【精品解析】湘教版数学九年级上册同步训练《第1章 反比例函数》单元检测A卷

湘教版数学九年级上册同步训练《第1章 反比例函数》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·阜新）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·达州）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·温州）如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 .若 ， ， ，则 的值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2021·宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 时，x的取值范围是（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
5．（2021·大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；②点 在反比例函数 的图象上；③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点， 的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．（2021·本溪·辽阳·葫芦岛）反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则直线 不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数 的图象同时经过顶点 ．若点C的横坐标为5， ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（　　）
A．-12 B．-42 C．42 D．-21
10．（2020·鹤岗）如图，正方形 的两个顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点 ，已知 ，则 的值是（　　）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 1
11．（2020·滨州）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
12．（2021·南通）平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限.设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交y轴于C，D两点，则 的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13．（2021·宿迁）如图，点A、B在反比例函数 的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 =　 　.
14．（2021·玉林）如图， 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴双曲线 过A，B两点，过点C作 轴交双曲线于点D，若 ，则k的值是　 　.
15．（2021·南京）如图，正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点， 轴， 轴，则 　 　.
16．（2021·武汉）已知点 ， 在反比例函数 （ 是常数）的图象上，且 ，则 的取值范围是　 　.
17．（2021·枣庄）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，其中点 的横坐标为1．当 时， 的取值范围是　 　．
18．（2021·齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数 图象上一点， 轴于点C且与反比例函数 的图象交于点B， ，连接OA，OB，若 的面积为6，则 　 　．
三、解答题
19．（2021·百色）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式.
20．（2021·随县）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， .
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接 ，求 的面积.
21．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，坐标原点是 的中点， ， ，双曲线 经过点 .
（1）求 ；
（2）直线 与双曲线 在第四象限交于点 .求 的面积.
22．（2021·黄冈）如图，反比例函数 上的图象与一次函数 的图象相交于 ， 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线 交y轴于点C，点 是正半轴上的一个动点，过点N作 轴交反比例函数 的图象于点M，连接 ， .若 ，求t的取值范围.
23．（2021·广安）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点 在 轴上，且满足 的面积等于4，请直接写出点 的坐标.
24．（2021·新疆）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点 是否在一次函数 的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式 的解集.
25．（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： 　 　， 　 　， 　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点A以及点B横坐标的大小，判断得到纵坐标的大小即可。
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为 ，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵ 轴
∴A（ ，n）
∴ ，解得，n= ，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中， ，
由勾股定理得，
解得， （负值舍去）
∴
故答案为：B
【分析】设OD=m，根据题意求得k=m，设AC=n，则可得出A（ ，n），根据反比例函数的性质构建等式求出AE=AC=，在Rt△AEF中，根据勾股定理构建方程求出m，即可求出k值.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当 或 时，正比例函数 的图象在反比例函数 的图象的上方，
∴当 或 时， ，
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象的关于原点对称确定A点的横坐标，然后结合图象找出正比例函数图象在反比例函数图象的部分的x的范围即可.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，符合题意；
②把 代入反比例函数 得： ，
∴点 在反比例函数 的图象上，符合题意；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
∴说法正确的有①②；
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质对每个说法一一判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设D点坐标为 ，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为 ，C点纵坐标为 ，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为 ，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得 ，解得， ，
∴E点坐标为 ，
同理可得C点坐标为 ，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为 ，
∵点E为AC的中点， 的面积为1，
∴ ，即 ，可得， ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式，设D点坐标为 ，四边形ABCD是矩形，则A点坐标为 ，C点纵坐标为 ，利用中点坐标可得到点E的纵坐标，利用函数解析式求出点E的坐标，同理可求出点C和点F的坐标；利用点E为AC的中点，可求出△ACF的面积；然后求出k的值.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限内，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据反比例函数的图象在第二、四象限得到k<0，再根据一次函数图象与其系数的关系求解即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为5，
∴点 ， ，
∵ ，
∴设DE=x，BE=2x，则 ，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再利用勾股定理求出 （舍去），最后计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵当x=0时， ，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时， ，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE =∠BAO.
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-7×3=-21.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点B的坐标，即可求出OB的长；过点C作CE⊥x轴于E，利用垂直的定义及正方形的性质，去证明AB=BC，∠CBE =∠BAO；再利用AAS证明△AOB≌△BEC，利用全等三角形的对应边相等，可求出BE，OE的长，即可得到点C的坐标；然后利用待定系数法求出k的值。
10．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】把点B代入反比例函数 即可得出答案．
11．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线 上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
12．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线 与双曲线 相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得： 或
∵点A在第一象限，
∴ ， .
∵ 为双曲线 上一点，
∴ .
解得： .
∴ .
设直线AM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为 .
∵直线AM与y轴交于C点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设直线BM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为 .
∵直线BM与y轴交于D点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
=4.
故答案为：B.
【分析】联立 与 为方程组，求解即得A、B坐标，将 代入 中，可得，利用待定系数法求出AM解析式，从而求出点C坐标，即得OC的长，利用待定系数法求出BM解析式，从而求出点D坐标，即得OD的长，从而求出OC-OD的值.
13．【答案】8
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作 ，设 ，
的面积为12
B点是AC中点
B点坐标
B点在反比例图象上
又
故答案是：8.
【分析】作 ，设 ， ，根据中点坐标可得B点坐标 ，根据面积公式可得，再根据点B在反比例函数上可得，整理可得k的值.
14．【答案】3
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A坐标为（ ， ），
∵ 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴，
∴点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），
∵ 轴交双曲线于点D，
∴点D坐标为（ ， ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 .
故答案为：3
【分析】设点A坐标为（ ， ），由 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴可得点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），由 轴交双曲线于点D可得点D坐标为（ ， ），根据 可得k的值.
15．【答案】12
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设A（t， ），
∵正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点，
∴B（-t，- ），
∵ 轴， 轴，
∴C（t，- ），
∴ ；
故答案为：12.
【分析】利用函数解析式设A（t， ），再根据两函数图象交于点A，B，利用反比例函数的对称性，可表示出点B的坐标，从而可得到点C的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出△ABC的面积.
16．【答案】-1＜a＜0
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点 ， 在反比例函数 （ 是常数）的图象上，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-1＜a＜0.
【分析】由平方的非负性可得m2+1＞0，根据反比例函数的性质“图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小”并结合题意“y1＜y2”可得a＜a+1，于是可得关于b的不等式组a＜0，a+1＞0，解不等式组可求解.
17．【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点 的横坐标为 ，
不等式 表示的是正比例函数 的图象位于反比例函数 的图象的下方，
则 的取值范围是 或 ，
故答案为：x＜-1或0＜x＜1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
18．【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y= （x＜0）图象交于点B，
而 ＜0， ＜0，
∴S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即- =2，解得 =-4，
∵- =6+2，解得 =-16，
∴ + =-16-4=-20．
故答案为：-20．
【分析】先求出S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，再求出 =-4， =-16，最后求解即可。
19．【答案】（1）解：∵直线l⊥y轴，垂足为M
∴AM⊥OM
∴
∵A点的坐标为（m，3）
∴ ，
∴
解得
∴A点的坐标为（4，3）
∵A点在反比例函数 上
∴
解得
（2）解：设直线AB的解析式为
由(1)得A点的坐标为（4，3）
即 ，
∴
∵B在x正半轴上，且OB=OA
∴OB=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可得到OM，AM的长，再利用△AOM的面积为6，可求出m的长；由此可得到点A的坐标，然后利用待定系数法可求出k的值.
（2）根据点A的坐标，利用勾股定理求出OA的长，根据OA=OB，可求出OB的长，即可得到点B的坐标；根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式.
20．【答案】（1）解：∵双曲线 （m>0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴ ，解得， .
∴反比例函数的解析式为 .
∵直线 过点C（1，2）和D（2，1），
∴ ，解得， .
∴一次函数的解析式为
（2）解：当x=0时，y1=3，即B（0，3）.
∴ .
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵D（2，1），
∴DE=2.
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点C，D的坐标分别代入反比例函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到反比例函数解析式及点D的坐标；再将点C，D分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点B的坐标，可得到OB的长；过点D作DE⊥y轴于点E，可得到点D的坐标，求出DE的长，利用三角形的面积公式求出△BOD的面积.
21．【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可得： ， ，
∴设直线AC的解析式为 ，则把点A、C代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
联立 与反比例函数 可得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，利用直角三角形的性质求出，，从而求出CE=1，AE= ，继而得出点A坐标，将其代入中，即可求出k值；
（2）先求出直线AC解析式，联立反比例函数解析式，求解即得点D坐标，利用割补法可得∴ ，利用三角形的面积公式计算即可.
