北师版数学九年级上册同步训练《2.2 用配方法求解一元二次方程》
一、单选题
1．（2021九上·鄂州期末）用配方法解方程 的过程中，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得， ，
配方得， ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】用配方法解方程即可.
2．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
3．（2021·东昌府模拟）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故答案为：B．
【分析】先将常数项3移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
4．（2021·泸县模拟）将一元二次方程 配方，其正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
配方得： ，即 .
故答案为：D.
【分析】在方程的两边同时加上1，再将方程左边写成完全平方，可得答案.
5．（2021九上·宜州期末）若用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2－4x=5，
x2－4x+4=9，
（x－2）2=9.
故答案为：B.
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方4，然后将方程左边写成完全平方式，可得答案.
6．（2020九上·龙岗期中）一元二次方程2x2＋6x＋3＝ 0 经过配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＝ 3，
∴x2＋3x＝ ，
则x2＋3x＋ ＝ ＋ ，即（x＋ ）2＝ ，
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
7．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
8．（2020九上·晋州期中）把方程 配方成 的形式，结果应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得出结果.
【分析】根据配方法求解即可。
9．（2020九上·新余月考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A． 化为
B． 化为
C． 化为
D． 化为
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、 化为 ；
B、 化为 ；
C、 化为 ；
D、 化为 ；
故答案为：C．
【分析】利用配方法的计算方法逐项判定求解即可。
10．（2020九上·南关期中）若用配方法解方程 ，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
∴
故答案为：C
【分析】利用配方法逐项判定即可。
二、填空题
11．（2021九上·秦淮期末）将一元二次方程 变形为 的形式为 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得
即
故答案为： .
【分析】根据配方法的步骤，先把常数项移到方程的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，再把方程的左边写成完全平方的形式，右边合并同类项，即可得出答案.
12．（2020九上·邢台月考）当 时，代数式 的值等于 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4，
配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5，
开方得：x-1=± ，
解得：x=1± ．
故答案为1± ．
【分析】根据题意得：3x2-6x=12，利用配方法求解即可。
13．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
14．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
15．（2019九上·盐城月考）一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a= .
【答案】6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意，(x 3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.
【分析】将方程 (x-3)2=3 展开，可得x2-6x+6=0，从而求出a值.
16．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
三、解答题
17．（2020·深圳模拟）解方程： x2﹣x﹣1＝0．
【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
18．（2021·兰州模拟）用配方法解方程： .
【答案】解：
，
解得 ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；其次配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方36，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项；最后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
19．（2021九上·富平期末）用配方法解方程： .
【答案】解： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程的步骤依次移项、配上一次项系数一半的平方，写成完全平方形式，最后开方可得.
20．（2020九上·宁城期末）用配方法解方程2x2-6x+1=0
【答案】解：2x2-6x+1=0，
二次项系数化为1得， ，
移项得， ，
两边加上一次项系数一半的平方得， ，
配方得， ，
开方得， ，
∴x1= ，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把二次项系数化为1，再配方，然后用直接开方法解方程即可．
21．（2021·武汉模拟）解方程：2x2﹣5x+1=0
【答案】解：∵2x2-5x=-1，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴x=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
22．（2020·石家庄模拟）已知多项式 ．
（1）化简多项式 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是 ；请写出正确的解答过程 ．
（2）小亮说：“只要给出 的合理的值，即可求出多项式 的值．”小明给出 值为4，请你求出此时 的值．
小明的作业
解：
【答案】（1）①；正确的解答过程如下：
（2）解：
或
或
方法一：
当 时，
当 时，
方法二：
当 时，
当 时，
综上，此时 的值为10或 ．
【知识点】整式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x的值，再代入（1）中的化简结果即可得．
23．（2019九上·蠡县期中）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性．
【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）解：x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴x1＝1，x2＝8
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
24．（2019九上·平定月考）阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解：
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。
所以(x＋1)2＝36，则 x＝5.
任务：请回答下列问题
（1）上述求解过程中所用的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
（3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形
【答案】（1）C
（2）B
（3）解：如图所示，
大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16，
而x2+8x 9=x2+8x+16 25=0.
所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1.
【知识点】列式表示数量关系；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法，
故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的，
故答案为：B.
