必修二_2.3_线、面垂直的判定及其性质_教案
文档属性
| 名称 | 必修二_2.3_线、面垂直的判定及其性质_教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 138.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-06-16 16:05:40 | ||
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文档简介
必修2 2．3 线、面垂直的判定及其性质 教案
2．3．1 直线与平面垂直的判定
一、知识梳理
1、线与面垂直的定义
如果一条直线与一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面垂直。
问：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
2、线与面垂直的判定
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（线线垂直线面垂直）（线线垂直线面垂直线线垂直）
3、射影定理
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。在斜线上取一点（除斜足外）向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的斜影。斜线与斜影所构成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。因此线与面所成的角的范围是 。
如果这个平面内有一条直线与这个平面的斜线的斜影垂直，那么这条直线就与这条斜线垂直。（正方体中经常用）
4、过一点有 条直线和一个平面垂直。
过一点有 个平面和一条直线垂直。
二、例题
如右图，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点。
求证：SD⊥平面ABC；
若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC。
三、练习
1、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于Ａ、B的一点，过A作AE⊥PC，再过E作EF⊥PB。求证：PB⊥AF。
2、下列命题中正确的个数是 （ ）
①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则⊥
②如果直线与平面内一条直线垂直，则 //
③如果直线不垂直于平面，则平面内没有与直线垂直的直线
④如果直线不垂直于平面，则平面内也可以有无数条直线与直线垂直
A、0 B、1 C、2 D、3
3、空间四边形的四条边相等，那么它的对角线 （ ）
A、相交且垂直 B、不相交也不垂直 C、相交不垂直 D、不相交但垂直
4、如图，S是△ABC所在平面外一点，SA⊥SB，SC⊥SB，SA⊥SC，H是△ABC的垂心。
求证：SH⊥平面ABC。
5、VC是平面ABC的斜线（与△ABC所在平面相交但不垂直），VN⊥平面ABC，N在△ABC的高CD上，M是VC上一点，∠MDC=∠CVN。
求证：VC⊥平面AMB。
2．3．2 平面与平面垂直的判定
一、知识梳理
1、二面角，二面角的平面角的概念
（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。）
2、判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
二、例题
已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD//EC，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：
DE=DA；
平面BDM⊥平面ECA；
平面DEA⊥平面ECA。
三、练习
1、如图，在四面体ABCD中，BD=,AB=AD=CB=CD=AC=，求证：平面ABD⊥平面BCD。
2、如图，ABC—A1B1C1是直棱柱，△A1B1C1是正三角形，E是C C1的中点。
求证：平面A B1E⊥平面A A1B1B。
3、如图，在正方体ABCD—A’B’C’D’中，求二面角B—A’B’—B’的正切值。
4、设有直线m，n和平面、，则下列命题中，正确的是 （ ）
A、若m // n，m，n，则//
B、若m⊥，m⊥n，n，则//
C、若m // n，n⊥，m，则⊥
D、若m // n，m⊥，n⊥，则⊥
5、如图，P是二面角—AB—的棱上AB一点，分别在
、上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN
=60°，则二面角—AB—的大小是 。
6、如图，已知三棱锥A—BCD的三个侧面与底面全等且BC=BD=，CD=2，则二面角A—CD—B的大小是 。
2．3．3 直线与平面垂直的性质
一、知识梳理
1、过一点和已知平面垂直的直线 。
2、过一点和一条直线垂直的平面 。
3、垂直于同一平面的两条直线 。
4、垂直于同一直线的两个平面 。
二、例题
在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB、SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC。
三、练习
1、如图，正方体ABCD—A’B’C’D’中，EF是异面直线AC及A’D的公垂线。
求证：EF//BD’.
