北师版数学九年级上册同步训练《2.6 应用一元二次方程》
一、单选题
1．（2021·柳州模拟）广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的游泳池，其底面周长为100 m，设游泳池的底面长方形的长为x m，要使游泳池的底面面积为400 m2，则可列方程为（ ）
A．x（100-x）=400 B．2x（100-2x）=400
C．x（100-2x）=400 D．x（50-x）=400
2．（2021·义安模拟）用总长 的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是一个矩形，窗框的总面积为 （材料的厚度忽略不计）.若设等腰直角三角形的斜边长为 ，则下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2021·滨江模拟）用一条长60cm的绳子怎样围成一个面积为200cm2的矩形？设矩形的一边为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（30+x）＝200 B．x（30﹣x）＝200
C．x（x+60）＝200 D．x（60﹣x）＝200
4．（2021·佳木斯模拟）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
5．（2021·和平模拟）如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·北部湾模拟）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·花溪模拟）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2021九上·平昌期末）一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·紫阳期末）由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某家餐厅重新开张，开业第一天收入约为3020元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为4350元.设每天的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·桂林）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
二、填空题
11．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
12．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为 尺.
13．（2021·济南模拟）由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
14．（2021九上·来宾期末）如图，在一个长为40 m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中 ，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为 ，那么 m.
15．（2020九上·厦门期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
16．（2020九上·鼓楼期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是 .
三、解答题
17．（2021·黄梅模拟）某种肺炎病毒在A国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性，一个病毒携带者与10个人有密切接触，其中的6人会感染病毒，成为新的病毒携带者.在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有169人检测出携带病毒.假如每个病毒携带者每次的密切接触者人数都相同，求每个病毒携带者每次的密切接触了多少人？
18．（2021八下·淮阴期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动.某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元.某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？
19．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.
20．（2021·山西）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
21．（2021·庆阳模拟）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
22．（2021九上·邵阳期末）某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m
由题意可得：x（50-x）=400.
故答案为：D.
【分析】设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m，然后根据“游泳池的底面面积为400 m2”的等量关系列方程即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为 ，则等腰直角三角形的直角边长为 ，矩形的宽为 ，由此得到
，即为 ，
故答案为：D．
【分析】先求出，再求解即可。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设矩形的一边为xcm，则另一边长为（30-x）cm，
根据题意得：x（30-x）=200.
故答案为：B.
【分析】设矩形的一边为xcm，根据周长为60cm得出另一边长为（30-x）cm，再根据矩形的面积为200cm2，列出方程即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价定为 元时，每天赚取利润8000元，
由已知得： ，
整理得： ，
解得： 或
∵尽量减少库存，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 或 ，最后求解即可。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽为 米，则6个小矩形可合成长为 米，宽为 米，
根据题意： ，
故答案为：B．
【分析】本题考查一元二次方程在几何问题中的实际应用。找清等量关系，列出一元二次方程是关键。由平移得由六个小长方形面积的和=长为（30-2x）×宽为（15-x）的长方形面积，列出方程即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
，
故答案为：A.
【分析】设每盆应该多植x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利（5-0.5x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=每盘的总盈利即可得出方程.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）.
故答案为：A.
【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据单价利润×每天的产量=一天的总利润，列出方程，求解并检验即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故答案为：C.
【分析】第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的有（x+1)人，则传染了（x+1)人，根据共有121人列出方程即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意可得：第二天的收入约为：3020(1+x)，第三天的收入约为3020(1+x)(1+x)=3020(1+x)2，
故可列出方程3020(1+x)2=4350.
故答案为：C.
【分析】首先利用第一天的收入以及增长率表示出第二天的收入，进而表示出第三天的收入，然后根据第三天的收入约为4350元就可列出满足题意的方程.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110.
故答案为：D.
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.
11．【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
12．【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
13．【答案】5.2m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可知小长方形的面积为： 1.6÷10=0.16m2，设小长方形的宽为xm，则小长方形的长为：4xm，因此可得小长方形的面积为4x2=0.16，解得小长方形的宽为x=0.2m，所以大长方形的宽为5×0.2=1m，长为：8x=8×0.2=1.6m，所以大长方形的周长为：（1+1.6）×2=5.2m.
【分析】先求出4x2=0.16，再求出x=0.2m，最后计算求解即可。
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40 2x）（26 x）=864，
整理，得x2 46x+88=0.
