湘教版数学九年级上册同步训练《第1章 反比例函数》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小
2．（2021·大庆）已知反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（ ）
A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．一，三，四象限 D．二，三，四象限
3．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
4．（2021·枣庄）在平面直角坐标系 中，直线 垂直于 轴于点 （点 在原点的右侧），并分别与直线 和双曲线 相交于点 ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
5．（2020·徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图像交于点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·大庆）已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．（2020·赤峰）如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2020·营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝ ，则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
9．（2020·内江）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作 轴，垂足为点C，D为AC的中点，若 的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．（2020·上海）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
11．（2020·娄底）如图，平行于y轴的直线分别交 与 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·重庆A）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题
13．（2021·福建）若反比例函数 的图象过点 ，则k的值等于 .
14．（2021·宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为 .
15．（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标 ，直线 经过原点，将线段 绕点B顺时针旋转90°得到线段 ，则C点坐标为 ．
16．（2020·玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2＝ 的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1+y2的最小值是2.
则所有正确结论的序号是 .
17．（2021·北京）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
18．（2021·绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标 . 反比例函数 （常数 ， ）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是 .
三、解答题
19．（2021·东营）如图所示，直线 与双曲线 交于A、B两点，已知点B的纵坐标为 ，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点 ， ， ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式 的解集．
20．（2021·杭州）在直角坐标系中，设函数 （ 是常数， ， ）与函数 （ 是常数， ）的图象交于点A，点A关于 轴的对称点为点B。
（1）若点B的坐标为（-1，2），
①求 ， 的值； ②当 时，直接写出 的取值范围；
（2）若点B在函数 （ 是常数， ）的图象上，求 的值。
21．（2021·凉山）如图， 中， ，边OB在x轴上，反比例函数 的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N， .
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式.
22．（2021·成都）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，与x轴相交于点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当 是以 为底的等腰三角形时，求直线 的函数表达式及点C的坐标.
23．（2021·南充）如图，反比例函数的图象与过点 ， 的直线交于点B和C.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式.
（2）已知点 ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 的面积.
24．（2021·岳阳）如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，且 的面积为3，求点 的坐标.
25．（2021·张家界）阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 取值范围内的任意 ， ，
（ 1 ）若 ，都有 ，则称 是增函数；
（ 2 ）若 ，都有 ，则称 是减函数.
例题：证明函数 是增函数.
证明：任取 ，且 ，
则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 是增函数.
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数 ， ， ， ， ；
（2）猜想 是函数 ▲ （填“增”或“减”），并证明你的猜想.
26．（2021·泰安）如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝ ，求点M的坐标．
27．（2021·鄂尔多斯）如图，矩形 的两边 的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是 的中点，反比例函数 的图象经过点E，与 交于点F，且 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得 ，求此时点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，不符合题意；
B、将点 代入 中，等式成立，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，不符合题意；
D、反比例函数图象分为两部分，不能一起研究增减性，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判定即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
∴ 的图像经过第一，二，四象限，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再判断求解即可。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
，
解得 或 ，
经检验， 或 均为所列方程的根，
（1）当 时， ，
则 的面积为 ；
（2）当 时， ，
则 的面积为 ；
综上， 的面积为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A、B的坐标，可得AC=m=OC，BC=，由AC+BC=4，可求出m的值，由三角形的面积公式可求解。
5．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图像交于点P( ， )，
∴ ， ，即 ， ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】把P( ， )代入两解析式得出 和 的值，整体代入 即可求解C
6．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： 观察图像①可得 ，所以 ，①符合题意；
观察图像②可得 ，所以 ，②不符合题意；
观察图像③可得 ，所以 ，③不符合题意；
观察图像④可得 ，所以 ，④符合题意；
综上，其中符合 的是①④，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】作BD⊥BC交y轴于D，
∵ 轴， ，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴ 的面积为4．
故答案为：B．
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求 的面积．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（ ， ），
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝ ＝ ，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为 ，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝ ，
∴ （AD+CE） AE＝ ，即 （ ） （m﹣ m）＝ ，
∴ ＝1，
∴k＝ ＝2，
故答案为：C.
