北师版数学九年级上册《 第二章 一元二次方程》检测卷B卷
一、单选题
1．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解.
2．（2021·毕节）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：a≠0且 ，即
，
解得： 且 ，
故答案为：D.
【分析】 由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得a≠0且 ，据此解答即可.
3．（2021·合肥模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程 （ 、 、 为常数， ）的一个解 的范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，
故答案为：D．
【分析】根据表格中的数据求解即可。
4．（2021·赤峰）一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故答案为：A．
【分析】先求出x2-8x=2，再求出x2-8x+16=18，最后配方计算求解即可。
5．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
6．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
7．（2020·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， ， ，
若使 有实数根，则 ，
解得， ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】通过根与系数之间的关系得到 ， ，由 可求出m的值，通过方程有实数根可得到 ，从而得到m的取值范围，确定m的值.
8．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
9．（2020·呼和浩特）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
10．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
11．（2019·淄博模拟）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴以 ， 为根的一元二次方程为 ．
故答案为：A．
【分析】由x12+x22=5，利用完全平方式将其变形，利用整体代入求出x1·x2的值，然后根据根与系数的关系判断即可.
12．（2020·衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设小道的宽为 ，
则种植部分的长为 ，宽为
由题意得： ．
故答案为：C．
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
二、填空题
13．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
14．（2021·鄂州）已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵实数a、b满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： .
【分析】根据非负数之和等于0的性质分别列式求出a、b，代入一元二次方程，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将原式变形代值计算即可.
15．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
16．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
17．（2021·甘井子模拟）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 ．
【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，
由题意得： ，
即 ，
故答案为： 或 ．
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 根据：雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比， 列出方程即可.
18．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
三、解答题
19．（2021·常州模拟）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）.
【答案】（1）解：
∴
∴
（2）解：
∴ 或 ，
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，首项移项，将常数项移到方程的右边，接着配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而根据直接开平方法求解即可；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
20．（2021九上·武汉期末）按要求解下列方程：
（1）用配方法解：x2﹣4x+1＝0.
（2）用公式法解： .
【答案】（1）解： ，
∵x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝ ，
∴x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；
（2）解： ，
∵a＝1，b＝﹣ ，c＝﹣ ，
∴△＝（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）＝3＞0，
则x＝ ，
即x1＝ ，x2＝ .
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）根据一元二次方程的求根公式“x=”计算即可求解.
21．（2021·十堰）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得
（2）解：设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；
（2）设该方程的两个根为 、 ，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得 ， ，可得m的范围，然后求出其整数解即可.
22．（2020·南充）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
23．（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.
根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
24．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
25．（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1） ，2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
1 / 1北师版数学九年级上册《 第二章 一元二次方程》检测卷B卷
一、单选题
1．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
2．（2021·毕节）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
3．（2021·合肥模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程 （ 、 、 为常数， ）的一个解 的范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
4．（2021·赤峰）一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
7．（2020·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
8．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
9．（2020·呼和浩特）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A．0 B． C． D．
10．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
11．（2019·淄博模拟）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
14．（2021·鄂州）已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
15．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
16．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
17．（2021·甘井子模拟）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 ．
18．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
三、解答题
19．（2021·常州模拟）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）.
20．（2021九上·武汉期末）按要求解下列方程：
（1）用配方法解：x2﹣4x+1＝0.
（2）用公式法解： .
21．（2021·十堰）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
22．（2020·南充）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
23．（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
25．（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：a≠0且 ，即
，
解得： 且 ，
故答案为：D.
【分析】 由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得a≠0且 ，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，
故答案为：D．
【分析】根据表格中的数据求解即可。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故答案为：A．
【分析】先求出x2-8x=2，再求出x2-8x+16=18，最后配方计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， ， ，
若使 有实数根，则 ，
解得， ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】通过根与系数之间的关系得到 ， ，由 可求出m的值，通过方程有实数根可得到 ，从而得到m的取值范围，确定m的值.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴以 ， 为根的一元二次方程为 ．
故答案为：A．
【分析】由x12+x22=5，利用完全平方式将其变形，利用整体代入求出x1·x2的值，然后根据根与系数的关系判断即可.
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设小道的宽为 ，
则种植部分的长为 ，宽为
由题意得： ．
故答案为：C．
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
13．【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵实数a、b满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： .
【分析】根据非负数之和等于0的性质分别列式求出a、b，代入一元二次方程，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将原式变形代值计算即可.
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
17．【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，
由题意得： ，
即 ，
故答案为： 或 ．
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 根据：雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比， 列出方程即可.
18．【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
19．【答案】（1）解：
∴
∴
（2）解：
∴ 或 ，
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，首项移项，将常数项移到方程的右边，接着配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而根据直接开平方法求解即可；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
20．【答案】（1）解： ，
∵x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝ ，
∴x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；
（2）解： ，
∵a＝1，b＝﹣ ，c＝﹣ ，
∴△＝（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）＝3＞0，
则x＝ ，
即x1＝ ，x2＝ .
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）根据一元二次方程的求根公式“x=”计算即可求解.
21．【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得
（2）解：设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；
（2）设该方程的两个根为 、 ，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得 ， ，可得m的范围，然后求出其整数解即可.
22．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
23．【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.
根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
24．【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
25．【答案】（1） ，2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
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