湘教版数学九年级上册同步训练《2.5 一元二次方程的应用》
一、单选题
1．（2021·桂林）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16
C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得：16（1-x）2=9.
故答案为：A.
【分析】 设平均每次降价的百分率是x，经过一次降价为16（1-x），经过两次降价为16（1-x）2，结合每盒零售价降为9元列方程即可.
2．（2021·贵港）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：B.
【分析】根据2018年的蔬菜产量×（1+平均增长率）2=2020年的蔬菜产量，列出方程即可.
3．（2021·阜新）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得： ．
故答案为：A．
【分析】根据题目中的等量关系列出方程即可。
4．（2021八下·上虞期末）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米
若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A．5(5x+10)(2x-10)=200 B．5(5x+10)(2x+10)=200
C．5(5x-10)(2x-10)=200 D．5(5x-10)(2x+10)=200
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是5(5x-10)(2x-10)=200 .
故答案为：C.
【分析】看到已知的条件，想到设这张长方形纸板的长为5x，宽为2x，利用包装盒的容积为200cm3列出方程求解即可.
5．（2020·河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
，
化简，得x2-x-72=0，
解得x2=9，x1=-8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队.
故答案为：D.
【分析】由题意可知此次比赛是单循环，因此等量关系为：×参加此次比赛的球队数×（ 参加此次比赛的球队数 -1）=36，据此列方程，然后求出方程的解，即可求出结果。
6．（2020·衢州）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示。设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x） =461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x） =442
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故答案为： B．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
7．（2021·抚顺模拟）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为 ，那么 应满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，
∴商品现在的价格为： ，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，
∴商品现在的价格为： ，
∴ ，
整理得： ，
故答案为：C．
【分析】设平均每次增长的百分数为x，由某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，得出商品现在的价格，即可列出 应满足的方程。
8．（2021·河西模拟）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15
C． =15 D． =15
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， =15，
故答案为：C．
【分析】根据要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，列方程求解即可。
9．（2021九上·贵阳期末）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有（x-1）张票，
根据题意，列方程得 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知每个站点售其它各站一张往返车票，可得到一共有的票数，然后根据往返车票一共有132张，建立关于x的方程即可.
10．（2021九上·仁寿期末）新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播.在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染x人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了x人.列出方程因为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，
由题意得：x+1+（x+1）x=225，
整理得： ，
故答案为：A.
【分析】设平均一人传染了x人，根据某新冠肺炎零号病人一天能传染x人，分别表示出第一天和第二天患病的人数，然后根据两天共有225人因此患病，列方程即可.
二、填空题
11．（2021·盐城）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363.
【分析】设平均每年增产的百分率为x，根据两年前粮食的产量×（1+增长百分率）2=两年后粮食的产量，列出方程即可.
12．（2021八下·滨江期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元.为扩大销售，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱.若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程 .
【答案】（20 x）（100＋ ×20）＝1280
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100＋ ×20）箱，
根据题意，得（20 x）（100＋ ×20）＝1280，
故答案是：（20 x）（100＋ ×20）＝1280.
【分析】设每箱应降价x元，则销售数量为（100＋ ×20）箱，根据总利润=单件利润×销售数量，列出方程即可.
13．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
14．（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
15．（2021·海东模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 ．
【答案】（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30．
【分析】设花带的宽度为xm，则可列出方程。
16．（2021九上·秦淮期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 .（方程不需化简）
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：销售件数为： [] 件，销售一件所获的利润为： 元，
∴ ，
故答案为： .
【分析】 设销售单价定为x元/件， 根据题意先求出销售件数为 [] 件，销售一件所获的利润为 元，再根据商店可获利3000元，列出方程即可.
三、解答题
17．（2021·沈河模拟）某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为 元．
【答案】（1）设平均每次下调的百分率为 ，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）
答：平均每次下调的百分率为 ．
（2）645元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（2）根据（1）所得结论及电脑利润的表达式得：
（元）
故答案是：645元．
【分析】（1）设平均每次下调的百分率为 ，根据电脑的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正确的解；
（2）利用每台电脑的利润=经过两次降价后的价格 （1 下调率） 进货价，即可求出结论．
18．（2021·洪洞模拟）平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？
【答案】解：设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，
依题意得：（140﹣x﹣110）（30+2x）＝1000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
又∵为了尽可能扩大销售量，
∴x＝10．
答：若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每千克应降价x元，可得每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，根据每千克的利润×平均每天的销售量=每天的利润，列出方程，求解并检验即可.
