湘教版数学九年级上册《第2章 一元二次方程》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
2．（2020·鹤岗）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则实数 的值是（ ）
A．0 B．1 C． 3 D． 1
3．（2020·泰安）将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．-4，21 B．-4，11 C．4，21 D．-8，69
4．（2020·河南）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·云南）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
6．（2021·福建）某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·广州）直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2020·河南）定义运算： .例如 .则方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9．（2020·临沂）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2020·湖州）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
11．（2021·武汉模拟）已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．-2或-3
12．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
14．（2021·南通模拟）已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式 .
15．（2021·广东）若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一个方程为 ．
16．（2021·丰台模拟）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
17．（2021·大庆模拟）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 ．其中说法正确的有 （填序号）．
18．（2021·三台模拟）已知实数 满足 ，那么 的值为 .
三、解答题
19．（2020九上·天津月考）解方程：
（1）3x（x﹣4）=2（x﹣4）．
（2）3x2﹣5x﹣1＝0．
20．（2020九上·福州期末）解方程：
21．（2021九下·东坡开学考）解方程：2x2+x﹣6=0.
22．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
23．（2021·湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值.
四、综合题
24．（2021·临淄模拟）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进人普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2016年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2018年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
（1）求2016年底至2018年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2019年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2019年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
25．（2021·清远模拟）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故答案为：D.
【分析】根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得 ；
故答案为：B．
【分析】把x＝ 代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴a=-4，b=21．
故答案为：A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由500亿元增加到7500亿元
∴可列方程： ，
故答案为：C.
【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，根据增长率的定义即可列出一元二次方程.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故答案为：D．
【分析】 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0且a≠0，据此解答即可.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故答案为：B.
【分析】设年平均增长率为x，根据2018年底森林覆盖率×（1+平均增长率）2=2020年底森林覆盖率，列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
∵方程 ，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ = ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】根据直线 不经过第二象限，得到 ，再分两种情况判断方程的解的情况.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= ，
即 ， ，
故答案为：B.
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，
∴ ，且 = 2-4 >0
又 ，
∴ = ；
解得m1=3,m2=2,
当m=2时， =0，不合题意
故m=3
故答案为：B
【分析】利用根与系数的关系及方程有两个不相等的实根，可得 ，且 >0，由 得出 = ，据此解答即可.
12．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
13．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 和 是方程的两个根
∴ ， ，
∴
故答案为：-2
【分析】利用韦达定理可得出 ， ，再通过代入移项可得到 ，分别代入 运算即可.
15．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：∵方程的 两根 满足 ，
∴在范围内任选两个值，比如x1=-2，x2=2，
然后代入方程得
解得
所以方程可以写为x -4=0
【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数的值，即可写出方程。
16．【答案】（1）是
（2）2025
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次
故按照这种化验方法是能减少化验次数
故答案为：是
（2）按照这种方法需要两轮化验，
第一轮化验2000次
携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人
最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验
一共进行2000+25=2025次化验，
按照这种化验方法至多需要2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
故答案为： 2025．
【分析】（1）10000名5个人一组，可化验2000次，比一人一次的少很多次；
（2）根据题意可知有6人携带，最多次数的是这6人不在同一组，即可求出结果。
17．【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）若 ，则 是方程 的解
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： ，故①符合题意；
（2）∵方程 ，有两个不相等的实根，
∴
∴
又∵方程 的判别式
∴方程 必有两个不相等的实根，故②符合题意
（3）∵ 是方程 的一个根
∴
∴
若 等式成立，但 不一定成立，故③不符合题意
（4）若 是一元二次方程 的根
则根据求根公式得：
或
∴ 或
∴ ，故④符合题意．
故答案为：①②④
【分析】根据方程的解含义，i元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的球根公式等对各项分别讨论，可得答案。
18．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设 ，
∴原式可转化为： ，
整理得， ，
解得， 或 ，
∵ ，
∴将 (舍去)
∴ 的值为1，
故答案为：1.
【分析】设 ，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可.
19．【答案】（1）移项，得：3x（x﹣4）－2（x﹣4）=0，
原方程可变形为： ，
∴x－4=0或3x－2=0，
解得：
（2）方程3x2﹣5x﹣1＝0中a=3，b=﹣5，c=﹣1，△=（﹣5）2－4×3×（﹣1）=37，
∴ ，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项后利用分解因式法解答即可；（2）根据公式法求解．
20．【答案】解：
．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法进行解一元二次方程即可.
21．【答案】解：（2x﹣3）(x+2）=0
2x﹣3=0 或x+2=0
∴x1=1.5
x2=-2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
22．【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
23．【答案】（1）解：依题意可知：△＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，
∴k＞3；
（2）解：依题意可知：x1+x2=2，x1x2=4-k，
∵x13x2＋x1x23＝－48，
∴x1x2[（x1+x2）2-2x1x2]=－48，
整理得：k2－6k－16=0，
∴k1=8，k2=－2，
又∵k＞3，
∴k2=－2舍去只取k=8，
∴k的值8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可；（2）变形后利用根与系数的关系求解即可.
24．【答案】（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%
（2）解：设全市每年新增汽车数量为 万辆，
∴2019年底全市的汽车拥有量为 万辆，
2020年底全市的汽车拥有量为 万辆.
∵到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，
∴ .
解得 .
∴该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%
(2)解：设全市每年新增汽车数量为 万辆，
∴2019年底全市的汽车拥有量为 万辆，
2020年底全市的汽车拥有量为 万辆.
∵到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，
∴ .
解得 .
∴该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆
【分析】（1）重点需要知道增长率的计算公式.
（2）该题的解题关键在于充分理解题意，把题意转化为数学语言，列出关系式.
25．【答案】（1）解：设每本故事书需涨价x元，由题意，得
，
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：每本故事书需涨5元；
（2）解：设每本故事书的售价为m元，
则 ，
解得 ，
答：每本故事书的售价应不高于60元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本故事书需涨价x元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式．
1 / 1湘教版数学九年级上册《第2章 一元二次方程》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故答案为：D.
【分析】根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
2．（2020·鹤岗）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则实数 的值是（ ）
A．0 B．1 C． 3 D． 1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得 ；
故答案为：B．
【分析】把x＝ 代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
3．（2020·泰安）将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．-4，21 B．-4，11 C．4，21 D．-8，69
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴a=-4，b=21．
故答案为：A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
4．（2020·河南）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由500亿元增加到7500亿元
∴可列方程： ，
故答案为：C.
【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，根据增长率的定义即可列出一元二次方程.
5．（2021·云南）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故答案为：D．
【分析】 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0且a≠0，据此解答即可.
6．（2021·福建）某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故答案为：B.
【分析】设年平均增长率为x，根据2018年底森林覆盖率×（1+平均增长率）2=2020年底森林覆盖率，列出方程即可.
7．（2020·广州）直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
∵方程 ，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ = ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】根据直线 不经过第二象限，得到 ，再分两种情况判断方程的解的情况.
8．（2020·河南）定义运算： .例如 .则方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案.
9．（2020·临沂）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= ，
即 ， ，
故答案为：B.
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
10．（2020·湖州）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
11．（2021·武汉模拟）已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．-2或-3
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，
∴ ，且 = 2-4 >0
又 ，
∴ = ；
解得m1=3,m2=2,
当m=2时， =0，不合题意
故m=3
故答案为：B
【分析】利用根与系数的关系及方程有两个不相等的实根，可得 ，且 >0，由 得出 = ，据此解答即可.
12．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
二、填空题
13．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
14．（2021·南通模拟）已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 和 是方程的两个根
∴ ， ，
∴
故答案为：-2
【分析】利用韦达定理可得出 ， ，再通过代入移项可得到 ，分别代入 运算即可.