22．【答案】（1）解：将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ；
当 时， ，解得 ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为
（2）解：对于一次函数 ，
当 时， ，即 ，
，
轴，且 ，
， ，
，
，
，
解得
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式；由此可求出点A的坐标；再将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，由此可求出一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式可求出点C的坐标，利用MN⊥x轴及点N的坐标可求出点M的坐标，可得到ON，MN的长；然后根据S四边形COMN=S△CON+S△MON＞3，利用三角形的面积公式可得到关于t的不等式，然后求出不等式的解集.
23．【答案】（1）解：由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数 图象上，
∴ ，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为 ，
将A（-1，n）代入 ，
得： ，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得： ，
∴一次函数解析式为
（2）解：∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为 ，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即 ，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）由题意可设点P的坐标为（a，0），令y=0可得直线AB与x轴的交点坐标，根据S△ABP==4可求得a的值，则点P的坐标可求解.
24．【答案】（1）解：将点 代入反比例函数 中，得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
将点 代入 ，得-a=6，
∴a=-6，
∴ ，
将点 、 代入一次函数 中，得
，∴ ，
∴一次函数的解析式为
（2）解：点P在一次函数 的图象上.
理由：当x=-2时， ，
∴点P在一次函数 的图象上
（3）解：由图象可知：当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 ，
∴当 或 时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求解即可；
（2）直接将（-2，1）代入一次函数解析式中进行检验即可；
（3） 由图象可知：当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，据此即得结论.
25．【答案】（1）；3；4
（2）解：通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示，
根据图像可知：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大； 故答案为：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：要求不等式 的解集，
实际上求出函数 的图象位于函数 图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当 或 时，满图条件，
故答案为： 或 .
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，点 在该函数图象上，
∴将点 代入函数解析式可得： ，
解得： ，
∴原函数的解析式为： ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： ；3；4；
【分析】（1）利用表中点的坐标，可求出m的值，即可得到函数解析式；再求出当x=1和x=4时的函数值，可求出a，b的值.
（2）利用描点法画出该函数的图象，利用函数图象写出该函数的一条性质即可.
（3）观察函数 的图象位于函数 图象上方，利用交点坐标，可得到x的取值范围.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《第1章 反比例函数》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·阜新）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， 的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点A以及点B横坐标的大小，判断得到纵坐标的大小即可。
2．（2021·达州）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
3．（2021·温州）如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 .若 ， ， ，则 的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为 ，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵ 轴
∴A（ ，n）
∴ ，解得，n= ，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中， ，
由勾股定理得，
解得， （负值舍去）
∴
故答案为：B
【分析】设OD=m，根据题意求得k=m，设AC=n，则可得出A（ ，n），根据反比例函数的性质构建等式求出AE=AC=，在Rt△AEF中，根据勾股定理构建方程求出m，即可求出k值.
4．（2021·宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 时，x的取值范围是（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当 或 时，正比例函数 的图象在反比例函数 的图象的上方，
∴当 或 时， ，
故答案为：C.
【分析】先根据函数图象的关于原点对称确定A点的横坐标，然后结合图象找出正比例函数图象在反比例函数图象的部分的x的范围即可.
5．（2021·大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；②点 在反比例函数 的图象上；③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，符合题意；
②把 代入反比例函数 得： ，
∴点 在反比例函数 的图象上，符合题意；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
∴说法正确的有①②；
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质对每个说法一一判断求解即可。
6．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点， 的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设D点坐标为 ，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为 ，C点纵坐标为 ，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为 ，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得 ，解得， ，
∴E点坐标为 ，
同理可得C点坐标为 ，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为 ，
∵点E为AC的中点， 的面积为1，
∴ ，即 ，可得， ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式，设D点坐标为 ，四边形ABCD是矩形，则A点坐标为 ，C点纵坐标为 ，利用中点坐标可得到点E的纵坐标，利用函数解析式求出点E的坐标，同理可求出点C和点F的坐标；利用点E为AC的中点，可求出△ACF的面积；然后求出k的值.
7．（2021·本溪·辽阳·葫芦岛）反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则直线 不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限内，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据反比例函数的图象在第二、四象限得到k<0，再根据一次函数图象与其系数的关系求解即可。
8．（2021·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数 的图象同时经过顶点 ．若点C的横坐标为5， ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为5，
∴点 ， ，
∵ ，
∴设DE=x，BE=2x，则 ，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再利用勾股定理求出 （舍去），最后计算求解即可。
9．（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 ，且点C在反比例函数 的图象上，则k的值为（　　）
A．-12 B．-42 C．42 D．-21
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵当x=0时， ，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时， ，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE =∠BAO.
