22.1.4二次函数y＝ax2+ bx+ c的图像和性质 同步练习 2021-2022学年人教数学九级上册（Word版 含答案）

22.1.4二次函数y＝ax2+bx+c的图像和性质
一．选择题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），则下列结论正确的是（　　）
A．c＞0
B．ab＞0
C．a+b+c＞0
D．a+b＞0
2．将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1
B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3
D．y＝2（x﹣4）2﹣3
3．在函数y＝﹣x2+bx+c中，y与x的部分对应值如表，则m、n的大小关系为（　　）
x
……
﹣1
1
3
4
……
y
……
﹣6
m
n
﹣6
……
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．无法确定
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（　　）
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②③④
5．已知（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）是抛物线y＝2x2+6x+c上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1
D．y1＜y3＜y2
6．已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（　　）的图象上．
A．y＝x+2
B．y＝﹣x+2
C．y＝﹣2x+1
D．y＝2x+1
7．已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（　　）
A．0＜y2＜y1
B．0＜y1＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
8．已知实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤3
D．a＜3
9．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法错误的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m无最大值
10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）部分图象和一次函数y＝﹣x+2的图象如图所示．已知它们有一个交点为A，点B（﹣1，﹣1）在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在（　　）
A．MN之间
B．点N
C．NQ之间
D．点Q
二．填空题
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是　
　．
12．若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，则n＝　
　．
13．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝　
　；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　
　．
14．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是
　
　．
15．关于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的四个结论：①该函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；②对任意实数m，
都有x1＝1+m与x2＝1﹣m对应的函数值相等；③当a＜0，点A（t，y1），B（t+1，y2）在函数图象上，当实
数t＜时，y1＜y2；④若2≤x≤3，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜，其中正确的结论是　
　（填序号即可）．
三．解答题
16．已知y＝（k+2）是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
17．已知抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）若点B（m，n）在该抛物线上，且﹣2≤m≤2，求n的取值范围．
18．观察如图的表格：
x
0
1
2
ax2
　
　
1
　
　
ax2+bx+c
3
　
　
3
（1）求a、b、c的值．并在表内的空格中填上正确的数；
（2）设y＝ax2+bx+c，求这个二次函数的图象的对称轴与顶点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，c＞0，故A选项正确，符合题意；
∴ab＜0，故B选项错误，不符合题意；
将点（1，0）代入解析式，得：a+b+c＝0，故C选项错误，不符合题意；
由图可设抛物线与x轴的另一个交点为（m，0）（m＜0），
∴﹣＝＜，
∴b＜﹣a，即a+b＜0，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
3．解：∵抛物线经过点（﹣1，﹣6）和（4，﹣6），
∴抛物线的对称轴为＝，
∴点（1，m）到对称轴的距离小于点（3，n）到对称轴的距离，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴m＞n，
故选：A．
4．解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，﹣＝﹣1＜0，即b＝2a＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
②∵抛物线对称轴为x＝﹣1，且x＝0时，y＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项②错误；
③∵抛物线对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴a＝b，
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝+c＜0，
故3b+2c＜0，选项③正确；
④∵由图象可知，当x＝﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项④正确；
故选：A．
5．解：∵抛物线的对称轴直线为x＝，且a＝2＞0，
∴在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧函数值y随x的增大而增大．
∵点（﹣2，y1）关于对称轴对称的点为（﹣1，y1），
∵，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
6．解：由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝，即c＝b﹣1，
抛物线的顶点纵坐标为＝b2﹣4c＝b2﹣4b+4，
∴顶点坐标为（b，b2﹣4b+4），
将顶点坐标代入A得，b2﹣4b+4＝b+2，整理得b2﹣5b+2＝0，∵52﹣4×2＞0，故顶点可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2﹣4b+4＝﹣b+2，整理得b2﹣3b+2＝0，∵32﹣4×2＞0，故顶点可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2﹣4b+4＝﹣2b+2，整理得b2﹣2b+2＝0，∵22﹣4×2＜0，故顶点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2﹣4b+4＝2b+2，整理得b2﹣6b+2＝0，∵62﹣4×2＞0，故顶点可能在D上；
故选：C．
7．解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，0），
∵A（﹣4.4，y1）和B（﹣3.3，y2），
∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|，
∴y1＜y2＜0，
故选：C．
8．解：∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣1，
解得a≤3，
故选：C．
9．解：方法1、①当b﹣a＝1且当a，b同号时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，
∴45°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥1，
∴n﹣m≥1，
当a，b异号时，m＝0，
当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，
∴≤n﹣m＜1，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D说法正确，但不符合题意；
②当n﹣m＝1时，如图2，
当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，．
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N
（0，0），M
（1，，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
当a，b异号时，m＝0，
∴n＝1，
∴a＝﹣1，b＝1，
即b﹣a＝2，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误，符合题意；
故选：A．
方法2、当n﹣m＝1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，
当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，
当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，
因此，只有选项A错误，符合题意，
故选：A．
10．解：把点B代入y＝ax2﹣4ax+2中，
得：a+4a+2＝﹣1，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为，
联立抛物线和直线的解析式得：
，
解得或，
∴它们的另一个交点坐标为（，﹣），
∵M（4，0），N（5，﹣），Q（6，﹣1），
又∵4，
∴它们的另一个交点在MN之间，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，
∵3≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，有最小值，y最小值＝22﹣4＝0；
故答案为：0．
12．解：∵A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，
∴h＝＝m，
∴A（h﹣2，n），B（h+2，n），
当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2020＝2016，
故答案为2016．
13．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，
得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：0．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．
故答案为：2．
14．解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1）对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，满足题意，
c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，如图，
把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
15．解：将该二次函数的一般式化为顶点式得：
∵y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3，
∴该抛物线得顶点为（1，﹣a﹣3），对称轴为直线x＝1，
∴①错误，
∵，
∴x1，x2关于对称轴对称，
∴②正确，
当a＜0时，图象开口向下，
若t与t+1关于对称轴对称，
则，
解得：，
∴当t＜时，y1＜y2，
∴③错误，
当x＝2时，y＝﹣3，
当x＝3时，y＝3a﹣3，
若a＞0，则题意可知：0≤3a﹣3＜1，
即：1≤a＜，
若a＜0，则题意可知：﹣7＜3a﹣3≤﹣6，
即：，
∴④正确．
故答案为②④．
三．解答题
16．解：（1）∵y＝（k+2）是二次函数，
∴k2+k﹣4＝2且k+2≠0，
解得k＝﹣3或k＝2，
∵函数有最高点，
∴抛物线的开口向下，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，
∴k＝﹣3．
（2）当k＝﹣3时，y＝﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，
当x＞0时，y随x的增大而减少．
17．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3），
∴a?22﹣2×2+3＝3，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴当x≤1时，y随着x的增大而减小，当x≥1时，y随着x的增大而增大，
∵﹣2≤m≤2，
∴当m＝1时，n有最小值2，
当m＝﹣2时，n有最大值11，
∴2≤n≤11．
18．解：（1）当x＝1，y＝1时，a＝1，则y＝x2，
当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝4；
把x＝0，y＝3和x＝2，y＝3分别代入y＝x2+bx+c得，解得b＝﹣2，c＝3，
即a、b、c的值分别为1，﹣2，3，
当x＝1时，y＝x2﹣2x+3＝1﹣2+3＝2；
故答案为0，4，2；
（2）y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以这个二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）．
19．解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
，解得，
这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），
直线AG为y＝﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3
当x＝时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（，﹣），S△APG最大＝××3＝．