贵州省贞丰一中2011-2012学年高二下学期4月月考数学（文）试题

贵州省贞丰一中2011-2012学年高二下学期4月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定为
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形
【答案】C
2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
【答案】B
3．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点满足= (++),则点一定为三角形ABC的 ( )
A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点 (非重心）
C．重心 D．AB边的中点
【答案】B
4．已知在△中，点在边上，且，，则的值为（ ）
A 0 B C D -3
【答案】A
5．设平面向量=（1，2），= (-2，y），若 //，则|3十|等于 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．在△中，，，=，则的值为 ( ）
A．- B． C．- D．
【答案】C
7．在三角形中，对任意都有，则形状（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
8．已知且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9．O是所在平面内的一点，且满足，则的形状一定为( ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形
【答案】C
10．已知向量与向量关于轴对称，向量j=（0，1），则满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（ ）
【答案】D
11．设向量若是实数，则的最小值为（　　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】B
12．已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
II卷
二、填空题
13．若菱形的边长为，则__________。
【答案】2
14．已知向量a·b =，且|a|=2，|b|=5，则= .
【答案】
15． 如下图，在三角形中，，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数 ，实数 .
【答案】2, 1
16．已知+=，-=，用、表示= 。
【答案】
三、解答题
17．已知m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－
sinωx,2sinωx)，其中ω>0，设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列．当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．
【答案】(1)∵m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，
n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0)
∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cosωxsinωx
＝cos2ωx＋sin2ωx.
∴f(x)＝2sin(2ωx＋)．
∵函数f(x)的周期为π，∴T＝＝π.∴ω＝1.
(2)在△ABC中，f(B)＝1，∴2sin(2B＋)＝1.
∴sin(2B＋)＝．
又∵0∴2B＋＝．∴B＝．
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴cosB＝cos＝＝，
∴ac＝a2＋c2－．
化简得a＝c.又∵B＝，∴△ABC为正三角形．
18．在平面直角坐标系xoy中，已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),实数t满足
,求t的值
【答案】,
由得＝－11－5t=0
所以t=
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点
(1)若且，求向量；
(2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求
【答案】
又,得
或
与向量共线,
,当时，取最大值为
由，得，此时
20．(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．
【答案】(1)①∵a与b共线，
∴存在非零实数λ使得a＝λb，
∴
②由a⊥b (2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0
x－2y＋3＝0.(1)
由|a|＝|b| (2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.(2)
解(1)(2)得或
∴xy＝－1或xy＝．
(2)∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|2＝|2m＋n|2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7，
|b|2＝|－3m＋2n|2＝7，
∵a·b＝(2m＋n)·(－3m＋2n)＝－．
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝－．∴θ＝120°.
21．已知向量m＝(cos，1)，n＝(sin，cos2)．
(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【答案】(1)m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋．
∵m·n＝1，
∴sin(＋)＝．
∴cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝．
∴cos(－x)＝－cos(x＋)＝－．
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得：
(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.
∴cosB＝，B＝．
∴0∴<＋<，又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋，
∴f(A)＝sin(＋)＋．
故函数f(A)的取值范围是(1，)．
22．已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若⊥，求；
(2) 求|＋|的最大值．
【答案】 (1)若，则
即 而，所以
(2)
当时，的最大值为