【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（ ， ），D（m， m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到 （ ） （m﹣ m）＝ ，即可求得k＝ ＝2.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】点A的坐标为（m，2n），
∴ ，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥ 轴，△ADO的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出 ，即可得出结论．
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y= ，
将(2，-4)代入，得：-4= ，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=- ．
故答案为：D．
【分析】设解析式y= ，代入点(2，-4)求出 即可．
11．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），
∴S△ABC= = ，
故答案为：B．
【分析】设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），然后根据三角形的面积公式计算即可．
12．【答案】B
【知识点】平行线的判定；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝ AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝ ，
∴ ON AN＝ OM FM，
∴ON＝ OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝ OE，
∴S△FME＝ S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝ S△AOE＝9，
∴S△FME＝ S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝ ，
∴k＝12.
故答案为：B.
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE＝S△AOE，设点A（a，）可求出点E、F坐标，可得S△AOE=即可.
13．【答案】1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象过点
∴ ，即
故答案为：1.
【分析】将点（1，1）代入中，即可求出k值.
14．【答案】 或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，
∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图象上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 .
【分析】设点A的坐标为 ，由“倒数点”的m定义，则点B为 ，则知点B在某个反比例函数图象上，然后分两种情况讨论：即①当点B在ED上，由ED∥x轴，根据点A与点B的纵坐标相同构建方程求解，然后求点B的坐标，再求 的面积即可；②当点B在DC上，根据点B与点C的横坐标相同构建方程求解，再求出点B的坐标，然后求 的面积.
15．【答案】（4，-7）
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】设 ： ，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l
过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点
则
利用“一线三垂直”易证
，
∴ ．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数和正比例函数的解析式，求出点B的坐标，过点B作y轴的平行线l，过点A、点C作l的垂线，垂足分别为D，E两点，求出点D的坐标，再证出△ABD≌△BEC，得出BE和CE的长，即可求出点C的坐标.
16．【答案】②③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：补全函数图象如图：
①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
故①错误；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
故②正确；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
故③正确；
④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，
故④正确.
综上所述，正确的结论是②③④.
故答案为②③④.
【分析】利用两函数解析式，补全函数图象，观察函数图象的变化情况，可得到当x＜0时，y1，y2都随x的变化情况，可对①作出判断；再观察当x＜-1时，y1和y2的大小关系，可对②作出判断；观察图像可得两各图像的两个交点之间的距离，可对③作出判断；观察图形可得到两函数的最小值，由此可得到函数y＝y1+y2的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号。
17．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
18．【答案】5或22.5
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，
并过C点向BF作垂线，垂足为点G；
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，
∴ ≌ ，
同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；
∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；
设AE=m，
∵点D的坐标 ( ，2) ，
∴OE= ，DE=AF=BG=2，
∴B（ ， ），C（ ， ），
∵ ，
当 时， ，不符题意，舍去；
当 时，由 解得 ，符合题意；故该情况成立，此时 ；
当 时，由 解得 ，符合题意，故该情况成立，此时 ；
故答案为：5或22.5.
【分析】分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G，利用角角边定理证明△ADE≌△BAF≌△CBG，得出DE=AF=BG，AE=BF=CG，设AE=m，把B、C两点坐标用m表示出来，然后根据反比例函数的坐标特征分三种情况分别构建方程求解并验证即可.
19．【答案】（1）解：如图，过点A作 轴于点E，
∵ ，
∴ ，
∴点A
∴双曲线的解析式为
把 ， 分别代入 ，
得：
解得：
∴直线AB的解析式为
（2）解：如图，连接OB、 、
把 代入 ，得
∴点B
∴
∴
把 代入 ，得
∴点C
设点P的坐标为
∵
∴
∵
∴点P的坐标为 ；
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A 、点B
∴ 或 ．
【分析】（1）把A点坐标代入函数关系即可；
（2）求出C点横坐标即可得出答案；
（3）图形结合，根据函数图象与不等式的关系求得。
20．【答案】（1）解：①由题意得，点A的坐标是 ，
∵函数 的图象过点A，
∴ ，
同理 .
② .
（2）解：设点A的坐标是 ，则点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②由图象可知，当 时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，
即当 时， .
【分析】（1）①将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k1的值；将点A的坐标代入正比例函数解析式，可求出k2的值；②利用点A的横坐标，观察函数图象可得到y1＜y2时自变量x的取值范围.
（2）设点A（x0，y0），利用点A关于y轴对称的为点B，由此可得到点B的坐标；利用函数解析式，求出k1+k3的值.
21．【答案】（1）解：设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN= ，
∴N（m， ），
∵△AOB的面积为12，
∴ ，即 ，
∵M为OA中点，
∴M（ ， ），
∵M和N在反比例函数图象上，
∴ ，化简可得： ，又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴M（2，3），代入 ，
得
（2）解：由（1）可得：M（2，3），N（4， ），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则 ，解得： ，
∴直线MN的表达式为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设点A坐标为（m，n），结合已知可得点B（m，0），N（m，n-），由S△AOB=12=OB×AB可得mn的值，再根据点M、N在反比例函数的图象上可求得m、n的值，把M的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解；
（2）由（1）可知点M、N的坐标，用待敌系数法可求得直线MN的解析式.
22．【答案】（1）解：将点 的坐标代入一次函数表达式 并解得：a＝2，
故 ，
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝6，
故反比例函数表达式为：y （x＞0）
（2）解：∵
∴
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴
设一次函数AD的表达式为：y＝kx+b
得：
解得：
∴解析式为：
联立反比例函数和直线AD的解析式得
解得 （舍去）或
∴点C的坐标为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）由直线与y轴相交于点B可令y=0求得点B的坐标，由等腰三角形ABD的性质可求得点D的坐标；用待定系数法可求得直线AD的解析式；然后将直线AD的解析式和反比例函数的解析式联立解方程组，即可求得点C的坐标.
23．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为 ，
将点 ， 代入解析式得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ；
设反比例函数解析式为： ，
将 代入解析式得： ，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：联立 ，解得： 或 ，
∴C点坐标为： ，
设直线CD的解析式为： ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线CD的解析式为： ，
联立 ，解得： 或 ，
∴E点的坐标为： ；
如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，
则F点坐标为 ， ，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，由此可得到反比例函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C的坐标；再由点C，D的坐标求出直线CD的函数解析式，将直线CD的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，求出方程组的解，根据直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，可得到点E的坐标；过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，可表示出点F的坐标，从而可求出EF的长，然后利用三角形的面积公式进行计算.
24．【答案】（1）解：将 点坐标代入 中可得： ，
∴ ；
将 代入 可得： ，
∴该反比例函数的表达式为
（2）解：因为该反比例函数的图象和一次函数的图象交于 ， 两点，
∴ ， 两点关于原点对称，
∴ ，
∴B点到OC的距离为2，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
当C点在O点左侧时， ；
当C点在O点右侧时， ；
∴点 的坐标为 或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 将 点坐标代入 中，求出m值，即得 ，再将 代入 中，求出k值即可；
（2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可知 ， 两点关于原点对称，求出 ， 由的面积为3，可求出OC=3，分两种情况：①当C点在O点左侧时， ②当C点在O点右侧时，据此分别求出点C坐标即可.
25．【答案】（1）；
（2）解：减函数；证明：任取 ， ， ，则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即
∴函数 是减函数.
【知识点】函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1） ，
【分析】（1）将x=3，x=4分别代入求出函数值即可；
（2） 任取 ， ， ，利用作差法求出的值，然后判断即可.