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-7×3=-21.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点B的坐标，即可求出OB的长；过点C作CE⊥x轴于E，利用垂直的定义及正方形的性质，去证明AB=BC，∠CBE =∠BAO；再利用AAS证明△AOB≌△BEC，利用全等三角形的对应边相等，可求出BE，OE的长，即可得到点C的坐标；然后利用待定系数法求出k的值。
10．（2020·鹤岗）如图，正方形 的两个顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点 ，已知 ，则 的值是（　　）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 1
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】把点B代入反比例函数 即可得出答案．
11．（2020·滨州）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线 上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
12．（2021·南通）平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限.设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交y轴于C，D两点，则 的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线 与双曲线 相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得： 或
∵点A在第一象限，
∴ ， .
∵ 为双曲线 上一点，
∴ .
解得： .
∴ .
设直线AM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为 .
∵直线AM与y轴交于C点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设直线BM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为 .
∵直线BM与y轴交于D点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
=4.
故答案为：B.
【分析】联立 与 为方程组，求解即得A、B坐标，将 代入 中，可得，利用待定系数法求出AM解析式，从而求出点C坐标，即得OC的长，利用待定系数法求出BM解析式，从而求出点D坐标，即得OD的长，从而求出OC-OD的值.
二、填空题
13．（2021·宿迁）如图，点A、B在反比例函数 的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 =　 　.
【答案】8
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作 ，设 ，
的面积为12
B点是AC中点
B点坐标
B点在反比例图象上
又
故答案是：8.
【分析】作 ，设 ， ，根据中点坐标可得B点坐标 ，根据面积公式可得，再根据点B在反比例函数上可得，整理可得k的值.
14．（2021·玉林）如图， 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴双曲线 过A，B两点，过点C作 轴交双曲线于点D，若 ，则k的值是　 　.
【答案】3
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A坐标为（ ， ），
∵ 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴，
∴点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），
∵ 轴交双曲线于点D，
∴点D坐标为（ ， ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 .
故答案为：3
【分析】设点A坐标为（ ， ），由 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴可得点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），由 轴交双曲线于点D可得点D坐标为（ ， ），根据 可得k的值.
15．（2021·南京）如图，正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点， 轴， 轴，则 　 　.
【答案】12
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设A（t， ），
∵正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点，
∴B（-t，- ），
∵ 轴， 轴，
∴C（t，- ），
∴ ；
故答案为：12.
【分析】利用函数解析式设A（t， ），再根据两函数图象交于点A，B，利用反比例函数的对称性，可表示出点B的坐标，从而可得到点C的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出△ABC的面积.
16．（2021·武汉）已知点 ， 在反比例函数 （ 是常数）的图象上，且 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】-1＜a＜0
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点 ， 在反比例函数 （ 是常数）的图象上，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-1＜a＜0.
【分析】由平方的非负性可得m2+1＞0，根据反比例函数的性质“图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小”并结合题意“y1＜y2”可得a＜a+1，于是可得关于b的不等式组a＜0，a+1＞0，解不等式组可求解.
17．（2021·枣庄）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，其中点 的横坐标为1．当 时， 的取值范围是　 　．
【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点 的横坐标为 ，
不等式 表示的是正比例函数 的图象位于反比例函数 的图象的下方，
则 的取值范围是 或 ，
故答案为：x＜-1或0＜x＜1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
18．（2021·齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数 图象上一点， 轴于点C且与反比例函数 的图象交于点B， ，连接OA，OB，若 的面积为6，则 　 　．
【答案】-20
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y= （x＜0）图象交于点B，
而 ＜0， ＜0，
∴S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即- =2，解得 =-4，
∵- =6+2，解得 =-16，
∴ + =-16-4=-20．
故答案为：-20．
【分析】先求出S△AOC= | |=- ，S△BOC= | |=- ，再求出 =-4， =-16，最后求解即可。
三、解答题
19．（2021·百色）如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式.
