贵州省贞丰二中2011-2012学年高二下学期4月月考数学（文）试题

贵州省贞丰二中2011-2012学年高二下学期4月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb (λ，μ∈R)那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【答案】D
2．已知两点 ,O为坐标原点，点C在第二象限，且,则等于（ ）
A． B． C．-1 D． 1
【答案】A
【解析】作图
[
由已知
3．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(　　)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
【答案】B
4． 已知平行四边形的三个顶点A.B.C的坐标分别是..，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．已知向量，，若与共线，则等于（ ）
A．； B． C． D．
【答案】C
6．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，则下列说法中错误的是(　　)
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
【答案】D
7．已知A，B，C是锐角的三个内角，向量，则的夹角是（ ）
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
【答案】B
8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－ B．－＋2
C． － D．－＋
【答案】A
9．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（ ）
【答案】B
10．在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是 ( ）
A．1 B．－1 C． D．－
【答案】D
11．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是 ( ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
12．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
II卷
二、填空题
13．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
【答案】1
14．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则点P与边AC的关系是________________________________________________________________________．
【答案】P是AC的中点
15．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是 ;
【答案】
16． 已知平面向量，，与垂直，则＝
【答案】
三、解答题
17．如图，在△ABC中，,, ，则 。
【答案】
18．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
【答案】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，
∵|a|＝4，|b|＝3，
代入上式得a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－．
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝．
(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，＝|a|=4, = |b| =3,
∴=sin∠BAC＝×3×4×sin 120°＝3．
19．已知向量m＝(cos，1)，n＝(sin，cos2)．
(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【答案】(1)m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋．
∵m·n＝1，
∴sin(＋)＝．
∴cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝．
∴cos(－x)＝－cos(x＋)＝－．
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得：
(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.
∴cosB＝，B＝．
∴0∴<＋<，又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋，
∴f(A)＝sin(＋)＋．
故函数f(A)的取值范围是(1，)．
20．已知为坐标原点，向量
，点满足.
(1）记函数，求函数的最小正周期；
(2）若、、三点共线，求的值.
【答案】（1），
，.
，
.
(2）由O，P，C三点共线可得
，得，
，
.
21．已知向量＝，，向量＝(，－1)
(1)若，求的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围。
【答案】 (1)∵，∴，得，又，所以；
(2)∵＝，
所以，
又 ∈[0，]，∴，∴，
∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，所以。
22．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA＋sinA,2－2sinA)，向量q＝(cosA－sinA,1＋sinA)，且p⊥q.
(1)求角A；
(2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积．
【答案】(1)∵p⊥q，
∴(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0，
∴sin2A＝．而A为锐角，所以sinA＝ A＝．
(2)由正弦定理得a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝．
∴BC＝AC×tan＝×＝3.
∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝．