北师版数学九年级上册同步训练《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》
一、单选题
1．（2021·临沂）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
2．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
3．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
4．（2021九下·郓城月考）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8
B．10或
C．10或8
D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8
当8为直角边时，第三边
当8为斜边长时，第三边
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
5．（2021九下·邢台月考）方程 的解为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】将方程右边的式子移到方程的左边，再对方程左边的式子因式分解，解出x的值即可．
6．（2021九下·江油开学考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4 （x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，
因式分解，可得(a-1)(a+5)=0，
∴a=1或a=-5（舍去），
∴x2-2x+1=1.
故答案为：C.
【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可.
7．（2021九上·盐池期末）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（ ）
A．x= B．x=3
C．x1= ，x2=3 D．x1=﹣ ，x2=3
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
，
或 ，
， .
故答案为：C.
【分析】通过因式分解法求解方程即可；
8．（2021九上·山丹期末）下列说法中，正确的说法有（ ）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②一元二次方程 的根是 ， ；
③两个相似三角形的周长的比为 ，则它们的面积的比为 ；
④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；
②一元二次方程x2-3x-4=0
（x-4）（x+1）=0
x-4=0或x=1=0
x1=4，x2=-1，故②正确；
③两个相似三角形的周长的比为 ，则它们的面积的比为 ，故③正确；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定定理对①作判断；求解一元二次方程对② 作判断；根据相似三角形的性质对 ③ 作判断；根据正方形的判定定理对 ④ 作判断；根据矩形的判定判定定理对 ⑤ 作判断.
9．（2020九上·迁安月考）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy-y2=0的，则 （ ）
A．1 B．1或 C．1或﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2﹣2xy-y2=0
（3x+y）(x-y)=0
∴3x+y=0或x-y=0
解得： 或 1，
故答案为：C．
【分析】运用因式分解法解出方程即可求出结论．
10．（2020九上·湖里月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．12-6 B．6 +12 C．4+2 D．4-2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】x2+2x－3=0，
（x－1）（x+3）=0，
即x=1或－3，
a=1，
AE=EB=EC=1，
在Rt 中，AB= ，BC=2，
的周长=2（AB+BC）=4+ ．
故答案为：C．
【分析】先解方程求得a的值，再根据勾股定理求得AB的长度，从而计算出 的周长即可．
二、填空题
11．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
12．（2020·山西）如图是一张长 ，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】设底面长为a，宽为b，正方形边长为x，
由题意得： ，
解得a=10－2x，b=6－x，代入ab=24中得： (10－2x)(6－x)=24，
整理得：2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【分析】根据题意设出未知数，列出三组等式解出即可．
13．（2020九上·玉屏月考）当x= 时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等.
【答案】1或-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】x2＋4x＝2x＋3，整理得，x2＋2x 3＝0，解得，x1＝1，x2＝ 3，
∴当x＝ 3或1时，代数式x2＋4x的值与代数式2x＋3的值相等.
故答案为：1或-3.
【分析】根据两个代数式的值相等可得关于x的方程，解方程即可求解.
14．（2020·常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．
【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1 ，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
15．（2021·十堰模拟）已知实数 ， ， ， 满足 ，若 ，则 .
【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
，即 ，
因式分解得： ，
解得： .
故答案为： 或 .
【分析】利用新定义可得到关于a的方程；再利用因式分解法求出方程的解.
16．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
三、解答题
17．（2021·齐齐哈尔）解方程： ．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
18．（2021·黑龙江模拟）解方程： ．
【答案】解：
，
，
，
或 ，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
19．（2021·泸县模拟）解方程： .
【答案】解：移项得： ，
提公因式x-1得： ，
∴ 或 ，
解得： ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：左右两边含有公因式（x-1），由此先移项，再利用因式分解法求出方程的解.
20．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
21．（2021九上·防城港期末）解方程：x2﹣1＝3（x+1）.
【答案】解：
整理得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程整理为 再利用因式分解把方程化为： 从而可得答案.
22．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
23．（2020九上·平定月考）阅读例题，解答下题．
范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0
解：⑴当x+1≥0，即x≥﹣1时，
x2+x+1﹣1=0
x2+x=0
解得x1=0
，x2=﹣1
⑵当x+1<0，即x<﹣1时，
x2﹣(x+1)﹣1=0
x2﹣x﹣2=0
解得x1=﹣1，x2=2
∵x<﹣1，∴x1=﹣1，x2=2都舍去.