【答案】（1）解：∵直线l⊥y轴，垂足为M
∴AM⊥OM
∴
∵A点的坐标为（m，3）
∴ ，
∴
解得
∴A点的坐标为（4，3）
∵A点在反比例函数 上
∴
解得
（2）解：设直线AB的解析式为
由(1)得A点的坐标为（4，3）
即 ，
∴
∵B在x正半轴上，且OB=OA
∴OB=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可得到OM，AM的长，再利用△AOM的面积为6，可求出m的长；由此可得到点A的坐标，然后利用待定系数法可求出k的值.
（2）根据点A的坐标，利用勾股定理求出OA的长，根据OA=OB，可求出OB的长，即可得到点B的坐标；根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式.
20．（2021·随县）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， .
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接 ，求 的面积.
【答案】（1）解：∵双曲线 （m>0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴ ，解得， .
∴反比例函数的解析式为 .
∵直线 过点C（1，2）和D（2，1），
∴ ，解得， .
∴一次函数的解析式为
（2）解：当x=0时，y1=3，即B（0，3）.
∴ .
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵D（2，1），
∴DE=2.
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点C，D的坐标分别代入反比例函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到反比例函数解析式及点D的坐标；再将点C，D分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点B的坐标，可得到OB的长；过点D作DE⊥y轴于点E，可得到点D的坐标，求出DE的长，利用三角形的面积公式求出△BOD的面积.
21．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，坐标原点是 的中点， ， ，双曲线 经过点 .
（1）求 ；
（2）直线 与双曲线 在第四象限交于点 .求 的面积.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可得： ， ，
∴设直线AC的解析式为 ，则把点A、C代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
联立 与反比例函数 可得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，利用直角三角形的性质求出，，从而求出CE=1，AE= ，继而得出点A坐标，将其代入中，即可求出k值；
（2）先求出直线AC解析式，联立反比例函数解析式，求解即得点D坐标，利用割补法可得∴ ，利用三角形的面积公式计算即可.
22．（2021·黄冈）如图，反比例函数 上的图象与一次函数 的图象相交于 ， 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线 交y轴于点C，点 是正半轴上的一个动点，过点N作 轴交反比例函数 的图象于点M，连接 ， .若 ，求t的取值范围.
【答案】（1）解：将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ；
当 时， ，解得 ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为
（2）解：对于一次函数 ，
当 时， ，即 ，
，
轴，且 ，
， ，
，
，
，
解得
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式；由此可求出点A的坐标；再将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，由此可求出一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式可求出点C的坐标，利用MN⊥x轴及点N的坐标可求出点M的坐标，可得到ON，MN的长；然后根据S四边形COMN=S△CON+S△MON＞3，利用三角形的面积公式可得到关于t的不等式，然后求出不等式的解集.
23．（2021·广安）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点 在 轴上，且满足 的面积等于4，请直接写出点 的坐标.
【答案】（1）解：由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数 图象上，
∴ ，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为 ，
将A（-1，n）代入 ，
得： ，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得： ，
∴一次函数解析式为
（2）解：∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为 ，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即 ，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）由题意可设点P的坐标为（a，0），令y=0可得直线AB与x轴的交点坐标，根据S△ABP==4可求得a的值，则点P的坐标可求解.
24．（2021·新疆）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点 是否在一次函数 的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）解：将点 代入反比例函数 中，得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
将点 代入 ，得-a=6，
∴a=-6，
∴ ，
将点 、 代入一次函数 中，得
，∴ ，
∴一次函数的解析式为
（2）解：点P在一次函数 的图象上.
理由：当x=-2时， ，
∴点P在一次函数 的图象上
（3）解：由图象可知：当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 ，
∴当 或 时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求解即可；
（2）直接将（-2，1）代入一次函数解析式中进行检验即可；
（3） 由图象可知：当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，据此即得结论.
25．（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： 　 　， 　 　， 　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）；3；4
（2）解：通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示，
根据图像可知：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大； 故答案为：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：要求不等式 的解集，
实际上求出函数 的图象位于函数 图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当 或 时，满图条件，
故答案为： 或 .
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，点 在该函数图象上，
∴将点 代入函数解析式可得： ，
解得： ，
∴原函数的解析式为： ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： ；3；4；
【分析】（1）利用表中点的坐标，可求出m的值，即可得到函数解析式；再求出当x=1和x=4时的函数值，可求出a，b的值.
（2）利用描点法画出该函数的图象，利用函数图象写出该函数的一条性质即可.
（3）观察函数 的图象位于函数 图象上方，利用交点坐标，可得到x的取值范围.
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