贵州省贞丰三中2011-2012学年高二下学期4月月考数学（理）试题

贵州省贞丰三中2011-2012学年高二下学期4月月考理科数学试题
I 卷
一、选择题
1．已知点A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于(　　)
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
2．如图，△ABC中，｜｜＝3，｜｜＝1， D是BC边中垂线上任意一点，则·（－）的值是( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
3．已知非零向量a、b满足向量a+b与向量a—b的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．已知向量，那么 ( ）
A．k=1时，c与d同向 B．k=1时，c与d反向
C．k=-1时，c与d同向 D．k=-1时，c与d反向
【答案】D
5．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(　　)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
【答案】B
6．在中，，且CA=CB=3，点M满足，则等于 ( ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
7． 若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． 30°° B． 60° C． 120° D． 150°
【答案】C
8．在平行四边形中，为一条对角线，
A．（2，4） B．（3，5）
C．（—2，—4） D．（—1，—1）
【答案】D
9．下列命题中正确的是(　　)
A．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
B．若a·b＝0，则a∥b
C．若a∥b，则a在b上的投影为|a|
D．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2
【答案】D
10． 已知点P为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点P落在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
【答案】D
12．在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
II卷
二、填空题
13．点O在内部且满足，则的面积与凹四边形. 的面积之比为________.
【答案】5:4
【解析】
作图如下
作向量=2,
以、为邻边作平行四边形ODEF,根据
平行四边形法则可知：+=
即2+2＝
由已知2+2＝＝-，
所以＝-，
BC是中位线，则OE＝2OG=4OH,
则线段OA、OH的长度之比为4:1，
从而AH、OH的长度之比为5:1，
所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5:1，
所以△ABC与△OBC的面积比为5:1，
∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4
14．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则 _________.
【答案】
15．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则· ＝______.
【答案】－
16．设a、b是非零向量，给出平面向量的四个命题：
①|a·b|＝|a||b|；
②若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；
③存在实数m、n使得ma＋nb＝0，则m2＋n2＝0；
④若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|≥|b|且a与b方向相反．
其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
【答案】②④
三、解答题
17．已知向量a＝(sin 3x，－y)，b＝(m，cos 3x－m) (m∈R)，且a＋b＝0.设y＝f(x)．
(1)求f(x)的表达式，并求函数f(x)在上图象最低点M的坐标；
(2)若对任意x∈，f(x)>t－9x＋1恒成立，求实数t的范围．
【答案】(1)因为a＋b＝0，
即
消去m，得y＝sin 3x＋cos 3x，
即f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，
当x∈时，3x＋∈，
sin∈，
即f(x)的最小值为1，此时x＝．
所以函数f(x)的图象上最低点M的坐标是．
(2)由题，知f(x)>t－9x＋1，
即2sin＋9x>t＋1，
当x∈时，函数f(x)＝2sin单调递增，y＝9x单调递增，
所以g(x)＝2sin＋9x在上单调递增，
所以g(x)＝2sin＋9x的最小值为1，
为要2sin＋9x>t＋1在任意x∈上恒成立，只要t＋1<1，即t<0.
故实数t的范围为(－∞，0)．
18．已知，是夹角为60°的单位向量，且，。
(1）求；
(2）求与的夹角。
【答案】（1）＝（＝－6＋＋2＝；
(2），同理得，
所以，又，所以＝120°。
19．已知向量满足.
(1）求的值；
(2）求的值.
【答案】（1）由｜｜=2得
，
所以.
(2），所以.
20．已知m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－
sinωx,2sinωx)，其中ω>0，设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列．当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．
【答案】(1)∵m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，
n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0)
∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cosωxsinωx
＝cos2ωx＋sin2ωx.
∴f(x)＝2sin(2ωx＋)．
∵函数f(x)的周期为π，∴T＝＝π.∴ω＝1.
(2)在△ABC中，f(B)＝1，∴2sin(2B＋)＝1.
∴sin(2B＋)＝．
又∵0∴2B＋＝．∴B＝．
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴cosB＝cos＝＝，
∴ac＝a2＋c2－．
化简得a＝c.又∵B＝，∴△ABC为正三角形．
21．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
【答案】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，
∵|a|＝4，|b|＝3，
代入上式得a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－．
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝．
(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，＝|a|=4, = |b| =3,
∴=sin∠BAC＝×3×4×sin 120°＝3．
22．已知向量满足.
(1）求的值；
(2）求的值.
【答案】（1）由｜｜=2得
，
所以.
(2），所以.