综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1
依照上例解法，解方程：x2﹣2∣x－2∣－4=0
【答案】(1)当x﹣2≥0，即x≥2时，
x2﹣2（x﹣2）﹣4=0
x2-2x=0
解得x1=0，x2=2
∵x≥2，∴x1=0 舍去
⑵当x﹣2<0，即x<2时，
x2+2（x﹣2）﹣4=0
x2+2x﹣8=0
解得x1=﹣4 ，x2=2
∵x<2，∴x2=2舍去.
综上所述，原方程的解是x1=2，x2=﹣4.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】根据题中所给的材料把绝对值符号内的x+2分两种情况讨论（x+2≥0和x+2＜0），去掉绝对值符号后再解方程求解．
24．（2019九上·洛阳期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程.
序号 方程 方程的解
1 x2+x﹣2﹣＝0 x1＝﹣2 x2＝1
2 x2+2x﹣8﹣＝0 x1＝﹣4 x2＝2
3 x2+3x﹣18＝0 x1＝ x2＝
… … … …
（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；
（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解.
（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解.
【答案】（1）-6|3
（2）解：方程规律：x2+1 x﹣12 2＝0，
x2+2 x﹣22 2＝0，
x2+3 x﹣32 2＝0，
即第10个方程为：x2+10x﹣102 2＝0，
所以第10个方程为：x2+10x﹣200＝0，
解得x＝ ，
∴x1＝10，x2＝﹣20
（3）解：由（2）得：第n个方程为：x2+nx﹣2n2＝0，
方程的两根为：x1＝﹣2n，x2＝n
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵x2+3x﹣18＝0
即（x+6）（x﹣3）＝0
∴x+6＝0或x﹣3＝0
∴x1＝﹣6，x2＝3；
故答案为：-6，3；
【分析】（1）观察表格中的方程和方程的解可知：方程的解分别为x1=-2n,x2=n，根据这个规律可求解；
（2）观察表格中的方程可知：方程中的二次项系数为1，一次项系数为n,常数项为-2n2，结合（1）的规律和一元二次方程的求根公式x=可求解；
（3）结合（1）和（2）的规律可求解.
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》
一、单选题
1．（2021·临沂）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
3．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
4．（2021九下·郓城月考）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8
B．10或
C．10或8
D．
5．（2021九下·邢台月考）方程 的解为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
6．（2021九下·江油开学考）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4 （x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
7．（2021九上·盐池期末）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（ ）
A．x= B．x=3
C．x1= ，x2=3 D．x1=﹣ ，x2=3
8．（2021九上·山丹期末）下列说法中，正确的说法有（ ）
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②一元二次方程 的根是 ， ；
③两个相似三角形的周长的比为 ，则它们的面积的比为 ；
④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020九上·迁安月考）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy-y2=0的，则 （ ）
A．1 B．1或 C．1或﹣ D．﹣
10．（2020九上·湖里月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．12-6 B．6 +12 C．4+2 D．4-2
二、填空题
11．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
12．（2020·山西）如图是一张长 ，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
13．（2020九上·玉屏月考）当x= 时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等.
14．（2020·常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．
15．（2021·十堰模拟）已知实数 ， ， ， 满足 ，若 ，则 .
16．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
三、解答题
17．（2021·齐齐哈尔）解方程： ．
18．（2021·黑龙江模拟）解方程： ．
19．（2021·泸县模拟）解方程： .
20．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
21．（2021九上·防城港期末）解方程：x2﹣1＝3（x+1）.
22．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
23．（2020九上·平定月考）阅读例题，解答下题．
范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0
解：⑴当x+1≥0，即x≥﹣1时，
x2+x+1﹣1=0
x2+x=0
解得x1=0
，x2=﹣1
⑵当x+1<0，即x<﹣1时，
x2﹣(x+1)﹣1=0
x2﹣x﹣2=0
解得x1=﹣1，x2=2
∵x<﹣1，∴x1=﹣1，x2=2都舍去.
综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1
依照上例解法，解方程：x2﹣2∣x－2∣－4=0
24．（2019九上·洛阳期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程.
序号 方程 方程的解
1 x2+x﹣2﹣＝0 x1＝﹣2 x2＝1
2 x2+2x﹣8﹣＝0 x1＝﹣4 x2＝2
3 x2+3x﹣18＝0 x1＝ x2＝
… … … …
（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；
（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解.