26．【答案】（1）解：∵点P为函数y＝ x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝ x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，
∴4＝ ，
∴m＝24
（2）解：设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝ ，
∴ ＝ ，
①点M在点P右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据P为直线上的一点，点P的坐标，即可得到点P的坐标，进而求出m的值即可；
（2）设出点M的坐标，根据点M在P点的位置，结合锐角三角函数的定义，根据点P的坐标求出x和y的值，得到答案即可。
27．【答案】（1）解：矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，
∴AD=BC=8，CD=AB=3，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4，
∴
∵ ，
∴CF=6，
设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），
∵E，F两点在反比例函数 的图象上；
∴-4a=-6（a-3），解得a=9，
∴E（-4，9），
∴k=-4×9=-36，．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：∵a=9，∴C（0，6），
∵ ，
∴ ，
∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∴PC=|6-y|
∴
∴y=14或-2；
∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 CF=6， 再求出 E（-4，9）， 最后利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出
， 再求出
，最后求点的坐标即可。
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《第1章 反比例函数》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，不符合题意；
B、将点 代入 中，等式成立，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，不符合题意；
D、反比例函数图象分为两部分，不能一起研究增减性，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判定即可。
2．（2021·大庆）已知反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（ ）
A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．一，三，四象限 D．二，三，四象限
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 ，当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
∴ 的图像经过第一，二，四象限，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再判断求解即可。
3．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
4．（2021·枣庄）在平面直角坐标系 中，直线 垂直于 轴于点 （点 在原点的右侧），并分别与直线 和双曲线 相交于点 ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
，
解得 或 ，
经检验， 或 均为所列方程的根，
（1）当 时， ，
则 的面积为 ；
（2）当 时， ，
则 的面积为 ；
综上， 的面积为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A、B的坐标，可得AC=m=OC，BC=，由AC+BC=4，可求出m的值，由三角形的面积公式可求解。
5．（2020·徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图像交于点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图像交于点P( ， )，
∴ ， ，即 ， ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】把P( ， )代入两解析式得出 和 的值，整体代入 即可求解C
6．（2020·大庆）已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： 观察图像①可得 ，所以 ，①符合题意；
观察图像②可得 ，所以 ，②不符合题意；
观察图像③可得 ，所以 ，③不符合题意；
观察图像④可得 ，所以 ，④符合题意；
综上，其中符合 的是①④，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
7．（2020·赤峰）如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】作BD⊥BC交y轴于D，
∵ 轴， ，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴ 的面积为4．
故答案为：B．
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求 的面积．
8．（2020·营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝ ，则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（ ， ），
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝ ＝ ，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为 ，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝ ，
∴ （AD+CE） AE＝ ，即 （ ） （m﹣ m）＝ ，
∴ ＝1，
∴k＝ ＝2，
故答案为：C.
【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（ ， ），D（m， m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到 （ ） （m﹣ m）＝ ，即可求得k＝ ＝2.
9．（2020·内江）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作 轴，垂足为点C，D为AC的中点，若 的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】点A的坐标为（m，2n），
∴ ，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥ 轴，△ADO的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出 ，即可得出结论．
10．（2020·上海）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y= ，
将(2，-4)代入，得：-4= ，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=- ．
故答案为：D．
【分析】设解析式y= ，代入点(2，-4)求出 即可．
11．（2020·娄底）如图，平行于y轴的直线分别交 与 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），
∴S△ABC= = ，
故答案为：B．
【分析】设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），然后根据三角形的面积公式计算即可．
12．（2020·重庆A）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】平行线的判定；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝ AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝ ，
∴ ON AN＝ OM FM，
∴ON＝ OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝ OE，
∴S△FME＝ S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝ S△AOE＝9，
∴S△FME＝ S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝ ，
∴k＝12.
故答案为：B.
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE＝S△AOE，设点A（a，）可求出点E、F坐标，可得S△AOE=即可.
二、填空题
13．（2021·福建）若反比例函数 的图象过点 ，则k的值等于 .
【答案】1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数 的图象过点
∴ ，即
故答案为：1.
【分析】将点（1，1）代入中，即可求出k值.
14．（2021·宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为 .
【答案】 或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，
∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图象上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 .
【分析】设点A的坐标为 ，由“倒数点”的m定义，则点B为 ，则知点B在某个反比例函数图象上，然后分两种情况讨论：即①当点B在ED上，由ED∥x轴，根据点A与点B的纵坐标相同构建方程求解，然后求点B的坐标，再求 的面积即可；②当点B在DC上，根据点B与点C的横坐标相同构建方程求解，再求出点B的坐标，然后求 的面积.
15．（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标 ，直线 经过原点，将线段 绕点B顺时针旋转90°得到线段 ，则C点坐标为 ．
【答案】（4，-7）
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】设 ： ，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l
过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点
则
利用“一线三垂直”易证
，
∴ ．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数和正比例函数的解析式，求出点B的坐标，过点B作y轴的平行线l，过点A、点C作l的垂线，垂足分别为D，E两点，求出点D的坐标，再证出△ABD≌△BEC，得出BE和CE的长，即可求出点C的坐标.
16．（2020·玉林）已知：函数y1＝|x|与函数y2＝ 的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1+y2的最小值是2.