15．（2021·广东）若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一个方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：∵方程的 两根 满足 ，
∴在范围内任选两个值，比如x1=-2，x2=2，
然后代入方程得
解得
所以方程可以写为x -4=0
【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数的值，即可写出方程。
16．（2021·丰台模拟）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【答案】（1）是
（2）2025
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次
故按照这种化验方法是能减少化验次数
故答案为：是
（2）按照这种方法需要两轮化验，
第一轮化验2000次
携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人
最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验
一共进行2000+25=2025次化验，
按照这种化验方法至多需要2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
故答案为： 2025．
【分析】（1）10000名5个人一组，可化验2000次，比一人一次的少很多次；
（2）根据题意可知有6人携带，最多次数的是这6人不在同一组，即可求出结果。
17．（2021·大庆模拟）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 ．其中说法正确的有 （填序号）．
【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）若 ，则 是方程 的解
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： ，故①符合题意；
（2）∵方程 ，有两个不相等的实根，
∴
∴
又∵方程 的判别式
∴方程 必有两个不相等的实根，故②符合题意
（3）∵ 是方程 的一个根
∴
∴
若 等式成立，但 不一定成立，故③不符合题意
（4）若 是一元二次方程 的根
则根据求根公式得：
或
∴ 或
∴ ，故④符合题意．
故答案为：①②④
【分析】根据方程的解含义，i元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的球根公式等对各项分别讨论，可得答案。
18．（2021·三台模拟）已知实数 满足 ，那么 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设 ，
∴原式可转化为： ，
整理得， ，
解得， 或 ，
∵ ，
∴将 (舍去)
∴ 的值为1，
故答案为：1.
【分析】设 ，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可.
三、解答题
19．（2020九上·天津月考）解方程：
（1）3x（x﹣4）=2（x﹣4）．
（2）3x2﹣5x﹣1＝0．
【答案】（1）移项，得：3x（x﹣4）－2（x﹣4）=0，
原方程可变形为： ，
∴x－4=0或3x－2=0，
解得：
（2）方程3x2﹣5x﹣1＝0中a=3，b=﹣5，c=﹣1，△=（﹣5）2－4×3×（﹣1）=37，
∴ ，
∴ ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项后利用分解因式法解答即可；（2）根据公式法求解．
20．（2020九上·福州期末）解方程：
【答案】解：
．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法进行解一元二次方程即可.
21．（2021九下·东坡开学考）解方程：2x2+x﹣6=0.
【答案】解：（2x﹣3）(x+2）=0
2x﹣3=0 或x+2=0
∴x1=1.5
x2=-2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
22．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
23．（2021·湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值.
【答案】（1）解：依题意可知：△＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，
∴k＞3；
（2）解：依题意可知：x1+x2=2，x1x2=4-k，
∵x13x2＋x1x23＝－48，
∴x1x2[（x1+x2）2-2x1x2]=－48，
整理得：k2－6k－16=0，
∴k1=8，k2=－2，
又∵k＞3，
∴k2=－2舍去只取k=8，
∴k的值8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可；（2）变形后利用根与系数的关系求解即可.
四、综合题
24．（2021·临淄模拟）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进人普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2016年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2018年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
（1）求2016年底至2018年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2019年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2019年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
【答案】（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%
（2）解：设全市每年新增汽车数量为 万辆，
∴2019年底全市的汽车拥有量为 万辆，
2020年底全市的汽车拥有量为 万辆.
∵到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，
∴ .
解得 .
∴该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%
(2)解：设全市每年新增汽车数量为 万辆，
∴2019年底全市的汽车拥有量为 万辆，
2020年底全市的汽车拥有量为 万辆.
∵到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，
∴ .
解得 .
∴该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆
【分析】（1）重点需要知道增长率的计算公式.
（2）该题的解题关键在于充分理解题意，把题意转化为数学语言，列出关系式.
25．（2021·清远模拟）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
【答案】（1）解：设每本故事书需涨价x元，由题意，得
，
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：每本故事书需涨5元；
（2）解：设每本故事书的售价为m元，
则 ，
解得 ，
答：每本故事书的售价应不高于60元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本故事书需涨价x元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式．
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