（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8
当8为直角边时，第三边
当8为斜边长时，第三边
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】将方程右边的式子移到方程的左边，再对方程左边的式子因式分解，解出x的值即可．
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，
因式分解，可得(a-1)(a+5)=0，
∴a=1或a=-5（舍去），
∴x2-2x+1=1.
故答案为：C.
【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
，
或 ，
， .
故答案为：C.
【分析】通过因式分解法求解方程即可；
8．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；
②一元二次方程x2-3x-4=0
（x-4）（x+1）=0
x-4=0或x=1=0
x1=4，x2=-1，故②正确；
③两个相似三角形的周长的比为 ，则它们的面积的比为 ，故③正确；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定定理对①作判断；求解一元二次方程对② 作判断；根据相似三角形的性质对 ③ 作判断；根据正方形的判定定理对 ④ 作判断；根据矩形的判定判定定理对 ⑤ 作判断.
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2﹣2xy-y2=0
（3x+y）(x-y)=0
∴3x+y=0或x-y=0
解得： 或 1，
故答案为：C．
【分析】运用因式分解法解出方程即可求出结论．
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】x2+2x－3=0，
（x－1）（x+3）=0，
即x=1或－3，
a=1，
AE=EB=EC=1，
在Rt 中，AB= ，BC=2，
的周长=2（AB+BC）=4+ ．
故答案为：C．
【分析】先解方程求得a的值，再根据勾股定理求得AB的长度，从而计算出 的周长即可．
11．【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】设底面长为a，宽为b，正方形边长为x，
由题意得： ，
解得a=10－2x，b=6－x，代入ab=24中得： (10－2x)(6－x)=24，
整理得：2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【分析】根据题意设出未知数，列出三组等式解出即可．
13．【答案】1或-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】x2＋4x＝2x＋3，整理得，x2＋2x 3＝0，解得，x1＝1，x2＝ 3，
∴当x＝ 3或1时，代数式x2＋4x的值与代数式2x＋3的值相等.
故答案为：1或-3.
【分析】根据两个代数式的值相等可得关于x的方程，解方程即可求解.
14．【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1 ，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
15．【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
，即 ，
因式分解得： ，
解得： .
故答案为： 或 .
【分析】利用新定义可得到关于a的方程；再利用因式分解法求出方程的解.
16．【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
17．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
18．【答案】解：
，
，
，
或 ，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
19．【答案】解：移项得： ，
提公因式x-1得： ，
∴ 或 ，
解得： ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：左右两边含有公因式（x-1），由此先移项，再利用因式分解法求出方程的解.
20．【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
21．【答案】解：
整理得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程整理为 再利用因式分解把方程化为： 从而可得答案.
22．【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
23．【答案】(1)当x﹣2≥0，即x≥2时，
x2﹣2（x﹣2）﹣4=0
x2-2x=0
解得x1=0，x2=2
∵x≥2，∴x1=0 舍去
⑵当x﹣2<0，即x<2时，
x2+2（x﹣2）﹣4=0
x2+2x﹣8=0
解得x1=﹣4 ，x2=2
∵x<2，∴x2=2舍去.
综上所述，原方程的解是x1=2，x2=﹣4.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】根据题中所给的材料把绝对值符号内的x+2分两种情况讨论（x+2≥0和x+2＜0），去掉绝对值符号后再解方程求解．
24．【答案】（1）-6|3
（2）解：方程规律：x2+1 x﹣12 2＝0，
x2+2 x﹣22 2＝0，
x2+3 x﹣32 2＝0，
即第10个方程为：x2+10x﹣102 2＝0，
所以第10个方程为：x2+10x﹣200＝0，
解得x＝ ，
∴x1＝10，x2＝﹣20
（3）解：由（2）得：第n个方程为：x2+nx﹣2n2＝0，
方程的两根为：x1＝﹣2n，x2＝n
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵x2+3x﹣18＝0
即（x+6）（x﹣3）＝0
∴x+6＝0或x﹣3＝0
∴x1＝﹣6，x2＝3；
故答案为：-6，3；
【分析】（1）观察表格中的方程和方程的解可知：方程的解分别为x1=-2n,x2=n，根据这个规律可求解；
（2）观察表格中的方程可知：方程中的二次项系数为1，一次项系数为n,常数项为-2n2，结合（1）的规律和一元二次方程的求根公式x=可求解；
（3）结合（1）和（2）的规律可求解.
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