则所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：补全函数图象如图：
①当x＜0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
故①错误；
②当x＜﹣1时，y1＞y2；
故②正确；
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2；
故③正确；
④由图象可知，函数y＝y1+y2的最小值是2，
故④正确.
综上所述，正确的结论是②③④.
故答案为②③④.
【分析】利用两函数解析式，补全函数图象，观察函数图象的变化情况，可得到当x＜0时，y1，y2都随x的变化情况，可对①作出判断；再观察当x＜-1时，y1和y2的大小关系，可对②作出判断；观察图像可得两各图像的两个交点之间的距离，可对③作出判断；观察图形可得到两函数的最小值，由此可得到函数y＝y1+y2的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号。
17．（2021·北京）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。
18．（2021·绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标 . 反比例函数 （常数 ， ）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是 .
【答案】5或22.5
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，
并过C点向BF作垂线，垂足为点G；
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，
∴ ≌ ，
同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；
∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；
设AE=m，
∵点D的坐标 ( ，2) ，
∴OE= ，DE=AF=BG=2，
∴B（ ， ），C（ ， ），
∵ ，
当 时， ，不符题意，舍去；
当 时，由 解得 ，符合题意；故该情况成立，此时 ；
当 时，由 解得 ，符合题意，故该情况成立，此时 ；
故答案为：5或22.5.
【分析】分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G，利用角角边定理证明△ADE≌△BAF≌△CBG，得出DE=AF=BG，AE=BF=CG，设AE=m，把B、C两点坐标用m表示出来，然后根据反比例函数的坐标特征分三种情况分别构建方程求解并验证即可.
三、解答题
19．（2021·东营）如图所示，直线 与双曲线 交于A、B两点，已知点B的纵坐标为 ，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点 ， ， ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）解：如图，过点A作 轴于点E，
∵ ，
∴ ，
∴点A
∴双曲线的解析式为
把 ， 分别代入 ，
得：
解得：
∴直线AB的解析式为
（2）解：如图，连接OB、 、
把 代入 ，得
∴点B
∴
∴
把 代入 ，得
∴点C
设点P的坐标为
∵
∴
∵
∴点P的坐标为 ；
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A 、点B
∴ 或 ．
【分析】（1）把A点坐标代入函数关系即可；
（2）求出C点横坐标即可得出答案；
（3）图形结合，根据函数图象与不等式的关系求得。
20．（2021·杭州）在直角坐标系中，设函数 （ 是常数， ， ）与函数 （ 是常数， ）的图象交于点A，点A关于 轴的对称点为点B。
（1）若点B的坐标为（-1，2），
①求 ， 的值； ②当 时，直接写出 的取值范围；
（2）若点B在函数 （ 是常数， ）的图象上，求 的值。
【答案】（1）解：①由题意得，点A的坐标是 ，
∵函数 的图象过点A，
∴ ，
同理 .
② .
（2）解：设点A的坐标是 ，则点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②由图象可知，当 时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，
即当 时， .
【分析】（1）①将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k1的值；将点A的坐标代入正比例函数解析式，可求出k2的值；②利用点A的横坐标，观察函数图象可得到y1＜y2时自变量x的取值范围.
（2）设点A（x0，y0），利用点A关于y轴对称的为点B，由此可得到点B的坐标；利用函数解析式，求出k1+k3的值.
21．（2021·凉山）如图， 中， ，边OB在x轴上，反比例函数 的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N， .
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式.
【答案】（1）解：设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN= ，
∴N（m， ），
∵△AOB的面积为12，
∴ ，即 ，
∵M为OA中点，
∴M（ ， ），
∵M和N在反比例函数图象上，
∴ ，化简可得： ，又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴M（2，3），代入 ，
得
（2）解：由（1）可得：M（2，3），N（4， ），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则 ，解得： ，
∴直线MN的表达式为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设点A坐标为（m，n），结合已知可得点B（m，0），N（m，n-），由S△AOB=12=OB×AB可得mn的值，再根据点M、N在反比例函数的图象上可求得m、n的值，把M的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解；
（2）由（1）可知点M、N的坐标，用待敌系数法可求得直线MN的解析式.
22．（2021·成都）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，与x轴相交于点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当 是以 为底的等腰三角形时，求直线 的函数表达式及点C的坐标.
