1.2.1矩形的性质与判定1 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.2.1矩形的性质与判定1
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2．经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
3．培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
学习目标
　
1.什么叫平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形有哪些性质？
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
边的性质：平行四边形的对边平行且相等.
角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补.
对角线性质：平行四边形对角线互相平分.
新课导入
　
除了我们学过的菱形外，下面几幅图片中都含有另一类特殊的平行四边形.你能发现它们有什么样的共同特征？
新课导入
矩形的定义
1．拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？(演示拉动过程如图)
矩形
2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，学生观察这是什么图形
探究新知
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∠A=90°（
或∠B=90°
）
∴四边形ABCD是矩形
学习概念
★矩形是特殊的平行四边形
A
D
C
B
矩形性质的探究和证明
(1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
矩形特殊性质
轴对称
中心对称图形
边
对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
探究新知
(3)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.
(4)矩形有什么特殊性质？
结论:
(1)矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
(2)矩形的四个角都是直角.
(3)矩形的对角线相等
探究新知
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC
=
90°,
∴∠BCD
=
90°.
证明猜想
已知：如图,四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
求证:矩形的对角线相等
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=
CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
求证：AC
=
BD
1.矩形的四个角都是直角.
2.矩形的对角线相等.
定理
证明猜想
矩形的性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°
(2)矩形的对角线相等
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
A
D
C
B
O
证明猜想
平行四边形
矩形的特殊性质
轴对称
中心对称图形
轴对称图形
边
对边平行且相等
/
角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分
相等
矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:
(1)BO是Rt△ABC中斜边AC上什么特殊线段?
(2)BO与AC有什么大小关系?
D
B
C
A
O
猜想：BO
是Rt△ABC中斜边AC上的中线，
且BO等于AC的一半
探究新知
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,
求证：(1)BO是Rt△ABC斜边AC上的中线；
(2)
BO=
AC
D
B
C
A
O
证明:(1)
∵四边形ABCD是矩形
∴O是AC的中点
∴
BO是Rt△ABC斜边AC上的中线
(2)
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OB=
BD
∴
OB=
AC
探究新知
直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
符号语言：
∵
Rt△ABC，O是AC的中点
∴
BO=
AC
A
B
C
O
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
归纳总结
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5
,求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
证明:∵四边形ABCD是矩形
∴
∠BAD=90°,
AC=BD
OA=
AC，OD=
BD，
∴
OA=
OD
∵∠AOD=120°
∴
∠OAD=
∠ODA=30
°
在Rt△ABD中，
BD=2AB=2×2.5=5
例题讲解
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°，AD=2.
（1）判断△AOD的形状；
（2）求对角线AC的长.
变式练习
解:(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB.
∵∠ACD=30°，
∴∠DAC=90°-
30°=60°.
而∵
OA=OD
∴△AOD为等边三角形.
(2)∵△AOD为等边三角形，
∴AO=AD=2.
∴AC=2AO=4.
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC
,
BD交于点O
,已知∠AOB=60°
,
AC=16,则图中长度为8的线段有（
）
A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
D
A
B
C
D
O
60°
课堂练习
2.下列说法错误的是（
）
A.
矩形的对角线互相平分
B.
矩形的对角线相等
C.
有一个角是直角的四边形是矩形
D.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C
3.填空：
（1）矩形的定义中有两个条件：一是__________
，二是
.
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_______、______
、
______
、
_____
。
有一个角是直角
平行四边形
60°
60°
120°
120°
（3）已知矩形的一条对角线长为10
cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为____
cm，_____
cm，
___
cm，____
cm.
5
5
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm.
5．若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为_______cm.
3
22或20
6.
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
7．已知：如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
解：设AD＝xcm，
则对角线长(x＋4)cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理：x2＋82＝(x＋4)2，
解得x＝6，则AD＝6cm；
利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的
高有一个基本关系式：AE·DB＝AD·AB，
解得AE＝4.8cm.
8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30°
,
BO=4
,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=
BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD
=
2BO
=2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD=
BD=
×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积=
(4+8)×
=
.
A
B
C
D
O
E
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
1.四个内角都是直角，
2.两条对角线互相平分且相等
3.是轴对称图形，有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
概念
一般性质
特有性质
课堂小结
谢谢
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