北师版数学九年级上册《 第二章 一元二次方程》检测卷A卷
一、单选题
1．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】一元二次方程x2-2（3x-2)+（x+1)=0的一般形式是x2-5x+5=0．
故选A．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化
2．（2020·遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32.
故答案为：D.
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.
3．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【分析】解得，∴较小根为。
∵，
∴。故选A。
4．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
5．（2021·泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-
∴k＞-且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
6．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
7．（2021·毕节）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得： （舍），
则共有6个班级参加比赛，
故答案为：B.
【分析】设有x个班级参加比赛，由于单循环形式，可得x个班级比赛场数为，据此列出方程，解之即可.
8．（2021·雅安）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【解答】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可.
9．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
10．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
11．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
12．（2019·达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故答案为：D．
【分析】总营业额=4月营业额+5月营业额+6月营业额，列出相应关系式，
二、填空题
13．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
14．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
15．（2020·荆门）已知关于x的一元二次方程 的一个根比另一个根大2，则m的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解.
16．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
17．（2020·大庆）已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论：
①当 时，方程有两个不相等的实根；
②当 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程 ，
∴ ；
∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意；
当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能有两个异号的实根；故②不符合题意；
抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意；
由 ，则 ，解得： 或 ；故④符合题意；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
18．（2019·宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 即 为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得 .那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是 .（只填序号）
【答案】②
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 即 ，
构造如图 中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，
据此易得 。
故答案为： 。
【分析】仿照题干提供的构造方法，构建面积是的大正方形，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，从而即可得出方程，求解即可。
三、解答题
19．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
20．（2021八下·泰山期末）解下列方程．
（1） （用配方法）；
（2） ．
【答案】（1）解：
； ．
（2）解：
或
； ；
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可。
21．（2019·巴中）已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
【答案】解：①根据题意得：
，
解得： ，
②根据题意得：
， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
22．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
23．（2021·菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量
解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。
24．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
25．（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
1 / 1北师版数学九年级上册《 第二章 一元二次方程》检测卷A卷
一、单选题
1．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0
2．（2020·遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
3．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B． C． D．
4．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2021·泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
6．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·毕节）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2021·雅安）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
9．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
10．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
11．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
12．（2019·达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 .
14．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
15．（2020·荆门）已知关于x的一元二次方程 的一个根比另一个根大2，则m的值为 .
16．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
17．（2020·大庆）已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论：
①当 时，方程有两个不相等的实根；
②当 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
18．（2019·宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 即 为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得 .那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是 .（只填序号）
三、解答题
19．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
20．（2021八下·泰山期末）解下列方程．
（1） （用配方法）；
（2） ．
21．（2019·巴中）已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
22．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
23．（2021·菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
24．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
25．（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】一元二次方程x2-2（3x-2)+（x+1)=0的一般形式是x2-5x+5=0．
故选A．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝32.
故答案为：D.
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.
3．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【分析】解得，∴较小根为。
∵，
∴。故选A。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-
∴k＞-且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得： （舍），
则共有6个班级参加比赛，
故答案为：B.
【分析】设有x个班级参加比赛，由于单循环形式，可得x个班级比赛场数为，据此列出方程，解之即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【解答】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可.
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故答案为：D．
【分析】总营业额=4月营业额+5月营业额+6月营业额，列出相应关系式，
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
14．【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
15．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解.
16．【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
17．【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程 ，
∴ ；
∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意；
当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能有两个异号的实根；故②不符合题意；
抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意；
由 ，则 ，解得： 或 ；故④符合题意；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
18．【答案】②
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 即 ，
构造如图 中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，
据此易得 。
故答案为： 。
【分析】仿照题干提供的构造方法，构建面积是的大正方形，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，从而即可得出方程，求解即可。
19．【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
20．【答案】（1）解：
； ．
（2）解：
或
； ；
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可。
21．【答案】解：①根据题意得：
，
解得： ，
②根据题意得：
， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
22．【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
23．【答案】解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量
解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。
24．【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
25．【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
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