【答案】（1）解：将点 的坐标代入一次函数表达式 并解得：a＝2，
故 ，
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝6，
故反比例函数表达式为：y （x＞0）
（2）解：∵
∴
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴
设一次函数AD的表达式为：y＝kx+b
得：
解得：
∴解析式为：
联立反比例函数和直线AD的解析式得
解得 （舍去）或
∴点C的坐标为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）由直线与y轴相交于点B可令y=0求得点B的坐标，由等腰三角形ABD的性质可求得点D的坐标；用待定系数法可求得直线AD的解析式；然后将直线AD的解析式和反比例函数的解析式联立解方程组，即可求得点C的坐标.
23．（2021·南充）如图，反比例函数的图象与过点 ， 的直线交于点B和C.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式.
（2）已知点 ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 的面积.
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为 ，
将点 ， 代入解析式得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ；
设反比例函数解析式为： ，
将 代入解析式得： ，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：联立 ，解得： 或 ，
∴C点坐标为： ，
设直线CD的解析式为： ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线CD的解析式为： ，
联立 ，解得： 或 ，
∴E点的坐标为： ；
如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，
则F点坐标为 ， ，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，由此可得到反比例函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C的坐标；再由点C，D的坐标求出直线CD的函数解析式，将直线CD的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，求出方程组的解，根据直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，可得到点E的坐标；过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，可表示出点F的坐标，从而可求出EF的长，然后利用三角形的面积公式进行计算.
24．（2021·岳阳）如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，且 的面积为3，求点 的坐标.
【答案】（1）解：将 点坐标代入 中可得： ，
∴ ；
将 代入 可得： ，
∴该反比例函数的表达式为
（2）解：因为该反比例函数的图象和一次函数的图象交于 ， 两点，
∴ ， 两点关于原点对称，
∴ ，
∴B点到OC的距离为2，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
当C点在O点左侧时， ；
当C点在O点右侧时， ；
∴点 的坐标为 或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 将 点坐标代入 中，求出m值，即得 ，再将 代入 中，求出k值即可；
（2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可知 ， 两点关于原点对称，求出 ， 由的面积为3，可求出OC=3，分两种情况：①当C点在O点左侧时， ②当C点在O点右侧时，据此分别求出点C坐标即可.
25．（2021·张家界）阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 取值范围内的任意 ， ，
（ 1 ）若 ，都有 ，则称 是增函数；
（ 2 ）若 ，都有 ，则称 是减函数.
例题：证明函数 是增函数.
证明：任取 ，且 ，
则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 是增函数.
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数 ， ， ， ， ；
（2）猜想 是函数 ▲ （填“增”或“减”），并证明你的猜想.
【答案】（1）；
（2）解：减函数；证明：任取 ， ， ，则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即
∴函数 是减函数.
【知识点】函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1） ，
【分析】（1）将x=3，x=4分别代入求出函数值即可；
（2） 任取 ， ， ，利用作差法求出的值，然后判断即可.
26．（2021·泰安）如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝ ，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵点P为函数y＝ x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝ x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，
∴4＝ ，
∴m＝24
（2）解：设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝ ，
∴ ＝ ，
①点M在点P右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据P为直线上的一点，点P的坐标，即可得到点P的坐标，进而求出m的值即可；
（2）设出点M的坐标，根据点M在P点的位置，结合锐角三角函数的定义，根据点P的坐标求出x和y的值，得到答案即可。
27．（2021·鄂尔多斯）如图，矩形 的两边 的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是 的中点，反比例函数 的图象经过点E，与 交于点F，且 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得 ，求此时点P的坐标．
【答案】（1）解：矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，
∴AD=BC=8，CD=AB=3，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4，
∴
∵ ，
∴CF=6，
设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），
∵E，F两点在反比例函数 的图象上；
∴-4a=-6（a-3），解得a=9，
∴E（-4，9），
∴k=-4×9=-36，．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：∵a=9，∴C（0，6），
∵ ，
∴ ，
∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∴PC=|6-y|
∴
∴y=14或-2；
∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 CF=6， 再求出 E（-4，9）， 最后利用待定系数法计算求解即可；
（2）先求出
， 再求出
，最后求点的坐标即可。
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