【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题．
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《2.2 用配方法求解一元二次方程》
一、单选题
1．（2021九上·鄂州期末）用配方法解方程 的过程中，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
3．（2021·东昌府模拟）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·泸县模拟）将一元二次方程 配方，其正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·宜州期末）若用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·龙岗期中）一元二次方程2x2＋6x＋3＝ 0 经过配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2020九上·晋州期中）把方程 配方成 的形式，结果应是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020九上·新余月考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A． 化为
B． 化为
C． 化为
D． 化为
10．（2020九上·南关期中）若用配方法解方程 ，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·秦淮期末）将一元二次方程 变形为 的形式为 .
12．（2020九上·邢台月考）当 时，代数式 的值等于 ．
13．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
14．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
15．（2019九上·盐城月考）一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a= .
16．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
三、解答题
17．（2020·深圳模拟）解方程： x2﹣x﹣1＝0．
18．（2021·兰州模拟）用配方法解方程： .
19．（2021九上·富平期末）用配方法解方程： .
20．（2020九上·宁城期末）用配方法解方程2x2-6x+1=0
21．（2021·武汉模拟）解方程：2x2﹣5x+1=0
22．（2020·石家庄模拟）已知多项式 ．
（1）化简多项式 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是 ；请写出正确的解答过程 ．
（2）小亮说：“只要给出 的合理的值，即可求出多项式 的值．”小明给出 值为4，请你求出此时 的值．
小明的作业
解：
23．（2019九上·蠡县期中）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性．
24．（2019九上·平定月考）阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解：
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。
所以(x＋1)2＝36，则 x＝5.
任务：请回答下列问题
（1）上述求解过程中所用的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
（3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得， ，
配方得， ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】用配方法解方程即可.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故答案为：B．
【分析】先将常数项3移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
配方得： ，即 .
故答案为：D.
【分析】在方程的两边同时加上1，再将方程左边写成完全平方，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2－4x=5，
x2－4x+4=9，
（x－2）2=9.
故答案为：B.
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方4，然后将方程左边写成完全平方式，可得答案.
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＝ 3，
∴x2＋3x＝ ，
则x2＋3x＋ ＝ ＋ ，即（x＋ ）2＝ ，
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得出结果.
【分析】根据配方法求解即可。
9．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、 化为 ；
B、 化为 ；
C、 化为 ；
D、 化为 ；
故答案为：C．
【分析】利用配方法的计算方法逐项判定求解即可。
10．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
∴
故答案为：C
【分析】利用配方法逐项判定即可。
11．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得
即
故答案为： .
【分析】根据配方法的步骤，先把常数项移到方程的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，再把方程的左边写成完全平方的形式，右边合并同类项，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4，
配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5，
开方得：x-1=± ，
解得：x=1± ．
故答案为1± ．
【分析】根据题意得：3x2-6x=12，利用配方法求解即可。
13．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
14．【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
15．【答案】6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意，(x 3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.
【分析】将方程 (x-3)2=3 展开，可得x2-6x+6=0，从而求出a值.
16．【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
17．【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
18．【答案】解：
，
解得 ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；其次配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方36，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项；最后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
19．【答案】解： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程的步骤依次移项、配上一次项系数一半的平方，写成完全平方形式，最后开方可得.
20．【答案】解：2x2-6x+1=0，
二次项系数化为1得， ，
移项得， ，
两边加上一次项系数一半的平方得， ，
配方得， ，
开方得， ，
∴x1= ，x2=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先把二次项系数化为1，再配方，然后用直接开方法解方程即可．
21．【答案】解：∵2x2-5x=-1，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴x=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
22．【答案】（1）①；正确的解答过程如下：
（2）解：
或
或
方法一：
当 时，
当 时，
方法二：
当 时，
当 时，
综上，此时 的值为10或 ．
【知识点】整式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x的值，再代入（1）中的化简结果即可得．
23．【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）解：x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴x1＝1，x2＝8
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
24．【答案】（1）C
（2）B
（3）解：如图所示，
大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16，
而x2+8x 9=x2+8x+16 25=0.
所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1.
【知识点】列式表示数量关系；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法，
故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的，
故答案为：B.
【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题．
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