1.2.3矩形的性质与判定3 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
1.2.3矩形的性质与判定3
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．回顾矩形的性质及判定方法．
2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
学习目标
　
矩形的性质
轴对称
中心对称图形,轴对称图形
边
对边平行且相等
角
四个角都是直角
对角线
相等
且互相平分
A
D
C
B
O
新课导入
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD，
∠A=90°,
∴
四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD，
AC=BD,
∴
四边形ABCD是矩形
定理
有三个角是直角的四边形是矩形
∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
A
B
C
D
新课导入
直角三角形的性质
几何语言
角
直角三角形两锐角互余
∵∠ACB=90°,
∴
∠A+∠B=90°,
边
两直角边的平方和等于斜边的平方
∵∠ACB=90°,
∴
AB2+BC2=AB2
边
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∵∠ACB=90°,D是AB的中点
∴
CD=1/2
AB
角边关系
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
∵∠ACB=90°,∠A=90°
∴
BC=1/2
AB
A
C
B
D
新课导入
矩形的性质与判定综合运用
A
B
C
D
O
E
例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE
∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
探究新知
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例2
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
探究新知
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】
如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接AC、BD
探究新知
例3：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
探究新知
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE=
AD=3.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
探究新知
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
探究新知
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；
探究新知
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
探究新知
判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法．
(1)如果可以证明三个角都是直角，可直接证出矩形；
(2)如果只能证出一个角为直角或对角线相等，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明菱形．
★矩形的应用常跟三角形的性质结合
方法总结
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　
　)
A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2
C．S1D．3S1＝2S2
B
课堂练习
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10
cm，则EH等于(　　)
A．8
cm　　B．10
cm　　C．16
cm　　D．24
cm
B
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
75
证明：(1)在
ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=1/2∠ABD，∠CDF=1/2∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C,AB=DC,∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
4.如图，在
ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
4.如图，在
ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.∴DE∥BF，DE=BF.
∴四边形DFBE是平行四边形.
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
证明：(1)
∵
CN∥AB
∴
∠DAC=
∠CAN,
∠ADN=
∠CND,
∵
MA＝MC.
∴
△AMD≌△CMN(AAS)
∴
AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.　
5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
证明：∵∠AMD＝2∠MCD，
∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形.　
5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(2)若∠AMD＝2∠MCD,求证：四边形ADCN是矩形．　
6.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.求D’F的长
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
CD=AB=4，
AD
∥
BC
∴
∠AFE＝∠CEF
由折叠的性质，得
∴
∠AEF＝∠CEF，AE=CE
∠
D’=∠
D=90°，A
D’=CD=4
∴
∠AFE
=∠AEF
∴AF=
AE=CE
设AF=
AE=CE=x,则BE=8-x
则Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AB2+BE2=
AE2
,即42
+(8-x)2=
x2，解得：x=5
∴
AF=
5,
Rt△AFD’中,由勾股定理，得：
FD’
2
=
52
-42
=
32
，FD’=3
7.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
矩形的性质
矩形的判定方法
对称性
中心对称图形,轴对称图形
/
边
对边平行且相等
/
角
四个角都是直角
①有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
对角线
相等
且互相平分
对角线相等的平行四边形是矩形
课堂小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php