面积求法进行几何推理与计算。
学习目标
复习回顾
菱形的性质
轴对称
既是中心对称图形又是轴对称图形
边
1.对边平行且相等；2.四条边都相等
角
1.对角相等，邻角互补
2.每条对角线平分一组对角
对角线
互相垂直平分
计算
周长=边长的四倍
A
D
C
B
新课导入
菱形的判定方法
几何语言
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∵□ABCD，
AB=BC,
∴
四边形ABCD是菱形
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵□ABCD，
AC⊥BD,
∴
四边形ABCD是菱形
定理
四条边相等的四边形是菱形
∵四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
复习回顾
新课导入
菱形的面积
如图：学校新修的菱形花园，沿两条对角线有两条小路
AC、BD,
你能用含有AC、BD的代数式表示菱形的面积吗？
A
B
C
D
你能通过割补把菱形转化成学过的图形吗？
（三角形、矩形、平行四边形）
探究新知
探究菱形的面积
?
BD
AC
?
BD
?
AC
AC
?
BD
AC
BD
探究新知
探究菱形的面积
AC
BD
探究新知
A
B
D
C
a
h
(1)S
=
a·h.
(2)S
=
4
S△ABO
=
O
菱形的面积计算公式：
总结归纳
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
转化的思想方法
转化
例1
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，
∠ABC＝
，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2
）.
B
A
O
C
60°
典例精析
B
A
O
C
D
解：∵花坛ABCD是菱形，
典例精析
例2
如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．
典例精析
方法总结：菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
于是
所以，
S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以，S菱形ABCD＝AB?h＝13h，
即，13h＝120，得
典例精析
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于
点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是
????????cm?．
16
针对练习
菱形的判定与性质的综合问题
巧用性质求线段（周长）
1、在青岛举行了世界休闲体育大会的主会场采用了许多
个菱形的框架结构，右图是其中一个菱形的框架。E、F分
别是框架边AB、BC上的中点，连接EF，若EF=3，BD=8，
则这个菱形框架ABCD的周长为（
）．
A．12
B.
16
C.
20
D．32
C
探究新知
巧用性质求角度
2、
如图，一活动菱形衣架，菱形的边长均为16cm，A点，C点处有两个挂环，若墙上两水平钉子之间的距离为32cm，则要将衣架挂在墙上，应将∠1调整到______度。
120
探究新知
巧用性质判定形状
3、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在AB边上，点F在AD边上，BE=AF。若∠ECF＝60°，△CEF为_______三角形。
等边
探究新知
菱形问题
转化
A
B
C
D
O
等腰三角形
直角三角形
特殊三角形
等边三角形
30°直角三角形
+
特殊角
归纳总结
三角形是几何图形的组件
巧用菱形面积“桥”
2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H，则DH的长为
________.
1、如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC
＝
3∠BAD
。则这个菱形的面积为
。
A
B
C
D
探究新知
计算菱形面积有两种方法，合理选择
1、已知菱形两条对角线的长m，n，或其一半，
选择
2、已知菱形的一边长a（或周长）和一个内角的度数（30°，45°，60°），选择
等面积，算两次，方程出
归纳总结
有一组邻边相等
AB=BC
转化
对角线
边AB=BC=CD=DA
等腰三角形
直角三角形
轴对称图形
四条边相等
AB=BC=CD=DA
面积
特殊性质
AC⊥BD
对角线互相垂直
AC⊥BD
A
B
C
D
归纳总结
1.
菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，则该菱形的面积为（
）
A.
50
B.
25
C.
D.
12.5
B
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6
cm，BD=8
cm，则菱形的高AE为
cm.
4.8
课堂练习
3.已知菱形的面积为24
cm2，一条对角线长为6
cm，则这个菱形的边长是（
）
A.8cm
B.5cm
C.10cm
D.4.8cm
B
4.如图，菱形ABCD，∠B=120°，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的面积为（
）
A.6
B.18
C.24
D.36
B
5.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为
，
∴菱形的面积为
.
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD
=6，求菱形的边长AB和菱形的面积.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD=
BD
=
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰△ABC中，∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形.
∴AB
=
BD
=
6.
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
∴OA
=
=
=
∴AC=2OA=
（菱形的对角线相互平分）
∴S菱形ABCD=
BD
×AC
=
×6×
=
18
(cm2).
7.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长.
A
B
C
E
D
证明：∵AD//BC，∴
∠DBC=
∠ADC
∵
BD平分∠ABC，∴∠ABD=
∠DBC
∴∠ABD
=∠ADC，∴AB=AD
∵AB=BC，
∴
AD=BC
∴四边形ABCD
是平行四边形，
又∵AB=BC
，∴四边形ABCD是菱形
(2)
∵DE⊥BD
，
∴
∠DBE+∠DEB=90°，∠BDC+∠CDE=90°
∵BC=CD，∴∠DBE=∠BDC
，∴DEB=∠CDE
∴BC=CD=CE，∴BE=2BC=10
∵BD=8，
RtΔBDE中，
∴DE=6，
∴
C四边形ABED=AB+BE+DE+AD=26.
A
B
C
E
D
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD
=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD=
BD
=
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB
=
BD
=
6.
A
B
C
O
D
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA
=
=
=
∴AC=2OA=
（菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
A
B
C
D
F
即S菱形ABCD
=BC·DF=
BD·AC
A
B
C
D
O
S菱形ABCD
=底×高
=对角线乘积的一半
含60°角的菱形：
当∠ABC=60°(或∠BAD=120°)时，
△ABC与△ACD均为等边三角形
课堂小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php