解得，x1=2，x2=44.
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x=2.
答：小道进出口的宽度应为2米.
故答案为：2.
【分析】 由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
15．【答案】55
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x 40）[200＋（60 x）×20]＝ 20（x 55）2＋4500，
∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝4500．
故答案为：55．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少时，利润最大。
16．【答案】25或36
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：
∴
∴
∴x-3=2或3.
答：这个两位数是25或36.
故答案为：25或36.
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解.
17．【答案】解：设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人.
根据题意得：1＋x＋x（1＋x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝－14（不合实际，舍去）
12÷ ＝20（人）
答：每个病毒携带者每次的密切接触了20人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设每个病毒携带者每次感染x人，所以，从开始的1个病毒携带者，经过第一轮传播x人后 ，总病毒携带者为（1+x）人.在此基础上，第二轮传播后，就会新感染x(1＋x)人.所以，在第二轮传播后，总的病毒携带者人数为[(1+x)+x(1＋x)]人，所以可得方程1+x+x(1＋x)=169，解方程，根据实际情况，可得x=12.因为被传播感染人数占密切接触人数的，所以，12÷=20，即为病毒携带者每次的密切接触了20人.
18．【答案】解：设该单位这次共有x名员工去旅游，由题意得：
∵25×2000=50000＜54000，
∴人数比25人多，
∴
解得： ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
答：共有30名员工去旅游.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每.人的旅游费用x人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.即可由超过25人的人数为(x - 25)人，每人降低20元，共降低了40(x - 25)元.实际每人收了[2000- 40(x - 25)]元，列出方程求解.
19．【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意.
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答.
20．【答案】解：设这个最小数为 ．
根据题意，得 ．
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设这个最小数为 ．根据“最小数与最大数的乘积为65”，列出方程求解即可。
21．【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3.由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答：周瑜去世的年龄为36岁.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3 ，根据“个位平方与寿符 ”构建方程求解，即可解答.
22．【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴299﹣x＝279.
答：每件衬衫定价应为279元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据平均每天盈利=单价利润×平均每天的销量，据此列出方程，解之并检验即可.
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《2.6 应用一元二次方程》
一、单选题
1．（2021·柳州模拟）广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的游泳池，其底面周长为100 m，设游泳池的底面长方形的长为x m，要使游泳池的底面面积为400 m2，则可列方程为（ ）
A．x（100-x）=400 B．2x（100-2x）=400
C．x（100-2x）=400 D．x（50-x）=400
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m
由题意可得：x（50-x）=400.
故答案为：D.
【分析】设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m，然后根据“游泳池的底面面积为400 m2”的等量关系列方程即可.
2．（2021·义安模拟）用总长 的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是一个矩形，窗框的总面积为 （材料的厚度忽略不计）.若设等腰直角三角形的斜边长为 ，则下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为 ，则等腰直角三角形的直角边长为 ，矩形的宽为 ，由此得到
，即为 ，
故答案为：D．
【分析】先求出，再求解即可。
3．（2021·滨江模拟）用一条长60cm的绳子怎样围成一个面积为200cm2的矩形？设矩形的一边为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（30+x）＝200 B．x（30﹣x）＝200
C．x（x+60）＝200 D．x（60﹣x）＝200
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设矩形的一边为xcm，则另一边长为（30-x）cm，
根据题意得：x（30-x）=200.
故答案为：B.
【分析】设矩形的一边为xcm，根据周长为60cm得出另一边长为（30-x）cm，再根据矩形的面积为200cm2，列出方程即可.
4．（2021·佳木斯模拟）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价定为 元时，每天赚取利润8000元，
由已知得： ，
整理得： ，
解得： 或
∵尽量减少库存，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出 或 ，最后求解即可。
5．（2021·和平模拟）如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽为 米，则6个小矩形可合成长为 米，宽为 米，
根据题意： ，
故答案为：B．
【分析】本题考查一元二次方程在几何问题中的实际应用。找清等量关系，列出一元二次方程是关键。由平移得由六个小长方形面积的和=长为（30-2x）×宽为（15-x）的长方形面积，列出方程即可。
6．（2021·北部湾模拟）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
，
故答案为：A.
【分析】设每盆应该多植x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利（5-0.5x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=每盘的总盈利即可得出方程.