19．（2020九上·德惠期末）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十 一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．
小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．
小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？
【答案】解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意，得：
[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920
整理，得x2﹣44x+480＝0，
解得，x1＝20（舍去），x2＝24；
当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，
根据题意，得[240+40（20﹣y）]×（y﹣12）＝1920
整理，得y2﹣38y+360＝0，
解得，y1＝20（舍去），y2＝18，
综上所述，比较两种方案后，定价为18元既能获得1920元的利润，又增加了销量，所以更合理．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元 ，根据（定价-进价）[每天售出的数量-（x-20）×20]=每天的利润； 当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，根据（定价-进价）[每天售出的数量-（x-20）×20]=每天的利润，据此分别解答即可.
20．（2021·张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【答案】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 .
（2）解： （万人）
答：六月份的参观人数为13.31万人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据3月份该基地接待参观人数×（1+增长率）2=5月份接待参观人数，据此列出方程，求解并检验即可；
（2）利用5月份接待参观人数×（1+增长率）进行计算即可.
21．（2021·东营）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）解：第四阶段的亩产量为 （公斤），
∵ ，
∴他们的目标可以实现．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得方程，解之即可；
（2）由（1）列出算式即可得出。
22．（2021·宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 .去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少了 .同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 .经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值.
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则
，
，
漫灌用水： ，
喷灌用水： ，
滴灌用水： ，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨
（2）解：由题意得，
，
解得 （舍去）， ，所以
（3）解：节省水费： 元，
维修投入： 元，
新增设备： 元，
，
答：节省水费大于两项投入之和.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设漫灌方式每亩用水 吨，根据采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨，建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求解.
（2）抓住已知条件，根据 今年的灌溉用水量比去年减少 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值即可.
（3）利用已知分别求出节省的水费，维修投入，新增设备费，然后求出维修投入和新增设备费的和，将其与节省的水费比较大小可作出判断.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《2.5 一元二次方程的应用》
一、单选题
1．（2021·桂林）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16
C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16
2．（2021·贵港）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·阜新）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八下·上虞期末）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米
若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A．5(5x+10)(2x-10)=200 B．5(5x+10)(2x+10)=200
C．5(5x-10)(2x-10)=200 D．5(5x-10)(2x+10)=200
5．（2020·河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2020·衢州）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示。设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x） =461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x） =442
7．（2021·抚顺模拟）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为 ，那么 应满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·河西模拟）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15
C． =15 D． =15
9．（2021九上·贵阳期末）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九上·仁寿期末）新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播.在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染x人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了x人.列出方程因为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021·盐城）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为 .
12．（2021八下·滨江期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元.为扩大销售，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱.若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程 .
13．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
14．（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
15．（2021·海东模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 ．
16．（2021九上·秦淮期末）某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 .（方程不需化简）
三、解答题
17．（2021·沈河模拟）某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为 元．
18．（2021·洪洞模拟）平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？
19．（2020九上·德惠期末）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十 一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．
小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．
小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？
20．（2021·张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
21．（2021·东营）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
22．（2021·宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 .去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少了 .同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 .经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值.
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得：16（1-x）2=9.
故答案为：A.
【分析】 设平均每次降价的百分率是x，经过一次降价为16（1-x），经过两次降价为16（1-x）2，结合每盒零售价降为9元列方程即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：B.
【分析】根据2018年的蔬菜产量×（1+平均增长率）2=2020年的蔬菜产量，列出方程即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得： ．
故答案为：A．
【分析】根据题目中的等量关系列出方程即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是5(5x-10)(2x-10)=200 .
故答案为：C.
【分析】看到已知的条件，想到设这张长方形纸板的长为5x，宽为2x，利用包装盒的容积为200cm3列出方程求解即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
，
化简，得x2-x-72=0，
解得x2=9，x1=-8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队.
故答案为：D.