2、如图，正方体ABCD—A’B’C’D’中，E、F、G分别是A’B’、 B’C’和B B’的中点。
求证： （1）面AC C’ A’ ⊥面BD D’ B’；
面ACFE⊥面BD D’ B’；
面ACG⊥面BD D’ B’。
2．3．4 平面与平面垂直的性质
一、知识梳理
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
二、例题
如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。
（1）求证：PA⊥面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。
三、练习
1、如图，ABCD—A’B’C’D’是正方体，判断直线A’C与平面B C’D的位置关系，并说明理由。
2、空间四边形SABC中，SO⊥面ABC，O为△ABC的垂心。求证：平面SOC⊥面SAB。
2．3．1 直线与平面垂直的判定
一、知识梳理
1、线与面垂直的定义
如果一条直线与一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面垂直。
问：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
2、线与面垂直的判定
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（线线垂直线面垂直）（线线垂直线面垂直线线垂直）
3、射影定理
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。在斜线上取一点（除斜足外）向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的斜影。斜线与斜影所构成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。因此线与面所成的角的范围是 。
如果这个平面内有一条直线与这个平面的斜线的斜影垂直，那么这条直线就与这条斜线垂直。（正方体中经常用）
4、过一点有 条直线和一个平面垂直。
过一点有 个平面和一条直线垂直。
二、例题
如右图，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点。
求证：SD⊥平面ABC；
若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC。
三、练习
1、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于Ａ、B的一点，过A作AE⊥PC，再过E作EF⊥PB。求证：PB⊥AF。
2、下列命题中正确的个数是 （ ）
①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则⊥
②如果直线与平面内一条直线垂直，则 //
③如果直线不垂直于平面，则平面内没有与直线垂直的直线
④如果直线不垂直于平面，则平面内也可以有无数条直线与直线垂直
A、0 B、1 C、2 D、3
3、空间四边形的四条边相等，那么它的对角线 （ ）
A、相交且垂直 B、不相交也不垂直 C、相交不垂直 D、不相交但垂直
4、如图，S是△ABC所在平面外一点，SA⊥SB，SC⊥SB，SA⊥SC，H是△ABC的垂心。
求证：SH⊥平面ABC。
5、VC是平面ABC的斜线（与△ABC所在平面相交但不垂直），VN⊥平面ABC，N在△ABC的高CD上，M是VC上一点，∠MDC=∠CVN。
求证：VC⊥平面AMB。
2．3．2 平面与平面垂直的判定
一、知识梳理
1、二面角，二面角的平面角的概念
（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。）
2、判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
二、例题
已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD//EC，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：
DE=DA；
平面BDM⊥平面ECA；
平面DEA⊥平面ECA。
三、练习
1、如图，在四面体ABCD中，BD=,AB=AD=CB=CD=AC=，求证：平面ABD⊥平面BCD。
2、如图，ABC—A1B1C1是直棱柱，△A1B1C1是正三角形，E是C C1的中点。
求证：平面A B1E⊥平面A A1B1B。
3、如图，在正方体ABCD—A’B’C’D’中，求二面角B—A’B’—B’的正切值。
4、设有直线m，n和平面、，则下列命题中，正确的是 （ ）
A、若m // n，m，n，则//
B、若m⊥，m⊥n，n，则//
C、若m // n，n⊥，m，则⊥
D、若m // n，m⊥，n⊥，则⊥
5、如图，P是二面角—AB—的棱上AB一点，分别在
、上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN
=60°，则二面角—AB—的大小是 。
6、如图，已知三棱锥A—BCD的三个侧面与底面全等且BC=BD=，CD=2，则二面角A—CD—B的大小是 。
2．3．3 直线与平面垂直的性质
一、知识梳理
1、过一点和已知平面垂直的直线 。
2、过一点和一条直线垂直的平面 。
3、垂直于同一平面的两条直线 。
4、垂直于同一直线的两个平面 。
二、例题
在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB、SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC。
三、练习
1、如图，正方体ABCD—A’B’C’D’中，EF是异面直线AC及A’D的公垂线。
求证：EF//BD’.
2、如图，正方体ABCD—A’B’C’D’中，E、F、G分别是A’B’、 B’C’和B B’的中点。
求证： （1）面AC C’ A’ ⊥面BD D’ B’；
面ACFE⊥面BD D’ B’；
面ACG⊥面BD D’ B’。
2．3．4 平面与平面垂直的性质
一、知识梳理
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
二、例题
如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。
（1）求证：PA⊥面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。
三、练习
1、如图，ABCD—A’B’C’D’是正方体，判断直线A’C与平面B C’D的位置关系，并说明理由。
2、空间四边形SABC中，SO⊥面ABC，O为△ABC的垂心。求证：平面SOC⊥面SAB。