7．（2021·花溪模拟）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）.
故答案为：A.
【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据单价利润×每天的产量=一天的总利润，列出方程，求解并检验即可.
8．（2021九上·平昌期末）一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故答案为：C.
【分析】第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的有（x+1)人，则传染了（x+1)人，根据共有121人列出方程即可.
9．（2021九上·紫阳期末）由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某家餐厅重新开张，开业第一天收入约为3020元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为4350元.设每天的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意可得：第二天的收入约为：3020(1+x)，第三天的收入约为3020(1+x)(1+x)=3020(1+x)2，
故可列出方程3020(1+x)2=4350.
故答案为：C.
【分析】首先利用第一天的收入以及增长率表示出第二天的收入，进而表示出第三天的收入，然后根据第三天的收入约为4350元就可列出满足题意的方程.
10．（2020·桂林）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110.
故答案为：D.
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.
二、填空题
11．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
12．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为 尺.
【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
13．（2021·济南模拟）由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
【答案】5.2m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可知小长方形的面积为： 1.6÷10=0.16m2，设小长方形的宽为xm，则小长方形的长为：4xm，因此可得小长方形的面积为4x2=0.16，解得小长方形的宽为x=0.2m，所以大长方形的宽为5×0.2=1m，长为：8x=8×0.2=1.6m，所以大长方形的周长为：（1+1.6）×2=5.2m.
【分析】先求出4x2=0.16，再求出x=0.2m，最后计算求解即可。
14．（2021九上·来宾期末）如图，在一个长为40 m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中 ，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为 ，那么 m.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40 2x）（26 x）=864，
整理，得x2 46x+88=0.
解得，x1=2，x2=44.
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x=2.
答：小道进出口的宽度应为2米.
故答案为：2.
【分析】 由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
15．（2020九上·厦门期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】55
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x 40）[200＋（60 x）×20]＝ 20（x 55）2＋4500，
∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝4500．
故答案为：55．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少时，利润最大。
16．（2020九上·鼓楼期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是 .
【答案】25或36
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：
∴
∴
∴x-3=2或3.
答：这个两位数是25或36.
故答案为：25或36.
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解.
三、解答题
17．（2021·黄梅模拟）某种肺炎病毒在A国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性，一个病毒携带者与10个人有密切接触，其中的6人会感染病毒，成为新的病毒携带者.在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有169人检测出携带病毒.假如每个病毒携带者每次的密切接触者人数都相同，求每个病毒携带者每次的密切接触了多少人？
【答案】解：设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人.
根据题意得：1＋x＋x（1＋x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝－14（不合实际，舍去）
12÷ ＝20（人）
答：每个病毒携带者每次的密切接触了20人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设每个病毒携带者每次感染x人，所以，从开始的1个病毒携带者，经过第一轮传播x人后 ，总病毒携带者为（1+x）人.在此基础上，第二轮传播后，就会新感染x(1＋x)人.所以，在第二轮传播后，总的病毒携带者人数为[(1+x)+x(1＋x)]人，所以可得方程1+x+x(1＋x)=169，解方程，根据实际情况，可得x=12.因为被传播感染人数占密切接触人数的，所以，12÷=20，即为病毒携带者每次的密切接触了20人.
18．（2021八下·淮阴期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动.某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元.某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？
【答案】解：设该单位这次共有x名员工去旅游，由题意得：
∵25×2000=50000＜54000，
∴人数比25人多，
∴
解得： ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
答：共有30名员工去旅游.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每.人的旅游费用x人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.即可由超过25人的人数为(x - 25)人，每人降低20元，共降低了40(x - 25)元.实际每人收了[2000- 40(x - 25)]元，列出方程求解.
19．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.
【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意.
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答.
20．（2021·山西）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】解：设这个最小数为 ．
根据题意，得 ．
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设这个最小数为 ．根据“最小数与最大数的乘积为65”，列出方程求解即可。
21．（2021·庆阳模拟）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3.由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答：周瑜去世的年龄为36岁.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3 ，根据“个位平方与寿符 ”构建方程求解，即可解答.
22．（2021九上·邵阳期末）某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？
【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴299﹣x＝279.
答：每件衬衫定价应为279元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据平均每天盈利=单价利润×平均每天的销量，据此列出方程，解之并检验即可.
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