【分析】由题意可知此次比赛是单循环，因此等量关系为：×参加此次比赛的球队数×（ 参加此次比赛的球队数 -1）=36，据此列方程，然后求出方程的解，即可求出结果。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故答案为： B．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，
∴商品现在的价格为： ，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，
∴商品现在的价格为： ，
∴ ，
整理得： ，
故答案为：C．
【分析】设平均每次增长的百分数为x，由某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，得出商品现在的价格，即可列出 应满足的方程。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， =15，
故答案为：C．
【分析】根据要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，列方程求解即可。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有（x-1）张票，
根据题意，列方程得 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知每个站点售其它各站一张往返车票，可得到一共有的票数，然后根据往返车票一共有132张，建立关于x的方程即可.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，
由题意得：x+1+（x+1）x=225，
整理得： ，
故答案为：A.
【分析】设平均一人传染了x人，根据某新冠肺炎零号病人一天能传染x人，分别表示出第一天和第二天患病的人数，然后根据两天共有225人因此患病，列方程即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363.
【分析】设平均每年增产的百分率为x，根据两年前粮食的产量×（1+增长百分率）2=两年后粮食的产量，列出方程即可.
12．【答案】（20 x）（100＋ ×20）＝1280
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100＋ ×20）箱，
根据题意，得（20 x）（100＋ ×20）＝1280，
故答案是：（20 x）（100＋ ×20）＝1280.
【分析】设每箱应降价x元，则销售数量为（100＋ ×20）箱，根据总利润=单件利润×销售数量，列出方程即可.
13．【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
14．【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
15．【答案】（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30．
【分析】设花带的宽度为xm，则可列出方程。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：销售件数为： [] 件，销售一件所获的利润为： 元，
∴ ，
故答案为： .
【分析】 设销售单价定为x元/件， 根据题意先求出销售件数为 [] 件，销售一件所获的利润为 元，再根据商店可获利3000元，列出方程即可.
17．【答案】（1）设平均每次下调的百分率为 ，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）
答：平均每次下调的百分率为 ．
（2）645元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（2）根据（1）所得结论及电脑利润的表达式得：
（元）
故答案是：645元．
【分析】（1）设平均每次下调的百分率为 ，根据电脑的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正确的解；
（2）利用每台电脑的利润=经过两次降价后的价格 （1 下调率） 进货价，即可求出结论．
18．【答案】解：设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，
依题意得：（140﹣x﹣110）（30+2x）＝1000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
又∵为了尽可能扩大销售量，
∴x＝10．
答：若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每千克应降价x元，可得每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，根据每千克的利润×平均每天的销售量=每天的利润，列出方程，求解并检验即可.
19．【答案】解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意，得：
[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920
整理，得x2﹣44x+480＝0，
解得，x1＝20（舍去），x2＝24；
当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，
根据题意，得[240+40（20﹣y）]×（y﹣12）＝1920
整理，得y2﹣38y+360＝0，
解得，y1＝20（舍去），y2＝18，
综上所述，比较两种方案后，定价为18元既能获得1920元的利润，又增加了销量，所以更合理．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元 ，根据（定价-进价）[每天售出的数量-（x-20）×20]=每天的利润； 当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，根据（定价-进价）[每天售出的数量-（x-20）×20]=每天的利润，据此分别解答即可.
20．【答案】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 .
（2）解： （万人）
答：六月份的参观人数为13.31万人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据3月份该基地接待参观人数×（1+增长率）2=5月份接待参观人数，据此列出方程，求解并检验即可；
（2）利用5月份接待参观人数×（1+增长率）进行计算即可.
21．【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）解：第四阶段的亩产量为 （公斤），
∵ ，
∴他们的目标可以实现．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得方程，解之即可；
（2）由（1）列出算式即可得出。
22．【答案】（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则
，
，
漫灌用水： ，
喷灌用水： ，
滴灌用水： ，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨
（2）解：由题意得，
，
解得 （舍去）， ，所以
（3）解：节省水费： 元，
维修投入： 元，
新增设备： 元，
，
答：节省水费大于两项投入之和.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设漫灌方式每亩用水 吨，根据采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨，建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求解.
（2）抓住已知条件，根据 今年的灌溉用水量比去年减少 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值即可.
（3）利用已知分别求出节省的水费，维修投入，新增设备费，然后求出维修投入和新增设备费的和，将其与节省的水费比较大小可作出判断.
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