1.3.1正方形的性质与判定1 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
1.3.1正方形的性质与判定1
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2．掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题．
学习目标
平行四边形
菱形
矩形
对称性
边
角
对角线
一、复习回顾
中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
对边平行
且相等
对边平行
且相等
对边平行，
四边都相等
对角相等，
邻角互补
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
新课导入
　
二、图片欣赏
新课导入
　
思考；在我们的生活中除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
菱形
矩形
正方形
新课导入
正方形的定义
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
正方形
探究新知
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形
探究新知
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=AD，∠A=90°
∴四边形ABCD是正方形
学习概念
★正方形即是菱形，也是矩形
A
D
C
B
概念拓展
平行四边形
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
探究新知
正方形的性质探究和证明
猜想：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
?
正方形的性质=
菱形性质
矩形性质
探究新知
正方形具有菱形和矩形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
菱形
矩形
正方形
轴对称
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
边
对边平行，
四边都相等
对边平行
且相等
角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线
对角线互相
垂直平分
对角线相等
且互相平分
轴对称图形
中心对称图形
对边平行
四条边相等
四个角
都是相等
对角线相等
互相垂直平分
探究新知
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等.
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形有4条对称轴.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，
∠A=90°,
AB=AD
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∠A=90°,
AB=AD.
∴四边形ABCD是矩形
四边形ABCD是菱形
∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,
AB=
BC=CD=AD.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°,
AB=AD
，对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=CO=BO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∠A=90°,
AB=AD.
∴四边形ABCD是矩形,
四边形ABCD是菱形
∴
AO=CO=BO=DO，
AC⊥BD.
探究新知
正方形的性质
定理：
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：
正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD
OA=OB=OC=OD
探究新知
对边平行且相等
每条对角线平分一组对角
对角线相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
四个角都是直角
对角相等
四条边都相等
性质
正方形
菱形
矩形
平行四边形
图形
拓展延伸
对比归纳
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
探究新知
正方形性质定理的应用
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE
=90°
.
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
探究新知
A
B
D
F
E
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF
,
∴∠CBE
=∠CDF.
∵∠DCF
=90°
,
∴∠CDF
+∠F
=90°.∴∠CBE+∠F=90°
,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
C
M
探究新知
如图，正方形ABCD中，AF=BE，
AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
变式练习一
D
A
C
B
F
E
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC
=90°
.
又∵
AF=BE
∴
△DAF≌△ABE(SAS).
探究新知
如图，正方形ABCD中，AF=BE，
AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
变式练习一
证明：(2)∵
△DAF≌△ABE
∴
∠ADF=∠BAE
∵
∠DAB
=90°
.
∴
∠ADF+
AFD=
90°
∴
∠BAE
+
AFD=
90°
∴DF
⊥AE
∴
∠AOE=
90°
D
A
C
B
F
E
O
探究新知
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
变式练习二
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中，
AB=AD，∠ABF=∠ADE，BF=DE，
∴△ADE≌△ABF（SAS）.
探究新知
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积.
变式练习二
(2)解：∵BC=8，∴AD=8.
在Rt△ADE中，∴AE
=
=10.
∵
△ADE≌△ABF
∴AE=AF，
∠FAB=
∠EAD，
∠EAF=
∠FAB
+
∠BAE
=
∠EAD
+∠BAE
=90°.
∴S△AEF的面积=1/2AE2=1/2×100=50.
探究新知
例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O
,
MN∥AB
,且分别于OA
,
OB相交于点M
,
N.
求证：（1）BM
=
CN;（2）BM⊥CN.
A
B
C
D
O
M
N
证明：（1）∵MN∥AB.
∴∠1
=∠2
=∠3
=∠4
=
45°.
∴OM
=
ON.
∵OA=
OB,
∴OA-
OM
=
OB
-
ON,AM=BN.
又∵∠2=∠NBC,AB=BC.
∴△ABM
≌△BCN(SAS)
∴BM=CN.
1
2
3
4
例题讲解
A
B
C
D
O
M
N
(2)延长CN交线段MB于点Q.
∵△ABM≌△BCN.
∴∠6=∠8.
∵∠OCB
=∠ABO
=45°.
∴∠5=∠7.
又∵∠ONC=∠QNB.
∴180°-∠5
-∠ONC
=
180°-∠7
-∠QNB,
∠CON
=∠NQB
=
90°.
∴BM⊥CN.
Q
5
7
6
8
例题讲解
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（　　）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
课堂练习
3．在正方形ABC中,∠ADB=
,∠DAC=
,
∠BOC=
.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题
第4题
45°
5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是_____.
6.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于_______.
2
7.如图，已知正方形ABCD
,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE
、
CE
,求∠DEC的度数.
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB
=AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB
=60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
8.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝
，
面积为AD2＝8.
9.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝(
－1)cm，
∴BE＝(
－1)cm．
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
课堂小结
谢谢
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