1.2.2矩形的性质与判定2 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
1.2.2矩形的性质与判定2
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．会证明矩形的判定定理．
2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
学习目标
矩形的性质
轴对称
中心对称图形,轴对称图形
边
对边平行且相等
角
四个角都是直角
对角线
相等
且互相平分
直角三角形斜边上中线的性质
：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
D
C
B
A
B
C
O
新课导入
　
思考
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
新课导入
矩形判定的定理及其证明
思考：矩形是特殊的平行四边形，请问当平行四边形满足什么条件时，会变成矩形吗？
A
B
C
D
平行四边形ABCD
A
D
C
B
矩形ABCD
探究新知
定义法—有一个角是直角的平行四边形是矩形
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形(大前提)
∠A=90°
∴
四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法一：
A
D
C
B
你还有其他的判定方法吗？
探究新知
如图，在一个平行四边形活动框架上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状发生什么变化？
探究活动一
探究新知
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
问题:这个运动过程中，两条对角线的长度会发生变化吗？当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？
探究新知
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB，求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB
=
DC,
AB∥CD
又∵
BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
求证：对角线相等的平行四边形是矩形
猜想论证
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵在□
ABCD中
(大前提)
AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定方法二
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
猜想论证
不一定
猜想：对角线相等的四边形是矩形吗？
A
B
C
D
AC=BD
等腰梯形ABCD
探究新知
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
探究活动二
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
∵
∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
求证：有三个角是直角的四边形是矩形.
猜想论证
定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵在四边形ABCD中
∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法三
A
B
C
D
猜想论证
归纳总结
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD，
∠A=90°,
∴
四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD，
AC=BD,
∴
四边形ABCD是矩形
定理
有三个角是直角的四边形是矩形
∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
A
B
C
D
定理的应用
例1：如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O
,
△ABO是等边三角形,
AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=
OC,OB
=
OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA=
OB=AB=
4,∠BAC=60°.
∴AC=
BD=
2OA
=
2×4
=
8.
A
B
C
D
O
探究新知
∴□ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）
.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2
+
BC2
=AC2
,
∴BC=
.
∴S□ABCD=AB·BC=4×
=
A
B
C
D
O
探究新知
例2：如图，在△ABC中,
AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD
,
EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
例题讲解
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
例题讲解
　
例3
如图，在
　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
AC，
OB=OD=
BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
例题讲解
例4
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵
AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
例题讲解
例5
如图，
□?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：在□?ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴
∠BAE+
∠ABF=
∠DAB+
∠ABC=90°.
例题讲解
例6
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝
∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝
∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝
(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
例题讲解
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　　　B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
2.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2,
则其周长为（
）.
A.15cm
B.30cm
C.45cm
D.90cm
B
课堂练习
3.下列命题是真命题的是（
）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是矩形
C
5.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm，则该矩形的对角线长为
cm。
4.四边形ABCD中，∠A=∠B
=∠C=∠D,
则四边形ABCD是
；
矩形
6.已知：如图，
ABCD中，∠DAC
=∠ADB,
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=
AC，OD=
BD，
∵∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
8.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEDO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形.
∴四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.
9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
1．判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
2.用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：
(1)有一个角是直角；(2)是平行四边形．
3．用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足
两个条件：
(1)对角线相等；
(2)是平行四边形．
课堂小结
谢谢
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